高一数学课件： 3.2.1几类不同增长的函数模型(一)全册精品课件 新人教A版必修1

1、3.2.1几类不同增长几类不同增长 的函数模型（一）的函数模型（一） 复复 习习 引引 入入 讲讲 授授 新新 课课 例例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有假设你有一笔资金用于投资，现在有 三种投资方案供你选择，这三种方案的回三种投资方案供你选择，这三种方案的回 报如下：报如下： 方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元； 方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前元，以后每天比前 一天多回报一天多回报10元；元； 方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回元，以后每天的回 报比前一天翻一番报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资

2、方案？ 解：解：设第设第x天所得回报是天所得回报是y元，元， 解：解：设第设第x天所得回报是天所得回报是y元，元， 则方案一可以用函数则方案一可以用函数y40(xN*)进行进行 描述；描述； 解：解：设第设第x天所得回报是天所得回报是y元，元， 则方案一可以用函数则方案一可以用函数y40(xN*)进行进行 描述；描述； 方案二可以用函数方案二可以用函数y10 x (xN*)进行进行 描述；描述； 解：解：设第设第x天所得回报是天所得回报是y元，元， 则方案一可以用函数则方案一可以用函数y40(xN*)进行进行 描述；描述； 方案二可以用函数方案二可以用函数y10 x (xN*)进行进行 描述；

3、描述； 方案三可以用函数方案三可以用函数y0.42x 1(x N*) 进行描述进行描述. 20 40 60 80 100 120 246810 O y x 函数图象是分析问题的好帮函数图象是分析问题的好帮 手手.为了便于观察，我们用虚线为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点连接离散的点. 20 40 60 80 100 120 246810 O y x y40 函数图象是分析问题的好帮函数图象是分析问题的好帮 手手.为了便于观察，我们用虚线为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点连接离散的点. 20 40 60 80 100 120 246810 O y x y40 y10 x 函数图象是分析问

4、题的好帮函数图象是分析问题的好帮 手手.为了便于观察，我们用虚线为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点连接离散的点. 20 40 60 80 100 120 246810 O y x y40 y10 x y0.42x 1 函数图象是分析问题的好帮函数图象是分析问题的好帮 手手.为了便于观察，我们用虚线为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点连接离散的点. 20 40 60 80 100 120 246810 O y x y40 y10 x y0.42x 1 函数图象是分析问题的好帮函数图象是分析问题的好帮 手手.为了便于观察，我们用虚线为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点连接离散的点. 我们看

5、到，底我们看到，底 为为 2的指数函数模型的指数函数模型 比线性函数模型比线性函数模型 增增 长速度要快得多长速度要快得多. 从中你对从中你对“指数指数 爆爆 炸炸”的含义有什的含义有什 么么 新的理解？新的理解？ 20 40 60 80 100 120 246810 O y x y40 y10 x 根据以上的分根据以上的分 析，是否应作这样析，是否应作这样 的选择的选择: 投资投资5天以天以 下选方案一下选方案一，投资，投资 58天选方案二天选方案二， 投资投资8天以上选方天以上选方 案三案三？ y0.42x 1 例例2 某公司为了实现某公司为了实现1000万元利润的目标，万元利润的目标，

6、准备制定一个激励销售部门的奖励方案：准备制定一个激励销售部门的奖励方案： 在销售利润达到在销售利润达到10万元时，按销售利润进万元时，按销售利润进 行奖励，且奖金行奖励，且奖金y(单位：万元单位：万元)随销售利润随销售利润 x(单位：万元单位：万元)的增加而增加，但奖金总数的增加而增加，但奖金总数 不超过不超过5万元，同时奖金总数不超过利润万元，同时奖金总数不超过利润 的的25%，现有三个奖励模型：，现有三个奖励模型： y0.25x， ylog7x1， y1.002x， 其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？ 分析：分析：某个奖励模型符合公司要求，就是某个奖励模型符合公司

7、要求，就是 依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超 过过5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%， 由于公司总的利润目标为由于公司总的利润目标为1000万元，所以万元，所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润部门销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是，只需在区间于是，只需在区间10,1000上，检验三个上，检验三个 模型是否符合公司要求即可模型是否符合公司要求即可. 分析：分析：某个奖励模型符合公司要求，就是某个奖励模型符合公司要求，就是 依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超 过过5万元，同时奖金不超

