高中数学圆与直线知识点与各类提高习题(附答案).

1、圆与直线知识点圆的方程：（1）标准方程：（圆心为A(a,b),半径为r） （2）圆的一般方程：（） 圆心（-，-）半径点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离与在大小关系判断直线与圆的位置关系判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，dr为相交，d0为相交，0为相交，0为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系选择题1圆的切线方程中有一个是（ ）Axy0Bxy0Cx0Dy02若直线与直线互相垂直，那么的值等于（ ）A1 B C D3设直线过点其斜率为1，且与圆

2、相切，则的值为（ ）4平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是 （ ）A一条直线B一个圆 C一个椭圆D双曲线的一支5参数方程（为参数）所表示的曲线是（ ）A圆 B直线 C两条射线 D线段6如果直线的斜率分别为二次方程的两个根，那么与的夹角为（ ）A B C D7已知，若，则（ ）A B C D8一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路径是（ ）A4 B5 C D9若直线始终平分圆的周长，则 的最小值为（ ）A1 B5 C D10已知平面区域由以、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则（ ） A B C D411、设，则M与N、

3、与的大小关系为 ( ) A. B. C. D.12、已知两圆相交于点，两圆圆心都在直线上，则的值等于 A-1 B2 C3 D013、三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为 ( ) A.15 B.30 C.36 D.以上都不对14、设，则直线与圆的位置关系为 （ ）A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切15、已知向量若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（ ） A相交但不过圆心 B相交过圆心 C相切 D相离16、已知圆和点,若点在圆上且的面积为,则满足条件的点的个数是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.417、若圆始终平分圆的周长,则实数应满足的关系是 ( ) A B C D1

4、8、在平面内,与点距离为1, 与点距离为2的直线共有 ( ) A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条填空题1、直线2xy4=0上有一点P，它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是_ 2、设不等式对一切满足的值均成立，则的范围为 。3、已知直线与圆，则上各点到的距离的最大值与最小值之差为 。4、直线被圆截得的弦长为_。5、已知圆，直线，以下命题成立的有_。对任意实数与，直线和圆相切；对任意实数与，直线和圆有公共点；对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切6、点A(3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，反射光线与圆相切，则光

5、线l所在直线方程为_ _。7、直线与圆交于、两点，且、关于直线对称，则弦的长为 。8、过圆内一点作一弦交圆于两点,过点分别作圆的切线，两切线交于点，则点的轨迹方程为 。解答题1、设数列的前项和，a、b是常数且。（1）证明：是等差数列；（2）证明：以为坐标的点，落在同一直线上，并求直线方程。（3）设，是以为圆心，为半径的圆，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围。2、求与圆外切于点，且半径为的圆的方程OACBDNxyM3、如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线均相切，切点分别为、，另一圆与圆、轴及直线均相切，切点分别为、。（1）求圆和圆的方程；（2）过点作的平行线，求直线被圆 截得的弦

6、的长度；4、如果实数、满足，求的最大值、的最小值。5、已知圆，直线，。（1）证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.QPRO6、已知为原点，定点，点是圆上一动点。（1）求线段中点的轨迹方程；（2）设的平分线交于，求点的轨迹方程。7、如图所示，过圆与轴正半轴的交点A作圆的切线，M为上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程。MyxQOABP8、已知圆，是轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程。1C圆心为（1，），半径为1，故此圆必与y轴（x=0）相切，选C.2D由可

7、解得3C直线和圆相切的条件应用， ,选C;4A过点A且垂直于直线AB的平面与平面的交线就是点C的轨迹，故是一条直线.5C原方程6A由夹角公式和韦达定理求得7C数形结合法，注意等价于8A先作出已知圆C关于x轴对称的圆，问题转化为求点A到圆上的点的最短路径，即9D已知直线过已知圆的圆心（2，1），即所以10C由、的坐标位置知，所在的区域在第一象限，故.由得，它表示斜率为.（1）若，则要使取得最小值，必须使最小，此时需，即1；（2）若，则要使取得最小值，必须使最小，此时需，即2，与矛盾.综上可知，1.11解：设点、点、点，则M、N分别表示直线AB、AC 的斜率，BC的方程为，点A在直线的下方，即MN

8、； 同理，得。 答案选B。 仔细体会题中4个代数式的特点和“数形结合”的好处12解：由题设得：点关于直线对称,； 线段的中点在直线上，答案选C。13解：设三角形的另外两边长为x,y,则 ；注意“=”号，等于11的边可以多于一条。点应在如右图所示区域内：当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11；当x=5时，y=7,8,9,10,11。以上共有15个，x,y对调又有15个。再加(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11， 11），共36个，答案选C。14解：圆心到直线的距离为，圆半径。，直线与圆

