线性系统的根轨迹法1

1、1 1.1.正确理解正确理解开环零、极点和闭环零、极点开环零、极点和闭环零、极点 以及主导极点、偶极子等概念。以及主导极点、偶极子等概念。 2.2.正确理解和熟记正确理解和熟记根轨迹方程根轨迹方程( (模方程及相模方程及相 角方程角方程) )。熟练运用熟练运用模方程计算根轨迹上任模方程计算根轨迹上任 一点的根轨迹增益和开环增益。一点的根轨迹增益和开环增益。 3.3.正确理解正确理解根轨迹法则，法则的证明只需根轨迹法则，法则的证明只需 一般了解，一般了解，熟练运用熟练运用根轨迹法则按步骤绘根轨迹法则按步骤绘 制反馈系统开环增益制反馈系统开环增益K K从零变化到正无穷时从零变化到正无穷时 本章基本

2、要求本章基本要求 的闭环根轨迹。的闭环根轨迹。 4.4.正确理解正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的闭环零极点分布和阶跃响应的 定性关系，定性关系，初步掌握初步掌握运用根轨迹分析参数运用根轨迹分析参数 对响应的影响。对响应的影响。能熟练能熟练运用主导极点、偶运用主导极点、偶 极子等概念，将系统近似为一、二阶系统极子等概念，将系统近似为一、二阶系统 给出定量估算。给出定量估算。 5.5.了解了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方绘制广义根轨迹的思路、要点和方 法。法。 基本要求基本要求 本章序言本章序言 前已述及，闭环系统的动态性能与闭环极前已述及，闭环系统的动态性能与闭环极 点在点在s s 平面上的

3、位置密切相关。所以在分析系平面上的位置密切相关。所以在分析系 统的性能时，往往要求确定系统的闭环极点的统的性能时，往往要求确定系统的闭环极点的 位置。另外，在分析或设计系统时，经常要研位置。另外，在分析或设计系统时，经常要研 究一个或几个参量在一定范围内变化时，对闭究一个或几个参量在一定范围内变化时，对闭 环极点的位置以及系统性能的影响。闭环极点环极点的位置以及系统性能的影响。闭环极点 就是特征根，为了求解特征根，需将特征多项就是特征根，为了求解特征根，需将特征多项 式进行因式式进行因式分解。但对于高阶系统不太容易，分解。但对于高阶系统不太容易， 特别当系统某一参数变化时，需要反复地进行特别当

4、系统某一参数变化时，需要反复地进行 计算，更是不现实。所以伊万斯首先提出了求计算，更是不现实。所以伊万斯首先提出了求 解特征根的图解方法解特征根的图解方法根轨迹法。根轨迹法。 根轨迹根轨迹当系统某个参数变化时，闭环当系统某个参数变化时，闭环 特征根在特征根在s s 平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。 根轨迹法是在已知系统的开环零、极点条根轨迹法是在已知系统的开环零、极点条 件下，绘制出系统闭环特征根在件下，绘制出系统闭环特征根在s s 平面上随参平面上随参 数数变化时运动的轨迹。变化时运动的轨迹。 本章序言本章序言(续续) 1 1、根轨迹、根轨迹 设系统的结构如图设系统的结构如图 闭环特征方

5、程式闭环特征方程式 特征方程的根特征方程的根 得相应的闭环特征根值得相应的闭环特征根值: s2+2s+Kr C(s) R(s) = Kr s2+2s+Kr= 0 - Kr s(s+2) R(s)C(s) s1.2 1-Kr=-1 Kr s1 s2 0 0 -2 -1 1 -1 2 -1+j -1-j -1+j -1-j K Kr r变化时变化时, ,闭环特征根闭环特征根 在在s s平面上的轨迹平面上的轨迹: : -1 -2 1 -1 s1 s2 j 0 Kr=01 Kr Kr 可见：根轨迹图全面的描可见：根轨迹图全面的描 述了述了Kr对对S1,2分布的影响。分布的影响。 根轨迹的定义：根轨迹的

6、定义：是指开环系统某个参数由是指开环系统某个参数由0 0变变 化到化到，闭环特征根在，闭环特征根在s s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。 当系统的某个参数变化时，特征方程的根当系统的某个参数变化时，特征方程的根 随之在随之在S S平面上移动，系统的性能也跟着变化。平面上移动，系统的性能也跟着变化。 研究研究S S 平面上根的位置随参数变化的规律及其平面上根的位置随参数变化的规律及其 与系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。与系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。 根轨迹的特点：既不需求解微分方程，也不需根轨迹的特点：既不需求解微分方程，也不需 求解特征根，简便、直观，只要对根轨迹进行求

