Black-Scholes期权定价模型

1、2021-7-12Black-Scholes期权定价模型1 第第 六六 章章 BlackBlack-ScholesScholes期权定价模型期权定价模型 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型2 BlackBlack-ScholesScholes期权定价模型的基本思路期权定价模型的基本思路 n期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价 格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。 n标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化标的资产价格的变化过程是一个随

2、机过程。因此，期权价格变化 也是一个相应的随机过程。也是一个相应的随机过程。 n金融学家发现，股票价格的变化可以用金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家过程来描述。而数学家 Ito发现的发现的Ito引理可以从股票价格的引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所过程推导出衍生证券价格所 遵循的随机过程。遵循的随机过程。 n在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中，在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中， Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如 果通过买入和卖

3、空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的 组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利 率。从而得到一个重要的方程：率。从而得到一个重要的方程： Black-Scholes微分方程。微分方程。 n求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型3 为什么要研究证券价格所遵循的随机为什么要研究证券价格所遵循的随机 过程过程? ? n期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相期权是衍生工

4、具，使用的是相对定价法，即相 对于对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先证券价格的价格，因此要为期权定价首先 必须研究证券价格。必须研究证券价格。 n期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的 资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化， 在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了 解其所遵循的随机过程。解其所遵循的随机过程。 n研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解 在特定时刻，变量取值的概率分布情况。在特定时刻，变量取值的概率分布情

5、况。 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型4 随机过程随机过程 n随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式 随时间变化的过程。随时间变化的过程。 n随机过程的分类随机过程的分类 q离散时间、离散变量 q离散时间、连续变量 q连续时间、离散变量 q连续时间、连续变量 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型5 几种随机过程几种随机过程 n标准布朗运动（维纳过程标准布朗运动（维纳过程 ） q起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中，处于大量微小 分子撞击下的的小粒子运动的描述。 q设t代表一个小的时间间隔长度，z代表变量z在

6、t时间 内的变化，遵循标准布朗运动的z具有两种特征： n特征1： q其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分 布）中取的一个随机值。 n特征2：对于任何两个不同时间间隔t ，z的值相互独立。 q特征的理解 n特征1： n特征2: 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关， 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测 无关。 zt 0,;zNtt方差为。 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型6 标准布朗运动（续）标准布朗运动（续） n考察变量考察变量z在一段较长时间在一段较长时间T中的变化情形：中的变化情形： qz（T）z(0)表示变量

7、z在T中的变化量 q又可被看作是在N个长度为的小时间间隔中z的变化总量，其中 N=T/ t 。 q很显然，这是n个相互独立的正态分布的和： n因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N t =T，标准差为 。 n为何定义为：为何定义为： q当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的 正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这 样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。 q相应的一个结果就是：标准差的单位变为 n连续时间的标准布朗运动：连续时间的标准布朗运动： q当t 0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动 1 ( )(0)

8、N i i z Tzt T tztz 而非 年 dzdt 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型7 普通布朗运动普通布朗运动 n变量变量x遵循普通布朗运动：遵循普通布朗运动： q其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 q这里的a为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量z均值 的变化值。 q这里的b2为方差率（Variance Rate），是指单位时间的方差。 q这个过程指出变量x关于时间和dz的动态过程。其中第一项 adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这 种噪音是由维纳过程的b倍给出

9、的。 n可以发现，任意时间长度后，可以发现，任意时间长度后，x值的变化都具有正态值的变化都具有正态 分布特征，其均值为分布特征，其均值为aT，标准差为，标准差为 ,方差为方差为b2T. dxadtbdz b T 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型8 Ito过程和过程和Ito引理引理 n伊藤过程（伊藤过程（Ito Process）：）： q普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂 移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就得到 其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数， 变量x的漂移率为a，方差率为b2，都随时间变化。这就是伊 藤过程。 nIto

10、引理引理 q若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程： 其中，dz是一个标准布朗运动。由于a 和b都是x和t的函数， 因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为 方差率为 ( , )( , )dxa x t dtb x t dz 2 2 2 1 () 2 GGGG dGab dtbdz xtxx 2 2 2 1 2 GGG ab xtx 22 () G b x 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型9 证券价格的变化过程证券价格的变化过程 n目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确 地描述证券价格的变动过程，同时