8、过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%， 由于公司总的利润目标为由于公司总的利润目标为1000万元，所以万元，所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润部门销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是，只需在区间于是，只需在区间10,1000上，检验三个上，检验三个 模型是否符合公司要求即可模型是否符合公司要求即可. 不妨先作出函数图象，通过观察函数不妨先作出函数图象，通过观察函数 的图象，得到初步的结论再通过具体计算，的图象，得到初步的结论再通过具体计算， 确认结果确认结果. 8 1 2 3 4 5 6 7 200400600800 1000O y x 图象图象 8 1 2 3 4 5 6 7

9、 200400600800 1000O y x y5 图象图象 8 1 2 3 4 5 6 7 200400600800 1000 y0.25x O y x y5 图象图象 8 1 2 3 4 5 6 7 200400600800 1000 y0.25x ylog7x1 O y x y5 图象图象 8 1 2 3 4 5 6 7 200400600800 1000 y0.25x ylog7x1 y1.002x O y x y5 图象图象 解：解： 借助计算机作出函数借助计算机作出函数y0.25x， ylog7x1， y1.002x的图象的图象.观察图象发现，在区间观察图象发现，在区间10,10

10、00 上，模型上，模型y0.25x，y1.002x的图象都有一部分在的图象都有一部分在 直线直线y5的上方，只有模型的上方，只有模型ylog7x1的图象始终的图象始终 在在y5的下方，这的下方，这 说明只有按模型说明只有按模型 ylog7x1进行进行 奖励时才符合公奖励时才符合公 司的要求，下面司的要求，下面 通过计算确认上通过计算确认上 述判断述判断. 8 1 2 3 4 5 6 7 200 400 600 8001000 y0.25x ylog7x1 y1.002x O y x y5 首选计算哪个模型的奖金总数不超过首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万万.解：解： 首选计算哪个模型的奖金总

11、数不超过首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万万. 对于模型对于模型y0.25x，它在区间，它在区间10, 1000上递增，上递增， 而且当而且当x20时，时，y5，因此，当，因此，当x20时，时，y5， 所以该模型不符合要求；所以该模型不符合要求； 解：解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万万. 对于模型对于模型y0.25x，它在区间，它在区间10, 1000上递增，上递增， 而且当而且当x20时，时，y5，因此，当，因此，当x20时，时，y5， 所以该模型不符合要求；所以该模型不符合要求； 对于模型对于模型y1.002x，由函数图象，并利用计算，由函数图象

12、，并利用计算 器，可知在区间器，可知在区间(805, 806) 内有一个点内有一个点x0满足满足 1.002x5，由于它在区间，由于它在区间10,1000上递增，因此当上递增，因此当 xx0时，时，y5，所以该模型也不符合要求；，所以该模型也不符合要求； 解：解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万万. 对于模型对于模型y0.25x，它在区间，它在区间10, 1000上递增，上递增， 而且当而且当x20时，时，y5，因此，当，因此，当x20时，时，y5， 所以该模型不符合要求；所以该模型不符合要求； 对于模型对于模型y1.002x，由函数图象，并利用计算，由函

13、数图象，并利用计算 器，可知在区间器，可知在区间(805, 806) 内有一个点内有一个点x0满足满足 1.002x5，由于它在区间，由于它在区间10,1000上递增，因此当上递增，因此当 xx0时，时，y5，所以该模型也不符合要求；，所以该模型也不符合要求； 对于模型对于模型ylog7x1，它在区间，它在区间10,1000 上递上递 增，而且当增，而且当x1000时，时，ylog7100014.555， 所以它符合奖金总数不超过所以它符合奖金总数不超过5万元的要求万元的要求. 解：解： 再计算按模型再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否奖励时，奖金是否 不超过利润的不超过利润的25%，

14、即当，即当x10,1000时，是否有时，是否有 25. 0 1log7 x x x y 成立成立. 解：解： 令令f(x)log7x10.25，x10,1000.利用计利用计 算机作出函数算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，的图象，由图象可知它是递减的， 因此因此f(x)f(10)0.31670，即，即log7x10.25x. 所以当所以当x10,1000时，时， 再计算按模型再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否奖励时，奖金是否 不超过利润的不超过利润的25%，即当，即当x10,1000时，是否有时，是否有 25. 0 1log7 x x x y 25. 0 1log 7