7、解特征根，简便、直观，只要对根轨迹进行 观察，就可看出系统响应的主要特征。观察，就可看出系统响应的主要特征。 研究根轨迹的目的研究根轨迹的目的：分析系统性能（稳定性、分析系统性能（稳定性、 稳态性能、动态性能）稳态性能、动态性能） 1.1.当当 时，特征方程根形成的轨迹称为常时，特征方程根形成的轨迹称为常 规根轨迹。规根轨迹。 2.2.当当 时，特征方程根形成的轨迹称为补时，特征方程根形成的轨迹称为补 根轨迹或余根轨迹。根轨迹或余根轨迹。 3.3.当当 时，特征方程根形成的轨迹称为时，特征方程根形成的轨迹称为 完全根轨迹（简称全根轨迹），他是根轨迹与补根轨迹的完全根轨迹（简称全根轨迹），他是根

8、轨迹与补根轨迹的 总称。总称。 4.4.当特征方程有一个以上的参数在变化时，方程的根轨迹当特征方程有一个以上的参数在变化时，方程的根轨迹 形成族。称作广义根轨迹或根轨迹族。形成族。称作广义根轨迹或根轨迹族。 * 0K * 0K * K 注：注： 研究根轨迹的目的研究根轨迹的目的：分析系统性能（稳定性、分析系统性能（稳定性、 稳态性能、动态性能）稳态性能、动态性能） 2 2、根轨迹与系统性能、根轨迹与系统性能 (1) (1) 稳定性稳定性 当开环增益从零变到无穷时，图中的根轨迹不会当开环增益从零变到无穷时，图中的根轨迹不会 越过虚轴进入右半越过虚轴进入右半s s平面，故对所有的平面，故对所有的K

9、 K值都是稳定的。值都是稳定的。 (2) (2) 稳态性能稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属 I I型系统，因而根轨迹上的型系统，因而根轨迹上的K K值就是静态速度误差系数。值就是静态速度误差系数。 如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确 定闭环极点位置的容许范围。定闭环极点位置的容许范围。 (3) (3) 动态性能动态性能 当当0 0K K0.50.5时，所有闭环极点位于实轴上，时，所有闭环极点位于实轴上， 系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为

10、非周期过程； 当当K K0.50.5时，闭环两个实数时，闭环两个实数 极点重合，系统为临界阻尼系统，极点重合，系统为临界阻尼系统， 单位阶跃响应仍为非周期过程，单位阶跃响应仍为非周期过程， 但响应速度较但响应速度较0 0K K 0.50.5情况为快；情况为快； 当当K K0.50.5时，闭环极点为复数时，闭环极点为复数 极点，系统为欠阻尼系统，单位阶极点，系统为欠阻尼系统，单位阶 跃响应为阻尼振荡过程，且超调量跃响应为阻尼振荡过程，且超调量 将随将随K K值的增大而加大。值的增大而加大。 分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密切的分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密切的 联系。然而，对于高阶

11、系统，用解析的方法绘制联系。然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制 统根轨迹图，显然是很繁琐。我们希望能有简便的统根轨迹图，显然是很繁琐。我们希望能有简便的 图解方法，根据已知的开环传递函数迅速绘出闭环图解方法，根据已知的开环传递函数迅速绘出闭环 系统的根轨迹。为此，需要：系统的根轨迹。为此，需要： 研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的 关系。关系。 系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为 ( ) ( ) 1( )( ) G s s G s H s 系统的结构图如下：系统的结构图如下： )(sR)(sC - )(sG )(sH 22 1212 22 12

12、22 * 1 1 (1)(21) ( ) (1)(21) () () G f i i Gq i i Ksss G s sT sT sT s sz K sp 2 * 12 2 2 GG KK T T 1 11* 11 11* 11 ()() ( )( ) ()() ()() ()() fl ij ij GHq l ij ii fl ij ij qh ij ij szsz G s H sKK spsp szsz K spsp 根轨迹法的任务是在根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分已知开环零、极点分 布布的情况下，如何通过图解法求出的情况下，如何通过图解法求出闭环极点闭环极点。 h j j l j

13、ps zs Ks 1 1 j * H )( )( )(H q i i f i i G ps zs KsG 1 1 * )( )( )( 11* 11 11* 11 ()() ()() ()() ()() ()() fl ij ij GH ql ij ii fl ij ij qh ij ij szsz GsHsKK spsp szsz K spsp 闭环传递函数闭环传递函数: : 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益； 闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成； 闭环系统的极点与开