11、尽量实现数学处理地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理 上的简单性。上的简单性。 n基本假设：证券价格所遵循的随机过程：基本假设：证券价格所遵循的随机过程： q其中，S表示证券价格，表示证券在单位时间内以连续复利 表示的期望收益率（又称预期收益率），2 表示证券收 益率单位时间的方差，表示证券收益率单位时间的标准差， 简称证券价格的波动率（Volatility），dz表示标准布朗运 动。 一般和的单位都是年。 q很显然，这是一个漂移率为S、方差率为2S2的伊藤过程。 也被称为几何布朗运动 dS dSSdtSdzdtdz S 或 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型1

12、0 为什么证券价格可以用几何布朗运动为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？表示？ n一般认同的一般认同的“弱式效率市场假说弱式效率市场假说”： q证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信 息。 q马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去 的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。 q几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可夫性质， 符合弱式假说。 n投资者感兴趣的不是股票价格投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。投资，而是独立于价格的收益率。投资 者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格者不是期望股票价格

13、以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格 以一定的增长率在增长。因此需要用百分比收益率代替绝对的股以一定的增长率在增长。因此需要用百分比收益率代替绝对的股 票价格。票价格。 n几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而不几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而不 是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。这比是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。这比 较符合现实。较符合现实。 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型11 百分比收益率与连续复利收益率百分比收益率与连续复利收益率 n百分比收益率：百分比收益率： n连续复利收益率连续

14、复利收益率: n百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点：百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点： q有限责任原则： n金融学中常常存在对实际收益率（近似）服从正态分布的隐含假定，但是在有限责任（投 资者顶多赔偿全部的投资，不会损失更多）原则下，百分比收益率只在1和 之间变化， 不符合正态分布假定。 n对数收益率（ ， ）：更适合于建立正态分布的金融资产行为模型。 q多期收益率问题： n即使假设单期的百分比收益率服从正态分布，多期的百分比收益率是单期百分比收益率的 乘积，n个正态分布变量的乘积并非正态分布变量。从而产生悖论。 n多期的对数收益率是单期的对数收益率之和，仍然服从正态分布。 q交

15、叉汇率问题： n如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者 绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的 收益率难以直接计算。 n如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同 时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。 n连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为

16、对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。 0 0 T SSS SS 或 0 lnln T SS 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型12 几何布朗运动的深入分析几何布朗运动的深入分析 n在很短的时间在很短的时间tt后，后，证券价格比率的变化值证券价格比率的变化值 为：为： n可见，在短时间内，可见，在短时间内， 具有正态分布特征具有正态分布特征 n

17、其均值为其均值为 ，标准差为，标准差为 ，方差为，方差为 。 S S tt S S (,) S tt S t t 2 t 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型13 几何布朗运动的深入分析（几何布朗运动的深入分析（2） n但是，在一个较长的时间但是，在一个较长的时间T后，后， 不再具有正不再具有正 态分布的性质：态分布的性质： q多期收益率的乘积问题 q因此，尽管是短期内股票价格百分比收益率的标 准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率的标 准差却不再是 。股票价格的年波动率并不是 一年内股票价格百分比收益率变化的标准差。 S S T 2021-7-12Black-Schol

18、es期权定价模型14 几何布朗运动的深入分析（几何布朗运动的深入分析（3） n如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用 Ito引理来推导证券价格自然对数引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循的所遵循的 随机过程：随机过程： n这个随机过程的特征：这个随机过程的特征： q普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。 q在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从正态分 布，均值为 ，方差为 。标准差 仍然可以表示为 ，和时间长度平方根成正比。 q从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两 个结论: 2 () 2 dGdtdz 2 (/2)()Tt 2( )T

19、t tT 2 2 ()(),GTtTt 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型15 （1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分 布。布。 n令令t时刻时刻G的值为的值为lnS，T时刻时刻G的值为的值为lnST，其中，其中S表表 示示t时刻（当前时刻）的证券价格，时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示表示T时刻（将时刻（将 来时刻）的证券价格，则在来时刻）的证券价格，则在Tt期间期间G的变化为：的变化为： q这意味着： n进一步从正态分布的性质可以得到进一步从正态分布的性质可以得到 n也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变也就

20、是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变 量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明正态分布。这表明ST服从对数正态分布。服从对数正态分布。 n 这正好与这正好与作为预期收益率的定义相符。作为预期收益率的定义相符。 lnln T SS 2 2 lnln ()(), T SSTtTt 2 2 ln ln()(), T SSTtTt () () T t T E SSe 2 22()() var()1 T tT t T SS ee 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型16 （2）股票价格对数收益率服从正态分布股

