一阶线性微分方程及全微分方程

1、一阶线性微分方程及全微分方程 )()(xQyxP dx dy 1.一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式: , 0)( xQ当当上方程称为上方程称为. 上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当 三、线性方程三、线性方程 例如例如, 2 xy dx dy ,sin 2 ttx dt dx , 32 xyyy, 1cos yy 线性的线性的; 非线性的非线性的. 一阶线性微分方程及全微分方程 . 0)( yxP dx dy ,)(dxxP y dy ,)( dxxP y dy ,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为. )( dxxP Cey 1

2、. 线性齐次方程线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法使用分离变量法) 一阶线性微分方程及全微分方程 2. 线性非齐次方程线性非齐次方程 ).()(xQyxP dx dy 讨论讨论,)( )( dxxP y xQ y dy 两边积分两边积分,)( )( ln dxxPdx y xQ y ),( )( xvdx y xQ 为为设设 ,)()(ln dxxPxvy . )()( dxxPxv eey即即 非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比: ( ) ( ) v x Cu xe 一阶线性微分方程及全微分方程 常数变易法常数

3、变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. . 实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换. ),()(xyxu原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数 作变换作变换 dxxP exuy )( )( ,)()()( )()( dxxPdxxP exPxuexuy 一阶线性微分方程及全微分方程 代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()( )( CdxexQxu dxxP ),()( )( xQexu dxxP 积分得积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxP eCdxexQy )()

4、( )( dxexQeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )( 对应齐次对应齐次 方程通解方程通解 非齐次方程特解非齐次方程特解 一阶线性微分方程及全微分方程 . sin1 的通解的通解求方程求方程 x x y x y , 1 )( x xP , sin )( x x xQ Cdxe x x e dx x dx x 11 sin Cdxe x x e xxlnln sin 解解:这是一阶线性微分方程这是一阶线性微分方程 例例1 1 )( , )()( CdxexQey dxxPdxxP 可得其通解为由公式 Cxdx x sin 1 .cos 1 Cx x 一阶线性微分方程及全微分方程

5、 例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之 长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 . y )(xfy )0( 3 xxy )(xf ,)()( 23 0 yxdxxf x x yxydx 0 3 , 两边求导得两边求导得,3 2 xyy 解解 解此微分方程解此微分方程 x y ox P Q 3 xy )(xfy 一阶线性微分方程及全微分方程 dxexCey dxdx 2 3 , 663 2 xxCe x , 0| 0 x y由由, 6 C得得 所求曲线为所求曲线为).222(3 2 xx

6、ey x 2 3xyy 一阶线性微分方程及全微分方程 13. 2 . 5256例P 一阶线性微分方程及全微分方程 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式 n yxQyxP dx dy )()( )1 , 0( n 方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程. 2、伯努利方程、伯努利方程 时时，当当1 , 0 n 时时，当当1 , 0 n 解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程. 一阶线性微分方程及全微分方程 , 1 n yz 令令，则则 dx dy yn dx dz n )1( ),()( 1

7、xQyxP dx dy y nn ),()1()()1(xQnzxPn dx dz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得 n yz 1 ，得，得两端除以两端除以 n y 代入上式代入上式 . )1)( )()1()()1( 1 CdxenxQe zy dxxPndxxPn n 一阶线性微分方程及全微分方程 . 4 2 的通解的通解求方程求方程yxy xdx dy , 41 2 xy xdx dy y ,yz 令令 , 4 2 2 xz xdx dz , 2 2 C x xz解解得得 . 2 2 4 C x xy即即 解解，得，得两端除以两端除以 n y 例例 3 一阶线性微分方程及全

8、微分方程 例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: : ;22. 1 2 2x xexyyy 解解 , 2 1 1 2 yxexyy x , 2)1(1 yyz 令令 ,2 dx dy y dx dz 则则 ,2 2 x xexz dx dz 222 Cdxexeez xdx x xdx 所求通解为所求通解为). 2 ( 2 2 2 C x ey x 一阶线性微分方程及全微分方程 ; )(sin 1 . 2 2 x y xyxdx dy 解解 ,xyz 令令, dx dy xy dx dz 则则 , sin 1 ) )(sin 1 ( 22 zx y xyx

9、xy dx dz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得 ,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 一阶线性微分方程及全微分方程 ; 1 . 3 yxdx dy 解解,uyx 令令, 1 dx du dx dy 则则 代入原式代入原式, 1 1 udx du 分离变量法得分离变量法得 ,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为 ,)1ln(Cyxy 1 1 yeCx y 或或 另解另解 . yx dy dx 方程变形为方程变形为 一阶线性微分方程及全微分方程 小结小结 1.齐次方程齐次方程 2.线性非齐次方程线性非齐次方程 3.伯

10、努利方程伯努利方程 )( x y fy ;xuy 令令 ;)( )( dxxP exuy令令 ; 1 zy n 令令 一阶线性微分方程及全微分方程 思考题思考题 求微分方程求微分方程 的通解的通解. yxyy y y sin2sincos cos 一阶线性微分方程及全微分方程 思考题解答思考题解答 y yxyy dy dx cos sin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxy dy dx Cdyeyex yycoslncosln 2sin Cdy y yy y cos cossin2 cos .cos2cosyCy 一阶线性微分方程及全微分方程 一、求下列微分方程的通解

11、一、求下列微分方程的通解: : 1 1、 x exyy sin cos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6( 2 y dx dy xy. . 二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、4,5cot 2 cos x x yexy dx dy ； 2 2、. 0,1 32 1 3 2 x yy x x dx dy 练练 习习 题题 一阶线性微分方程及全微分方程 三三、设设有有一一质质的的量量为为 m质质点点作作直直线线运运动动从从速速度度等等于于零零 的的时时刻刻起起,有有一一个个与与运运动动方方向向一一致致,大