14、环系统的极点、零点以及开环根闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根 轨迹增益轨迹增益 有关。有关。 * K q i i f i i G ps zs KsG 1 1 * )( )( )( h j j l j ps zs Ks 1 1 j * H )( )( )(H 闭环传递函数：闭环传递函数： )()(1 )( sHsG sG 闭环特征方程为：闭环特征方程为： 1)()(, 0)()(1 sHsGsHsG即即 jsHsGj MeesHsGsHsG )()( )()()()( 1)()( sHsG 它们满足：它们满足： 1)()( sHsG5 , 3 , 1 l , 1 0 180 l G

15、(s)H(s)G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：是复数，在复平面上对应一个矢量： 1 -1 1 )( )( 1 1 * n i i m j j ps zsK 将根轨迹方程写成零、极将根轨迹方程写成零、极 点表示的矢量方程为：点表示的矢量方程为： 表示为其表示为其模值方程模值方程和和相角方程相角方程分别为：分别为： ,1 | | 1 1 * n i i m j j ps zsK )12()()( 11 kpszs n i i m j j （相角公式：积的相角等于相角的和，（相角公式：积的相角等于相角的和， 商的相角等于相角的差）商的相角等于相角的差） （积的模等于模的积，商的模等于

16、模的商）（积的模等于模的积，商的模等于模的商） 绘制根轨迹必须满足的基本条件：绘制根轨迹必须满足的基本条件： )()()( )()()( 21 21 n m pspsps zszszs 0 180 l 5 , 3 , 1 l 幅值条件幅值条件 m n r zszszs pspsps K 21 21 相角条件相角条件 l ps zs K n j j m i i r 0 1 1 180) )( )( ( m i i n j j r zs ps K 1 1 )( )( 1.1. 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益值绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益值K K* *的大的大 小无关。即在小无

17、关。即在s s平面上，所有满足相角条件点的集合构成系平面上，所有满足相角条件点的集合构成系 统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。 综上分析，可以得到如下结论：综上分析，可以得到如下结论： 2.2. 绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益K K* *值的大小值的大小 有关。即有关。即K*值的变化会改变系统的闭环极点在值的变化会改变系统的闭环极点在s s平面上的位置。平面上的位置。 3.3.在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值 条件的

18、条件的s s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。 4.4.由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关， 因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。 注意：注意：1.1. 这两个条件是从系统闭环特征方程中导出这两个条件是从系统闭环特征方程中导出 的，所有满足以上两式的的，所有满足以上两式的s s 值值都是系统的都是系统的特征根特征根，把，把 它们在它们在s s平面上画出，就构成了平面上画出，就构成了根轨迹根轨迹。 2. 观察两式

19、，均与开环零极点有关，也就是说，观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根根 轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。 相角条件相角条件 )()()( )()()( 21 21 n m pspsps zszszs 0 180 l 5,3, 1 l 幅值条件幅值条件 m n r zszszs pspsps K 21 21 画法：画法： 1.1. 利用相角条件利用相角条件, ,找出所有满足相角条件的找出所有满足相角条件的s s值值, ,连成根连成根 轨迹。轨迹。( (充分必要条件充分必要条件) ) 2.2. 确定某一特征根后确定某一特征根后, ,利用幅值条件利用幅值条件

20、, ,求出对应的求出对应的K K* *值值。 根据根轨迹的基本特征和关键点，就根据根轨迹的基本特征和关键点，就 能比较方便地近似绘制出根轨迹曲线。能比较方便地近似绘制出根轨迹曲线。 根据根轨迹方程，无需对闭环特征方根据根轨迹方程，无需对闭环特征方 程式求解，只需寻找所有满足相角方程的程式求解，只需寻找所有满足相角方程的 s s ，便可得到闭环特征方程式根的轨迹。，便可得到闭环特征方程式根的轨迹。 同时，可由幅值方程来确定根轨迹所对应同时，可由幅值方程来确定根轨迹所对应 的的K Kr r值。值。 根轨迹基本特征为以下九条：根轨迹基本特征为以下九条： 根轨迹的起点和终点：根轨迹的起点和终点：根轨迹

21、起始于开环极点根轨迹起始于开环极点, , 终止于开环零点。终止于开环零点。 在实际系统中在实际系统中 , , 由于由于mnmn，因此有，因此有 n-m n-m 条根轨迹的终点将在无穷远处条根轨迹的终点将在无穷远处( (即开环无限零即开环无限零 点点) ) 。 特别地，若有特别地，若有mn, mn, 则有则有m-nm-n条根轨迹始条根轨迹始 于无穷远处于无穷远处( (即开环无限极点即开环无限极点) ) 。这种情况在实这种情况在实 际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹 中，有可能出现在等效开环传递函数中。中，有可能出现在等效开环传递函数中。 根轨迹的起点