21、票价格对数收益率服从正态分布 n由于由于dG实际上就是连续复利的对数收益率。实际上就是连续复利的对数收益率。 因此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵因此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵 循普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态循普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态 分布，对数收益率的标准差与时间的平方根成分布，对数收益率的标准差与时间的平方根成 比例。比例。 n将将t与与T之间的连续复利年收益率定义为之间的连续复利年收益率定义为，则，则 2 2 t 2 2 lnln ()( 1 e ), ( n, , l t ) T T T S SS SSTtT S t Tt （T- ） ， 可得 T

22、- 由 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型17 结论结论 n几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。程。 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型18 参数的理解参数的理解 n： q几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。 q根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无风险利 率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此 的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证 券的定价与标的资产的预期收益率是无关的。 q较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 ，这是因 为较长时

23、间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几 何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。 n： q是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差 q因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再 对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。 q一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易天数而 不采用日历天数。 2 2 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型19 小结小结 n我们可以用几何布朗运动来描述股票价格的运我们可以用几何布朗运动来描述股票价格的运 动：符合弱式有效、对数正态分布的市场现实，动：符合弱式有效、对数正态分布

24、的市场现实， 以及投资者对收益率而非价格的关注。以及投资者对收益率而非价格的关注。 n根据根据Ito引理，可以得到衍生证券所遵循的随引理，可以得到衍生证券所遵循的随 机过程。机过程。 n股票价格遵循几何布朗运动，可以得到未来的股票价格遵循几何布朗运动，可以得到未来的 某个时刻股票价格服从对数正态分布的结论某个时刻股票价格服从对数正态分布的结论 dS dSSdtSdzdtdz S 或 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型20 BlackBlack-ScholesScholes微分方程：基本思路微分方程：基本思路 n思路：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种思路：由于衍生证

25、券价格和标的证券价格都受同一种 不确定性（不确定性（dz）影响，若匹配适当的话，这种不确定）影响，若匹配适当的话，这种不确定 性就可以相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立起一性就可以相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立起一 个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头 的投资组合。若数量适当的话，标的证券多头盈利的投资组合。若数量适当的话，标的证券多头盈利 （或亏损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利）（或亏损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利） 相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。那相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。那 么，在无

26、套利机会的情况下，该投资组合在么，在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的内的 收益率一定等于无风险利率。收益率一定等于无风险利率。 n 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型21 BlackBlack-ScholesScholes微分方程：假设微分方程：假设 n假设：假设： q证券价格遵循几何布朗运动，即证券价格遵循几何布朗运动，即和和为常数；为常数； q允许卖空；允许卖空； q没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； q在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； q不存在无风险

27、套利机会；不存在无风险套利机会； q证券交易是连续的，价格变动也是连续的；证券交易是连续的，价格变动也是连续的； q在衍生证券有效期内，无风险利率在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。为常数。 q欧式期权，股票期权，看涨期权欧式期权，股票期权，看涨期权 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型22 股票价格和期权价格服从的随机过程股票价格和期权价格服从的随机过程 2 22 2 1 ()(2 2 dSSdtSdz ffff dfSSdtSdz StSS 股票价格:（1） 期权价格：） 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型23 BlackBlack-Schol

28、esScholes微分方程微分方程 n推导过程推导过程 q根据（1）和（2），在一个很小的时间间隔里S和f 的变化值分别为 q为了消除 ，我们可以构建一个包括一单位衍生证 券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表 该投资组合的价值，则： 2 22 2 1 () 2 SS tS z ffff fSStS z StSS 和 z f S f fS S 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型24 n在在 时间后：时间后： n将将 代入，可得：代入，可得： n在没有套利机会的条件下：在没有套利机会的条件下： n从而得到：从而得到： n这就是著名的布莱克这就是著名的布莱克舒尔斯微分分程

29、，它事实上适用于其价舒尔斯微分分程，它事实上适用于其价 格取决于标的证券价格格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。的所有衍生证券的定价。 n值得强调的是：上述投资组合只是在极短的时间内才是无风险的。值得强调的是：上述投资组合只是在极短的时间内才是无风险的。 会不断地发生变化。会不断地发生变化。 t f fS S 2 22 2 1 () 2 ff St tS rt fS和 2 22 2 1 2 fff rSSrf tSS f S 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型25 BSBS公式的一个重要结论公式的一个重要结论 风险中性定价原理风险中性定价原理 n从从BS微分方程中