12、大小小与与时时间间成成正正 比比(比比例例 1 k系系数数为为)的的力力作作用用于于它它,此此外外还还受受 一一与与速速度度成成正正比比(比比例例 2 k系系数数为为)的的阻阻力力作作用用,求求质质 点点运运动动的的速速度度与与时时间间的的函函数数关关系系 . 四四、 求求下下列列伯伯努努利利方方程程的的通通解解: 1、 2 1 2 1 2 1 yxy x y ； 2、0)ln1( 3 dxxxyyxdy. 一阶线性微分方程及全微分方程 五、五、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的 方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: : 1 1、1 1

13、yxdx dy ； 2 2、1cossin2sin)1(sin2 22 xxxyxyy； 3 3、 x y xyxdx dy )(sin 1 2 . . 六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,0 10,2 )( x x xg, ,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy , ,满满 足条件足条件 0)0( y , ,且在区间且在区间 ),0 满足上述方程满足上述方程 . . 一阶线性微分方程及全微分方程 练习题答案练习题答案 一、一、1 1、 x eCxy sin )( ； 2 2、Cyyx 2 lnln2； 3 3、 23 2 1 yCyx . . 二、二、1 1

14、、15sin cos x exy； 2 2、 1 1 33 2 2 x exxy. . 三、三、)1( 0 2 2 1 2 1 t m k e k mk t k k v . . 四、四、1 1、 Cxxy ； 2 2、) 3 2 (ln 3 2 3 2 2 xxC y x . . 一阶线性微分方程及全微分方程 五五、1 1、Cxyx 2)( 2 ； 2 2、 Cx xy 1 sin1； 3 3、Cxxyxy 4)2sin(2. . 六六、 1,)1(2 10, )1(2 )( xee xe xyy x x . . 一阶线性微分方程及全微分方程 四四.全微分方程及其求法全微分方程及其求法 1.1

15、.定义定义: : 0),(),( dyyxQdxyxP 则则 dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式若有全微分形式 例如例如, 0 ydyxdx),( 2 1 ),( 22 yxyxu 称为称为 全微分方程全微分方程 或恰当方程或恰当方程 ,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程. . x Q y P 全微分方程全微分方程 一阶线性微分方程及全微分方程 2.2.解法解法: : 0),(),( dyyxQdxyxP 应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. x Q y P 通解为通解为 00 0 ( , )( ,)( , ) xy xy u x

16、 yP x y dxQ x y dy 00 0 (, )( , ), yx yx Q xy dyP x y dx ;),(Cyxu 全微分方程全微分方程 一阶线性微分方程及全微分方程 . 0)3()3( 2323 的的通通解解 求求方方程程 dyyxydxxyx 解解,6 x Q xy y P 是全微分方程是全微分方程, yx dyyxdxyxyxu 0 3 0 23 )3(),( . 42 3 4 4 22 4 C y yx x 原方程的通解为原方程的通解为 , 42 3 4 4 22 4 y yx x 例例1 1 一阶线性微分方程及全微分方程 .0 32 4 22 3 的的通通解解求求方方

17、程程 dy y xy dx y x 解解, 6 4 x Q y x y P 是全微分方程是全微分方程, 将左端重新组合将左端重新组合 ) 32 ( 1 4 2 32 dy y x dx y x dy y )() 1 ( 3 2 y x d y d . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为原方程的通解为 ), 1 ( 3 2 y x y d 例例2 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法. 一阶线性微分方程及全微分方程 .0)1(2 22 的通解的通解 dyyxdxyxx 解解 将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有 例例3 求微分方程求微分方程 , 022 22 dyyxdxyxx

18、xdx , 0)()( 2222 dyyxxdyxxd , 0)()( 222 yxdyxxd 原方程的通解为原方程的通解为.)( 3 2 2 3 22 Cyxx 一阶线性微分方程及全微分方程 2、积分因子法、积分因子法 定义定义: : 0),( yx 连连续续可可微微函函数数，使使方方程程 0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成成为为全全 微微分分方方程程. .则则称称),(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子. . 问题问题: 如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子? 就不是全微分方程则当 全微分方程 dyyxQdxyxP x Q y P x Q y P ),(),

19、(, . 一阶线性微分方程及全微分方程 1.1.公式法公式法: : , )()( x Q y P x Q x Q y P y P ，两两边边同同除除 x Q y P y P x Q lnln 求解不容易求解不容易 特殊地特殊地: ;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y , dx d x 一阶线性微分方程及全微分方程 ;.有有关关时时只只与与当当yb )( 1ln x Q y P Qdx d )(xf .)( )( dxxf ex , 0 x , dy d y )( 1ln y P x Q Pdy d )(yg .)( )( dyyg ey 一阶线性微分方程及全微分方程 2.2.观察法观察

20、法: :凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式常见的全微分表达式 2 22 yx dydyxdx x y d x ydxxdy 2 x y d yx ydxxdy arctan 22 xyd xy ydxxdy ln )ln( 2 1 22 22 yxd yx ydyxdx yx yx d yx ydxxdy ln 2 1 22 一阶线性微分方程及全微分方程 可选用的积分因子有可选用的积分因子有 ., 1 , 1 , 1 , 1 2222222 等等 x y y x yxyxxyx .0)()3( 22 的通解的通解 求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy 解解, 1 )( 1 xx Q y P Q dx x ex 1 )( .x 例例4 则原方程为则原方程为 , 0)()3( 2322 dyyxxdx