9、的位置关系是相切或相离，答案选C。 15解：，圆心到直线的距离，直线与圆相离，答案选D。 复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式16解:由题设得：，点到直线的距离, 直线的方程为,与直线平行且距离为1的直线为 得：圆心到直线的的距离,到直线的距离为, 圆与直线相切；与直线相交, 满足条件的点的个数是3，答案选C17解：公共弦所在的直线方程为：， 即：，圆始终平分圆的周长，圆的圆心在直线上,，即，答案选B。18解：直线与点距离为1，所以直线是以A为圆心1为半径的圆的切线，同理直线也是以B为圆心2为半径的圆的切线，即两圆的公切线，两圆相交，公切线有2条，答案选B。想一下，如果两圆相切或相离，

10、各有几条公切线？BABPAPC填空题1解：A关于l的对称点A，AB与直线l的交点即为所求的P点。得P(5，6）。想一想，为什么，AB与直线l的交点即为所求的P点？ 如果A、B两点在直线的同一边，情况又如何？2解：原不等式变换为，设：，按题意得：。即：。3解： 圆心到直线的距离=，直线与圆相离， 上各点到的距离的最大值与最小值之差= 。4解：直线方程消去参数得：，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为。5解：圆心坐标为 ，所以命题成立。 仔细体会命题的区别。6解：光线l所在的直线与圆关于x轴对称的圆相切。圆心坐标为，半径，直线过点A(3，3)，设的方程为：，即：圆心到直线的距离，解得：或，得直

11、线的方程：或。7解：由直线与直线垂直，由圆心在直线上，圆方程为，圆心为，圆心到直线的距离，弦的长=8解：设,根据题设条件，线段为点对应圆上的切点弦，直线的方程为,点在上，,即的轨迹方程为：。 注意掌握切点弦的证明方法。1、设数列的前项和，a、b是常数且。（1）证明：是等差数列；（2）证明：以为坐标的点，落在同一直线上，并求直线方程。（3）设，是以为圆心，为半径的圆，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围。1解：（1）证明：由题设得；当n2时，。所以是以为首项，为公差的等差数列。证毕；（2）证明：，对于n2，以为坐标的点，落在过点，斜率为的同一直线上，此直线方程为：，即。（3）解：

12、当时，得，都落在圆C外的条件是 由不等式，得r1由不等式，得r或r+由不等式，得r4或r4+再注意到r0，14=+4+使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)(1,)(4+,+)。2、求与圆外切于点，且半径为的圆的方程2解一：设所求圆的圆心为，则 ， 所求圆的方程为。 注：因为两圆心及切点共线得（1）式解二：设所求圆的圆心为，由条件知OACBDNxyM ，所求圆的方程为。仔细体会解法2，利用向量表示两个圆心的位置关系，同时体现了共线关系和长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。3、如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线均相切，切点分别为、，另一圆与圆、轴及直线均相切，切点分别为、。（

13、1）求圆和圆的方程；（2）过点作的平行线，求直线被圆 截得的弦的长度；3解：（1）由于圆与的两边相切，故到及的距离均为圆的半径，则在的角平分线上，同理，也在的角平分线上，即三点共线，且为的角平分线，的坐标为，到轴的距离为1，即：圆的半径为1，圆的方程为；设圆的半径为，由，得：,即，圆的方程为：；（2）由对称性可知，所求弦长等于过点的的平行线被圆截得的弦长，此弦所在直线方程为，即，圆心到该直线的距离，则弦长=注：也可求得点坐标，得过点的平行线的方程，再根据圆心到直线的距离等于，求得答案；还可以直接求点或点到直线的距离，进而求得弦长4、如果实数、满足，求的最大值、的最小值。4解：（1）问题可转化为

14、求圆上点到原点的连线的斜率的最大值。设过原点的直线方程为，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。得：，（2）满足，。 注意学习掌握解（2）中利用圆的参数方程将关于x,y的二元函数转化为关于角的一元函数，从而方便求解的技巧。5、已知圆，直线，。（1）证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.5解：（1）解法1：的方程， 即恒过定点圆心坐标为，半径，点在圆内，从而直线恒与圆相交于两点。解法2：圆心到直线的距离，所以直线恒与圆相交于两点。（2）弦长最小时，代入，得的方程为。注意掌握以下几点：（1）动直线斜率不定，可能经过某定点；（2）直线与圆恒有公共点

15、直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线；（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦。6、已知为原点，定点，点是圆上一动点。（1）求线段中点的轨迹方程；QPRO（2）设的平分线交于，求点的轨迹方程。6解：（1）设中点，则，代入圆的方程得。（2）设，其中，由，代入圆方程并化简得：。当y=0时，即在轴上时，的平分线无意义。（1）本题的解法称作相关点转移法求轨迹，其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系；（2）处理“角平分线”问题，一般有以下途径：转化为对称问题利用角平分线性质，转化为比例关系利用夹角相等。7、如图所示，过圆与轴正半轴的交点A作圆的切线，M为上任意一点，再过M作圆的另一切线