15、 x x 成立成立. 解：解： 模型模型ylog7x1奖励时奖励时, 奖金不会超过利润的奖金不会超过利润的25%. . 说明按说明按 令令f(x)log7x10.25，x10,1000.利用计利用计 算机作出函数算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，的图象，由图象可知它是递减的， 因此因此f(x)f(10)0.31670，即，即log7x10.25x. 所以当所以当x10,1000时，时， 再计算按模型再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否奖励时，奖金是否 不超过利润的不超过利润的25%，即当，即当x10,1000时，是否有时，是否有 25. 0 1log7 x x x y

16、25. 0 1log 7 x x 成立成立. 综上所述，模型综上所述，模型ylog7x1确实能符合公司确实能符合公司 要求要求. 解：解： 模型模型ylog7x1奖励时奖励时, 奖金不会超过利润的奖金不会超过利润的25%. . 说明按说明按 归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤 (1) 理解问题理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认：阅读理解，读懂文字叙述，认 真审题，理解实际背景真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背弄清楚问题的实际背 景和意义，设法用数学语言来描述问题景和意义，设法用数学语言来描述问题. (2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领简化假设：理解所给

17、的实际问题之后，领 悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的 简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题 中关键或主要的变量中关键或主要的变量. (3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联 想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的 数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符 号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、 不等式、函数不等式、函数. 归纳总结中学数学建模

18、的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤 (1) 理解问题理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认：阅读理解，读懂文字叙述，认 真审题，理解实际背景真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背弄清楚问题的实际背 景和意义，设法用数学语言来描述问题景和意义，设法用数学语言来描述问题. (2) 简化假设简化假设：理解所给的实际问题之后，领：理解所给的实际问题之后，领 悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的 简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题 中关键或主要的变量中关键或主要的变量. (3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善

19、于联数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联 想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的 数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符 号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、 不等式、函数不等式、函数. 归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤 (1) 理解问题理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认：阅读理解，读懂文字叙述，认 真审题，理解实际背景真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背弄清楚问题的实际背 景和意义，设法用数学语言来描述问题景和意义，设法用数学语言

20、来描述问题. (2) 简化假设简化假设：理解所给的实际问题之后，领：理解所给的实际问题之后，领 悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的 简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题 中关键或主要的变量中关键或主要的变量. (3) 数学建模数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联：把握新信息，勇于探索，善于联 想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的 数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符 号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、号，构建数学模

21、型，常用的数学模型有方程、 不等式、函数不等式、函数. 归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤 (4) 求解模型：求解模型：以所学的数学性质为工具对建以所学的数学性质为工具对建 立的数学模型进行求解立的数学模型进行求解. (5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检检验模型：将所求的结果代回模型之中检 验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定 模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建 模模. (6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻评价与应用：如果模型与实际情形比较吻 合，要对计算的结果作出解释并

22、给出其实际合，要对计算的结果作出解释并给出其实际 意义，后对所建立的模型给出运用范围意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果如果 模型与实际问题有较大出入，则要对模型改模型与实际问题有较大出入，则要对模型改 进并重复上述步骤进并重复上述步骤. 归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤 (4) 求解模型：求解模型：以所学的数学性质为工具对建以所学的数学性质为工具对建 立的数学模型进行求解立的数学模型进行求解. (5) 检验模型：检验模型：将所求的结果代回模型之中检将所求的结果代回模型之中检 验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定 模型的有

23、效性，如果不满意，要考虑重新建模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建 模模. (6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻评价与应用：如果模型与实际情形比较吻 合，要对计算的结果作出解释并给出其实际合，要对计算的结果作出解释并给出其实际 意义，后对所建立的模型给出运用范围意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果如果 模型与实际问题有较大出入，则要对模型改模型与实际问题有较大出入，则要对模型改 进并重复上述步骤进并重复上述步骤. 归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤 (4) 求解模型：求解模型：以所学的数学性质为工具对建以所学的数学性质为工具对建 立的数学模型进行求解立的数学模型进行求解. (5) 检验模型：检验模型：将所求的结果代回模型之中检将所求的结果代回模型之中检 验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定 模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建 模模. (6) 评价与应用：评价与应用：如果模型与实际情形比较吻如果模型与实际情形