高二数学圆的方程

1、第三节圆的方程第三节圆的方程 1.圆的标准方程 (1)方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为 _，半径为_的圆的标准方程 (2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆 的标准方程为_ (a，b) r x2y2r2 基础梳理基础梳理 , 22 DE 不表示任何图形 , 22 DE 2. 圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为 2+ 2=.故有： (1)当D2+E2-4F0时，方程表示以 _为圆心，以 _为半径的圆； (2)当D2+E2-4F=0时，方程表示一个 点_； (3)当D2+E2-4F = 4. 求圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数 法，

2、大致步骤： (1)根据题意，选择_或一般方 程； (2)根据条件列出关于_或 _的方程组； (3)解出_或_，代入 _或_标准方程 a，b，r D，E，F a，b，r D，E，F 标准方程 一般方程 1.(必修2P100练习第2题改编)与x轴相切，且圆 心为(2,1)的圆的标准方程_ (x2)2(y1)21 基础达标 解析：由题意知，圆的半径为1，又圆心为 (2,1)，故圆方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 2. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x 3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 _. 解析：由题意，设圆心(x0,1)， =1， 解得x0=2或x0=- (舍去)， 所求

3、圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 0 22 |43| 43 x 1 2 (x-2)2+(y-1)2=1 3. 已知D是由不等式组 所确定 的平面区域，则圆x2y24在区域D内的弧 长为_. 解析：直线x-2y=0与2x+y=0相交于原点，且 互相垂直，故圆x2+y2=4在区域D内的弧长为 该圆周长的四分之一，即为 . 20 20 xy xy 1 22 4 4. (必修2P100练习第6题改编)圆x2y22x 4y10关于直线2axby20(a， bR)对称，则ab的取值范围是_ 解析：直线过圆心， -2a-2b+2=0，即a+b=1. 1=(a+b)2=a2+2ab+b24ab，

4、 ab . 1 4 1 , 4 【例1】求过点A(2，3)、B(2，5) 且圆心 在直线x2y30上的圆的方程. 解：圆心在直线x2y30上，故可设圆心 为 M(2b3，b)， 所求圆的标准方程为x(2b3)2(yb)2 r2.再由|MA|MB|，得(2b3)22(b3)2 (2b3)22(b5)2，解得b2.于是圆心 为M(1，2)，半径|MA| . 故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)2 10. 经典例题 22 2 132 10 【例2】已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y 16t490(t是实数)表示的图形是圆 (1)求实数t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程 分析：

5、本题所给的方程是圆的一般方程，需要根 据它表示圆的充要条件判断t的范围，也可以把 它转化为标准方程，再进行处理 题型二与圆有关的参数问题 解：(1)半径的平方为r2 4(t3)24(14t2)2 4(16t49)7t26t10，所以 t1. (2)因为r ， 所以当t 时，半径取最大值 . 此时面积最大，所对应的圆的方程为 2 2 . 1 4 1 7 2 761tt 2 316 7 77 t 3 7 1 ,1 7 4 7 7 24 7 x 13 49 y 16 7 【例3】已知实数x、y满足方程x2y24x10. (1)求 的最大值和最小值； (2)求x2y2的最大值和最小值 分析：根据代数式

6、的几何意义，借助于平面几 何知识，数形结合求解 题型三与圆有关的最值问题 y x 解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为 圆心， 为半径的圆 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜 率，设 k，即ykx.当直线ykx与圆相 切 时，斜率k取最大值或最小值，此时 ，解得k ，如图1. (1)所以 的最大 值为 ，最小值为 . 3 y x y x 2 |20| 1 k k 3 3 y x 3 3 (2)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方由平 面几何知识知，在原点与圆心的连线与圆的两个交 点处取得最大值和最小值，如图2.又圆心到的原点 的距离为 2， 所以，x2y2的最大值是(2 )2

7、74，x2y2的 最小值是(2 )274. 22 2000 3 3 已知x，y满足x2y21，则的最小值为_ 解析：利用数形结合法， 表示圆上的点 P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以 的最 小值是直线PQ与圆相切时的斜率设直线PQ的方 程为y2k(x1)，即kxy2k0， 由 1得k ， 的最小值为 . 变式31 3 4 2 1 y x 2 1 y x 2 |2| 1 k k 3 4 2 1 y x 3 4 【例4】某工程设计一条单行隧道，其横截面如 图所示，下部ABCD为长8 m，高2 m的矩形，上部 是圆弧的一部分. 欲使宽6 m，高3 m的大型货车刚 好能通过，求拱顶E距离路面

8、AB至少需多少m? 分析：如图，该大型货车PQMN刚好能通过， 表明点M在圆弧上，又因为点C在圆弧上，因 此，可建立适当的坐标系，根据题中的条件， 求出圆的方程，则E点的纵坐标可求 题型四圆的方程的建模 解：以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建 立平面直角坐标系，如图则C(4,2)、M(3,3) 设圆弧所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2，则 即所求圆的方程为x2+(y+1)2=25. 令x=0代入方程解得y=4或-6(舍去) 所以拱顶E距路面AB至少需4 m. 222 222 42 33 br br 2 1 25 b r 某河上有一座圆拱桥，其跨度为30 m，圆拱高为5 m，一船宽为

9、10 m，上载有货物，水面到船顶高为4 m，问该船能否顺利通过该桥？ 变式41 建立如图所示的直角坐标系，则圆心在y轴上， 设圆心坐标为(0，a)，半径为r，则圆的方程为x2 (ya)2r2，代入点(0,5)，(15,0)，得 该圆方程为x2(y20)2625. 因为船宽10 m，高4 m. 所以判断该船能否通过该桥，即判断点A(5,4)与 圆的位置关系 52(420)2601625， (5,4)在圆内，即该船能顺利通过该桥 22 222 5 15 ar ar 20 25. a r 1.(2010天津)已知圆C的圆心是直线xy1 0与x轴的交点，且圆C与直线xy30相 切，则圆C的方程为_ 知识准备：1.会求直线与x轴的交点坐标及点 到直线的距离公式； 链接高考 2知道当直线与圆相切时，圆的 半径就是圆心到这条直线的距离 解析：令y0得x1，所以直线xy10与x 轴的交点为(1,0) 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半 径，即r ，所以圆C的方程为(x 1)2y22. | 1 03| 2 2 2. (2010广东)已知圆心在x轴