30、我们可以发现：衍生证券的价值微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值 决定公式中出现的变量为标的证券当前市价决定公式中出现的变量为标的证券当前市价 （S）、时间（）、时间（t）、证券价格的波动率（）、证券价格的波动率（）和）和 无风险利率无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观，它们全都是客观变量，独立于主观 变量变量风险收益偏好。而受制于主观的风险收风险收益偏好。而受制于主观的风险收 益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证 券的价值决定公式中。券的价值决定公式中。 n由此我们可以利用由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个公式得到的结论，作

31、出一个 可以大大简化我们的工作的风险中性假设：在对可以大大简化我们的工作的风险中性假设：在对 衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型26 风险中性定价原理风险中性定价原理 n所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求 无风险利率回报。无风险利率回报。 n风险中性假设的结果：我们进入了一个风险中性世界风险中性假设的结果：我们进入了一个风险中性世界 q所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率 q所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值

32、。 n尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克舒尔斯微舒尔斯微 分方程而作出的人为假定，但分方程而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定发现，通过这种假定 所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用 于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险 中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型27 An Example n假设一种不支付红利股票目前的市价为假设一种

33、不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在元，我们知道在3个月后，个月后， 该股票价格要么是该股票价格要么是11元，要么是元，要么是9元。现在我们要找出一份元。现在我们要找出一份3个月期个月期 协议价格为协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。元的该股票欧式看涨期权的价值。 n由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若个月后股票的市价。若 3个月后该股票价格等于个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为元，则该期权价值为0.5元；若元；若3个月后该个月后该 股票价格等于股票价格等于9元，则该期权价值为元，则该期权价值为0。 n为

34、了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合。若单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于个月后该股票价格等于11元时，元时， 该组合价值等于（该组合价值等于（110.5）元；若）元；若3个月后该股票价格等于个月后该股票价格等于9元时，元时， 该组合价值等于该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选 择适当的值，使择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：个月后该组合的价值不变，这意味着： n110.5=9 n =

35、0.25 n因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。股标的股票。 无论无论3个月后股票价格等于个月后股票价格等于11元还是元还是9元，该组合价值都将等于元，该组合价值都将等于2.25 元。元。 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型28 n在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得 无风险利率。假设现在的无风险年利率等于无风险利率。假设现在的无风险年利率等于 10%，则该组合的现值应为：，则该组合的现值应为： n2.25e-0.1 0.25=2.19 n由于该组合中有一单

36、位看涨期权空头和由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单单 位股票多头，而目前股票市场价格为位股票多头，而目前股票市场价格为10元，因元，因 此：此： n100.25-f2.19; f0.31 n这就是说，该看涨期权的价值应为这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否元，否 则就会存在无风险套利机会。则就会存在无风险套利机会。 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型29 n从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票 价格上涨到价格上涨到11元的概率和下降到元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率

37、元的概率。但这并不意味着概率 可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股 票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无 风险利率为风险利率为10%，则股票上升的概率，则股票上升的概率P可以通过下式来求：可以通过下式来求： n10=e-0.1 0.25 11p+9(1-p) nP=62.66%。 n又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上，则股票的上 升概率可以通过下式来求：升概率可以通过下式来求： n

38、10=e-0.15 0.25 11p+9(1-p) nP=69.11%。 n可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的 预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险 程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价 值都等于值都等于0.31元。元。 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型30 前文的两个重要结论前文的两个重要结论 n股票价格服从对数正态分布股票价格服从对数正态分

39、布 n风险中性定价原理风险中性定价原理 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型31 blackScholes期权定价公式期权定价公式 n金融产品今天的价值，应该等于未来收入的贴现：金融产品今天的价值，应该等于未来收入的贴现： （3） n其中，由于风险中性定价，其中，由于风险中性定价， E是风险中性世界中是风险中性世界中 的期望值。所有的利率都使用无风险利率：包括的期望值。所有的利率都使用无风险利率：包括 期望值的贴现率和对数正态分布中的期望收益率期望值的贴现率和对数正态分布中的期望收益率 。 n要求解这个方程，关键在于到期的股票价格要求解这个方程，关键在于到期的股票价格ST，

