ngu单位圆与三角函数线

1、2021/3/10讲解：XX1 2021/3/10讲解：XX2 复习三角函数的坐标法定义 自主学习自主学习 ._tan_,cos_,sin yxr00yx oxx 22 的三角函数为规定角 ，）的距离是，（与原点），点，（点 的终边上任取一角，建立直角坐标系，在轴的正半轴 原点，以它的始边作为，我们以它的顶点作为设有一个角 OPP 2021/3/10讲解：XX3 前面我们前面我们学习学习了了三角函数的坐标法定义三角函数的坐标法定义， 三角函数在各象限内的符号三角函数在各象限内的符号，学习了任意角，学习了任意角 的三角函数。的三角函数。 由三角函数的定义我们知道，对于角由三角函数的定义我们知道，

2、对于角 的各种三角函数我们都是用的各种三角函数我们都是用比值比值来表示的，来表示的， 或者说是用或者说是用数数来表示的，今天我们再来学习来表示的，今天我们再来学习 正弦、余弦、正切函数正弦、余弦、正切函数的另一种的另一种表示方法表示方法 几何表示法几何表示法 2021/3/10讲解：XX4 1.2.1 单位圆与三角函数线单位圆与三角函数线 -三角函数的几何表示法 2021/3/10讲解：XX5 目标定位目标定位 (一)学习目标 1理解任意角的三角函数线的概念 2能应用三角函数线解不等式 (二)学习建议 借助单位圆会画正弦线、余弦线、正切线 (三)重点、难点 重点：画三角函数线 难点：三角函数线

3、的应用 2021/3/10讲解：XX6 “疑”海拾贝 l有向线段与三角函数线的关系？ l用三角函数线表示的三角函数的符号是如 何确定的？ 2021/3/10讲解：XX7 （二）有向线段与三角函数线 （1）有向线段：带有_的 线段。 （2）三角函数线：如图，已 知角的终边的位置，则由三 角函数的定义可知点P的坐标 为_，点T的坐标为 _.其中 sin=_,cos=_, tan=_. 把有向线段MP、OM、AT叫 做的正弦线、余弦线和正切 线 自主学习自主学习 N 1 B(0,-1) B(0,1) A(-1,0) A(1,0) M P y x O T 2021/3/10讲解：XX8 我们首先建立下

4、面的坐标系：我们首先建立下面的坐标系： 在观览车转轮圆面所在的平面在观览车转轮圆面所在的平面 内，以观览车内，以观览车转轮中心为原点转轮中心为原点， 以水平线为以水平线为x轴，以轴，以转轮半径为转轮半径为 单位长单位长建立直角坐标系建立直角坐标系 sinMP xOP 设设P 点为转轮边缘上的一点点为转轮边缘上的一点, 它表示座椅的位置，记它表示座椅的位置，记 ，则由正弦函数的定义可知，则由正弦函数的定义可知， 2021/3/10讲解：XX9 1.单位圆的概念单位圆的概念 一般地，我们把一般地，我们把半径为半径为1的圆的圆叫做叫做单位圆单位圆， 设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与设单位圆的

5、圆心与坐标原点重合，则单位圆与 x轴的交点分别为轴的交点分别为 A(1，0)，A(1，0). 而与而与y轴的交点分别为轴的交点分别为 B(0，1)，B(0，1). (三三)单位圆、有向线段的概念单位圆、有向线段的概念 2021/3/10讲解：XX10 2. 有向线段的概念：有向线段的概念： 带有方向的线段叫有向线段带有方向的线段叫有向线段 ； 有向线段的有向线段的数值数值由其长度由其长度大小大小和和方向方向来决定。来决定。 如在数轴上，如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3 OA=3 OB=-3 2021/3/10讲解：XX11 设任意角设任意角的顶点的顶点 在原点，始边与在原点，始边与x轴的

6、轴的 正半轴重合，终边与正半轴重合，终边与 单位圆相交于点单位圆相交于点P(x， y），过），过P作作x轴的垂线，轴的垂线， 垂足为垂足为M； 做做PN垂直垂直 y轴于点轴于点N， 则点则点M、N分别是点分别是点P在在x轴、轴、y轴上的正射影轴上的正射影. (四)用单位圆中的线段表示三角函数值 2021/3/10讲解：XX12 根据三角函数的定义有点根据三角函数的定义有点P的坐标为的坐标为(cos,sin) 其中其中cos=OM，sin=ON. 这就是说，这就是说，角角的余弦和正弦的余弦和正弦分别等于角分别等于角 的终边与单位圆的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标交点的横坐标与纵坐标. 以以A为

