立体几何解题方法技巧

1、专题六立体几何解题方法技巧一、内容提要：立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面，证明位置关系、求距离和求 角；具体内容见下表：立 体 几 何提 要主要内容重点内容位置 关系两条异面直线相互垂直、直线与平面平仃、直 线与平面斜交、直线与平面垂直、两个平面斜交、 两个平面相互垂直两条异面直线相互垂直、直线 与平面平行、直线与平面垂 直、两个平面相互垂直距离两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到 平面的距离、两个平面的距离两条异面直线的距离、点到平 面的距离角 度两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、 二面角两条异面直线所成的角、 直线 和平面所成的角、二面角二、主要解题方法：（一

2、）位置关系1、两条异面直线相互垂直证明方法：证明两条异面直线所成角为90o；证明两条异面直线的方向量相互垂直2、直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；0证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；0证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。3、直线和平面垂直证明方法：0证明直线和平面内两条相交直线都垂直，0证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；0证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。4、平面和平面相互垂直证明方法：0证明这两个平面所成二面角的平面角为900； 0证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面； 0证明两个平面的法向量相

3、互垂直。（二）求距离求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到 平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。1、两条异面直线的距离求法：如果知道两条 异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，线段长度的求法也可以用向量来帮助解决，求线段AB的长度，可以利用2 2AB = （AM MN NB）来帮助解决，但是前提条件是我们要知道 | ABn|AM,MN, NB的模和每两个向量所成的角。 利用公式d（其中A B|n|分别为两条异面直线上的一点，n为这两条异面直线的法向量）2、点到平面的距离求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写

4、出来。色等体积法。向量法，利用公d I AB n |.式d（其中a为已知点，b为这个平面内的任意一点，n这个平面的法向量）|n|（三）求角1、两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得； 色通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异 面直线所成角得范围是（0,，向量所成的角范围是0,二,如果求出的是钝角，要2注意转化成相应的锐角。2、直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于KJI平面的法向量所成的角 a，那么所要求的角为 一-或:-223、平面与平面所成的角求

5、法：“一找二证三求”， 找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角 是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。通过射影面积来求S射影cos(在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的S原射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cos a，注意到我们要求的角为a或n - a ); 向量法，先求两个平面的法向量所成的角为a，那么这两个平面所成的二面角的平面角为 a或n a。我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求

6、距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的 方法了！三、注意的问题：1、我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候， 传统的解法我们也要能够运用自如。2、我们如果是通过解三 角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这样一句话，“/a是我们所要求的角”、“线段AB的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。3、 用向量来求两条异面直线所成角时，若求出COS a = X,则这两条异面直线所成的角为a=a rccos|x|4、在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方JIJT

7、向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要或，若求出的角为锐角，22就用，若求出的钝角，就用2 25、求平面与平面所成角的时，若用第 、种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。【专题训练】1、已知三棱锥 PABC中PB丄底面 ABC Z BCA = 90 ,PB=BC=CA= E是 PC的中点，点 F 在 PA上，且 3PF=FA.(1) 求证：平面PACL PBC(2) 求平面BEF与底面ABC所成角(用一个反三角函数值表示)2、如图，四棱锥 P ABCD勺底面是正方形，PA丄底面 ABCD PA=AD=2点M N分别在棱PDPC上，且 PCL

8、平面 AMN.(1) 求证：AML PD(2) 求二面角 P AM- N的大小；(3) 求直线CD与平面AMN所成角的大小3、如图，平面 ABC丄平面 ABEF ABCD是正方形,1ABEF是矩形，且 AF AD = a, G是2EF的中点,(1 )求证平面 AGC_平面 BGCB4、如图，在正方体(2 )求GB与平面AGC所成角的正弦值 (3 )求二面角 B- AC G的大小.ABCD -B1C1D1中，E是棱A的中点，H为平面EDB今内一点，H6 =2m,2m ,m (m ：0)。(1) 证明HG _平面EDB ;(2) 求BC1与平面EDB所成的角；(3) 若正方体的棱长为 a，求三棱锥

9、A - EDB的体积。h 证明(l)j TPB 丄底面 ABC,二 PB 丄 AC, KZBCA=90=AC丄平面PBC交AC二平面PAG 二平面PAC丄平面PBC(2)设FE的延长线与AC的延长线交于M 连MB,则MB为平面BEF与平面ABC的交线在平面PCA中，由已知E是PC的中点，F昱PA的四等分点，:.MC=2屁=丄4取BC的中点H,则EH FE,.EH丄底面ABC过H作HO丄MB于O由三垂线定理.EO丄出KJZEOH为平面BzF与底而ABC所成二面角的平面角丿51在 Rt BCM 中,HOa，在 Rt EHO 中，.EHa102eh厂.tan EOH5HO即平面BEF与底面ABC所成

10、二面角的大小为 arctan 5若利用面积射影法，指出 HDB是厶EFB在底面ABC上的射影，并计算出其面积1 2 6 2S射影 _a 7分 计算出S efb - a16 16COSTS射影S.EFB即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为 arccos62、( 1)证明： ABCD是正方形， CDLAD,/ PAL底面 ABCD： PAL CD. CDL平面 PAD/ A叱平面 PAD, CDLAM./ PCL平面 AMN： PC! AM. AML平面 PCD. AML PD.(2)解：T AML平面 PCD(已证). AML PM AML NM. / PMN为二面角P-AM-N的平面角.

11、/ PNL平面 AMN： PNL NM.在直角 PCD 中，CD=2, PD=2. 2 , PC=2 . 3./ PA=AD AML PD z.M 为 PD的中点，PMPD=J22由 Rt PMN Rt PCD 得 MN 二CD PM .PC.cos(PMN)MNPMCDPC=23pMn 二arccosP2 333即二面角P AM- N的大小为arccos 解：延长门h CD交于点区字PC丄平面AMX, ,XE为CE在平面AMN內的射影 几ZCEX说CD (CE)与平在AIN所成的魚 LCD丄FD ENPN, -ZCEN=ZMPN.在 RtAPXIX 中,宇册厶MP,*)=Tv =T/ 创P.

12、v - (0:-)Z.VP.V= arc sinLCD2平面ANN所咸的第的大小Ttjarcsm3、( 1)证明：正方形 ABC氐CB _ AB 面ABCL_面ABEF且交于AB, CBL面 ABEF / AG GB 面 ABEF CBLAG CBL BG又AD=2a, AF= a , ABEF是矩形，G是EF的中点, AG=BG=2a , AB=23, AB2=aG+bG,. AGLBG v CGH BG=B. AGL平面 CBG 而 AG 面AGC 故平面AGC_平面BGC(2)解：如图，由(I)知面 AGCL面BGC且交于 GC在平面 BGC内作BHLGC垂足 为H,贝U BHL平面 AGCBGH是GB与平面 AGC所成的角亠出BC BG BC BG23厂在 Rt CBG 中 BHa 又 BG= 2a ,CGJBC2 +BG23 sin . BGHBH . 6BG（3）由（叮知，BH丄面AGC作BQL AC 垂足为 O,连结HQ贝U HQL AC乙BOH为二面角B AC-G的平面角在Rt ABC中，B 2a在 Rt BOH中, sin . BQH 二聖 -.BOH = arcsin 6BQ 33即二面角B- A