40、 我们知道它服从对数正态分布，且其中所有的利我们知道它服从对数正态分布，且其中所有的利 率应用无风险利率，因此，率应用无风险利率，因此， () max(,0) r T t T ceESX 2 ln ln()(), 2 T SSrTtTt 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型32 n对式（对式（3）积分求得：）积分求得： nN（x）为标准正态分布变量的累计概率分布）为标准正态分布变量的累计概率分布 函数（即这个变量小于函数（即这个变量小于x的概率）。的概率）。 n这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式 2 1 2 21 ln( /)(/2

41、)() ln( /)(/2)() S XrTt d Tt S XrTt ddTt Tt () 12 ()() r T t cSN dXeN d 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型33 首先，首先，N(dN(d2 2) )是在风险中性世界中是在风险中性世界中S ST T大于大于X X 的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概 率，率， e e-r(T-t) -r(T-t)XN(d XN(d2 2) )是是X X的风险中性期望值的现的风险中性期望值的现 值。值。 SN(dSN(d1 1)= e)= e-r(T-t) -r(T-t)S ST

42、T N(d N(d1 1) )是是S ST T的风险中性的风险中性 期望值的现值。期望值的现值。 因此，这个公式就是未来收益期望值的贴因此，这个公式就是未来收益期望值的贴 现。现。 BS公式的理解公式的理解 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型34 n其次，其次， 是复制交易策略中股票的数量是复制交易策略中股票的数量 （求导），（求导），SN（d1)就是股票的市值就是股票的市值, -e-r(T- t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。 则是复制交易策略中负债的价值。 q数学等式的金融工程含义 q看涨期权空头的套期保值结果 )( 1 dN 2021-7-12Black

43、-Scholes期权定价模型35 n最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分 拆成资产或无价值看涨期权（拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-noting call option）多头和现金或无价值看涨期权（）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or- nothing option）空头，）空头，SN(d1)是资产或无价值看涨是资产或无价值看涨 期权的价值，期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是是X份现金或无价值看涨份现金或无价值看涨 期权空头的价值。期权空头的价值。 q资产或无价值看涨期权：如果标的资产价格在到期时低于执 行价

44、格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支 付一个等于资产价格本身的金额，因此该期权的价值为e-r(T- t)STN(d1)= SN(d1) q（标准）现金或无价值看涨期权:如果标的资产价格在到期时 低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该 期权支付1元， 由于期权到期时价格超过执行价格的概率为1 份现金或无价值看涨期权的现值为-e-r(T-t) N(d2)。 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型36 n在标的资产无收益情况下，由于在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此，因此 式也给出了无收益资产美式看涨期权的价式也给出了无收益资产美式看涨期权的价 值。

45、值。 n根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平 价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期 权的定价公式权的定价公式 ： n由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严 密的平价关系，因此美式看跌期权无法得到 精确的解析公式，而只能运用数值方法和近 似方法得到。 )()( 12 )( dSNdNXep tTr BS定价模型的基本推广定价模型的基本推广 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型37 有收益欧式资产的期权定价公式 n基本理解：基本理解：在收益已知情况下，我们可以把标的证券价在收益已知情况下，我们可以把标的证券

46、价 格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部 分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由 于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S 表示有风险部分的证券价格。表示有风险部分的证券价格。表示风险部分遵循随机表示风险部分遵循随机 过程的波动率，就可直接套用公式（过程的波动率，就可直接套用公式（6.23）和（）和（6.24） 分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价 值。值。 n因此

47、，当标的证券已知收益的现值为因此，当标的证券已知收益的现值为I I时，我们只要用时，我们只要用 （S SI I）代替式（）代替式（6.216.21）和（）和（6.226.22）中的）中的S S即可求出固即可求出固 定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 n当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q （单位为年）时，我们只要将（单位为年）时，我们只要将SeSe q q（T-tT-t）代替式（ 代替式（6.23） 和（和（6.24）中的）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的就可求出支付连续复利收益率证券的 欧式看涨和看跌期权的价格。欧式看涨和看跌期权的价格。 2021-7-12Black-Scholes期权定价模型38 n欧式股指期权、欧式外汇期权都可以看成欧式股指期权、欧式外汇期权都可以看成 支付连续复利红利率的资产期权支付连续复利红利率的资产期权 n欧式期货期权定价公式为：欧式期货期权定价公式为： （6.23） （6.24） n其中：其中： )()( 21 )( dXNdFNec tTr )()( 12 )( dFNdXNep tTr tTd tT tTXF d tT tTXF d 1 2 2