7、原点建立为原点建立y轴与轴与y 轴同向，轴同向，y轴与轴与角的终边角的终边 (或其反向延长线或其反向延长线)相交于点相交于点 T(或或T )，则，则tan=AT(或或 AT ) 2021/3/10讲解：XX13 我们把轴上的有向线段我们把轴上的有向线段 分别叫做分别叫做的的余弦线、正弦线和正切线余弦线、正弦线和正切线. ,()OM ONATAT 和或 2021/3/10讲解：XX14 角角的终边在四个象限的情况的终边在四个象限的情况 2021/3/10讲解：XX15 题型一、利用三角函数线确定角的终边题型一、利用三角函数线确定角的终边 课堂互动 例1、在单位圆中画出满足下列条件的角的终边 （1

8、） 2tan)3( , 2 1 cos)2( , 2 1 sin 2021/3/10讲解：XX16 2tan)3( , 2 1 cos)2( , 2 1 sin) 1 ( O y x O y x O y x A T M P M1 P1 M P A1 T1 2021/3/10讲解：XX17 题型二、利用三角函数线解三角不等式 例2、在单位圆中画出适合下列条件的角 终边的范围，并写出角的集合。 2 1 cos) 2( , 2 3 sin) 1 ( 2021/3/10讲解：XX18 2 1 cos)2(, 2 3 sin)1( O y x 2 3 2 3 O y x 2 1 2 1 ZkkkZkkk

9、,2 3 4 2 3 2 ,2 3 2 2 3 2021/3/10讲解：XX19 的定义域变式：求函数3sin2yx Zkkxkx,2 3 2 2 3 2 3 2 3 由三角函数线，得 即 只需 有意义，解：要使 , 2 3 sin , 03sin2 3sin2 x x x O y x 2 3 2 3 2021/3/10讲解：XX20 例例3.确定下式的符号确定下式的符号 解：解： 由三角函数线得由三角函数线得 题型三、利用三角函数线比较三角函数值题型三、利用三角函数线比较三角函数值 的大小的大小 1cos1sin y x OM P 4 1 因为 01cos1sin 2021/3/10讲解：X

10、X21 五、千锤百炼 l1、如图在单位圆中角的 正弦线、余弦线、正切线完 全正确的是（ ） lA、正弦线PM,正切线 lB、正弦线MP，正切线 lC、正弦线MP，正切线AT lD正弦线PM,正切线AT O y x A T M P A T T A T A 2021/3/10讲解：XX22 的集合。出角终边的范围，并由此写 的角、在单位圆中，画出 的大小是、观察 数线，从单位圆中的三角函、若 ”）”或“（填“、 上、直线上，、直线 轴上、轴上、 的终边在（）那么角 有向线段，的余弦值是单位长度的、已知角 2 1 sin 2 2 -5 _tancossin 2 - 4 3 -4 3 sin_1sin

11、3 -xyxy y,x 2 DC BA 2021/3/10讲解：XX23 (五五)小结小结 1. 给定任意一个角给定任意一个角，都能在单位圆中作出它，都能在单位圆中作出它 的正弦线、余弦线、正切线。的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置三角函数线的位置 ： 正弦线正弦线为从原点到为从原点到的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点 在在y轴上的射影的轴上的射影的有向线段有向线段； 余弦线余弦线为从原点到为从原点到的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点 在在x轴上的射影的轴上的射影的有向线段有向线段； 正切线正切线在过单位圆与在过单位圆与x轴正方向的交点的切轴正方向的交点的切 线上，为有向线段线上，为有向线段AT 2021/3/10讲解：XX24 3. 特殊情况：特殊情况： 当角的终边在当角的终边在x轴上时，点轴上时，点P与点与点M重合，重合， 点点T与点与点A重合，这时正弦线与正切线都变成重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线了一点，数量为零，而余弦线OM=1或或1。 当角的终边在当角的终边在y轴上时，正弦线轴上时，正弦线MP=1或或1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切正切 线不存在线不存在。 2021/3/10讲解：XX25 作业作业 利用单位圆中的三角函数线，求满足下列条 件的角x的集