22、和终点：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点, , 终止于开环零点。终止于开环零点。 根轨迹起点是指根轨迹增益根轨迹起点是指根轨迹增益* *= 0= 0的根轨的根轨 迹点，而终点则是指迹点，而终点则是指* *的根轨迹点；闭环的根轨迹点；闭环 系统特征方程：系统特征方程： 说明说明* *=0=0时时, , 闭环特征方程式的根就是开环传递函闭环特征方程式的根就是开环传递函 数数G(s)H(s)G(s)H(s)的极点，的极点，所以根轨迹必起于开环极点所以根轨迹必起于开环极点。 n n阶系统共有阶系统共有n n个开环极点，每个开环极点都对应根个开环极点，每个开环极点都对应根 轨

23、迹的一个起点，所以共有轨迹的一个起点，所以共有n n个起点。个起点。 式中式中* *可从零变到无穷可从零变到无穷, ,当当* *=0=0时时, ,有有 所以根轨迹必终止于开环零点。所以根轨迹必终止于开环零点。 综上所述：系统共有综上所述：系统共有n n个开环零点，其中个开环零点，其中m m个为有个为有 限零点，（限零点，（n-mn-m）个为无限零点。每个开环零点都）个为无限零点。每个开环零点都 对应根轨迹的一个终点，所以共有对应根轨迹的一个终点，所以共有n n个终点。个终点。 根轨迹的分支数：根轨迹的分支数： 把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分 支。由

24、前面的分析可知，支。由前面的分析可知，n n阶系统有阶系统有n n个根轨迹的个根轨迹的 起点和终点。所有的根轨迹都是有头有尾起点和终点。所有的根轨迹都是有头有尾 、有、有 始有终。所以其分支数必等于开环的极点数或系始有终。所以其分支数必等于开环的极点数或系 统的阶数。统的阶数。 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分根轨迹的分 支数与开环有限零点数支数与开环有限零点数 m m 和有限极点数和有限极点数 n n 中的中的 大者相等大者相等 , , 它们是连续的并且对称于实轴。它们是连续的并且对称于实轴。 根轨迹的连续性：根轨迹的连续性： 系统开环根轨迹增益系统

25、开环根轨迹增益 K K* * ( (实变量）与复变实变量）与复变 量量s s有一一对应的关系，当有一一对应的关系，当K K* *由零到无穷大连续由零到无穷大连续 变化时，描述系统特征方程根的复变量变化时，描述系统特征方程根的复变量s s在平面在平面 上的变化也是连续的，因此，根轨迹是上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n n条连续条连续 的曲线。的曲线。 根轨迹的对称性：根轨迹的对称性： 因为闭环特征方程式的根只有实根和复根两因为闭环特征方程式的根只有实根和复根两 种，实根位于实轴上，复根必共轭，而根轨迹是种，实根位于实轴上，复根必共轭，而根轨迹是 根的集合，故根轨迹对称于实轴。根的集合，故根轨

26、迹对称于实轴。根据对称性，根据对称性， 只需做出上半只需做出上半 s s 平面的根轨迹部分，然后利用平面的根轨迹部分，然后利用 对称关系就可画出下半对称关系就可画出下半 s s 平面的根轨迹部分。平面的根轨迹部分。 根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线：当开环极点数当开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数 m m时，系统有时，系统有n-mn-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于S S平面的无穷远平面的无穷远 处，这处，这n-mn-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的 渐近线，因此，渐近线也有渐近线，因此，渐近线也有n-mn-m条，且它们交于实条，且它们交于实 轴上的

27、一点。轴上的一点。渐近线与实轴的交点位置和与实轴渐近线与实轴的交点位置和与实轴 正方向的交角分别为：正方向的交角分别为： 和和 渐近线就是渐近线就是s s值很大时的根轨迹，因此渐近线值很大时的根轨迹，因此渐近线 也一定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式形也一定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式形 式，得式，得 用用多项式除法多项式除法, , 当当s s值非常大时，开环传递函数值非常大时，开环传递函数 可以近似为：可以近似为： 1 11 11 1111 1 1 1 11 1 11 () () () . n mn m mmnn mmnn nn n n sab s sbsbsbsa sasa s

28、bs ab s ab s 由特征方程由特征方程1+G(s)H(s)=01+G(s)H(s)=0得渐进线方程为：得渐进线方程为： * 11 1 21 1 * 11 (1) 1 n m jk n m n m n mn m ab sK s ab sKK e s 由二项式定理：由二项式定理： 1 2 111111 1111 111 2! n m ababab sn msn m n ms 1 1111 1 11 n m abab snms 当当s值非常大时，近似有值非常大时，近似有 则渐近线方程变为：则渐近线方程变为： 1 21 * 1111 21 * 11 21 * 1 11 jk n m n m n

29、 m jk n m n m jk n m n m aa abab ssK e snms ab sK e nm ssK e 得渐近线与实轴的交点和同正实轴的夹角分别得渐近线与实轴的交点和同正实轴的夹角分别 为：为： 规定：相角规定：相角逆时针为正，顺时针为负。逆时针为正，顺时针为负。 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 当当k取不同值时取不同值时, 可得可得 n-m个个 角角, 而而a 不变不变, 因此根轨因此根轨 迹渐近线是迹渐近线是n-m条与实轴交点为条与实轴交点为a 交角为交角为 的一组射线的一组射线(图图 中仅画了一条渐近线中仅画了一条渐近线)。 a a 180 0 1 mn 90 90 0

30、2 mn 45 45 180 0 4 mn 60 60 180 0 3 mn 渐进线相角：渐进线相角： 2 AA q s nm A , 22 A , , 33 A 33 , 4444 A 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹： 实轴上的某一区域实轴上的某一区域 , , 若其右若其右 边开环实数零、极点个数之和为奇数边开环实数零、极点个数之和为奇数 , , 则该区域则该区域 必是根轨迹。必是根轨迹。 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹： 测试点右侧相角中的每一个相角都等于测试点右侧相角中的每一个相角都等于，而，而 与与-代表相同角度，因此减去代表相同角度，因此减去角就相当于加角就相当于加 上上角。于是角。

31、于是s s0 0位于根轨迹上的等效条件是位于根轨迹上的等效条件是 12 ) 12()( ) 12( ) 12( kba kba kba k i j 根轨迹的分离点与分离角：两条或两条以上根轨根轨迹的分离点与分离角：两条或两条以上根轨 迹分支在迹分支在 s s平面上相遇又立即分开的点平面上相遇又立即分开的点 , , 称为根称为根 轨迹的分离点。轨迹的分离点。根轨迹出现分离点说明对应是特根轨迹出现分离点说明对应是特 征方程出现了重根。征方程出现了重根。分离点分离点( (会合点会合点) ) 坐标坐标 d d 可可 由下列方法确定：由下列方法确定： m j n i ij pdzd 11 11 式中式中

32、, zj为各开环零点的数值为各开环零点的数值 ; pi为各开环极点的数为各开环极点的数 值；分离角为值；分离角为(2k+1)/l。 l为分支数。为分支数。一般用一般用试凑试凑 法法求取求取 d 。 (1) (1) 公式法公式法 分离角：分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离 点的切线方向之间的夹角。当点的切线方向之间的夹角。当l l条根轨迹分支进入条根轨迹分支进入 并立即离开分离点时，分离角可由并立即离开分离点时，分离角可由(2k+1)/(2k+1)/l l决定，决定， 其中其中l l=0,1,=0,1, , l l-1-1。 显然显然l l=2=2时

33、，分离角为直角。时，分离角为直角。 实轴上根轨迹的分离点实轴上根轨迹的分离点 由根轨迹方程由根轨迹方程 根轨迹相遇的点即为特征方程的重根，设重根根轨迹相遇的点即为特征方程的重根，设重根 为为d d，根据代数中的重根条件根据代数中的重根条件 m j j m j j n i i n i i zs zs ds d ps ps ds d 1 1 1 1 )( )( )( )( 将式（将式（1 1）除以式（）除以式（2 2）得：）得： )(*)( )(*)( 0)(*)()( 11 11 11 m j ji n i j m j n i i m j j n i i zs ds d kps ds d zsk

34、ps zskps ds d sD m j j n i i m j j n i i j m j m j j n i n i ii m j j n i i zsps ds zsd ds psd zszs psps ds zsd ds psd 11 1 1 11 11 1 1 11 )ln( )ln( )(ln)(ln )ln()(ln )(ln )(ln 从上式得出从上式得出s, s, 即为分离点即为分离点d d。 代入代入 得得 0 )( )( 1 * sD sN K闭环特征方程：闭环特征方程： 即：即：0)()( * sNKsD (2) (2) 重根法重根法 0 * ds ds dK 0)()

35、()()(sDsNsDsN )()()( * sNKsDsF 0)()()( 0)()()( * * sNKsDsF sNKsDsF (3) (3) 极值法极值法 )( )( * sN sD K 0)()()()(sDsNsDsN 分离点：分离点： 分离点：分离点： 说明：说明： 由上述几种方法求出的根是否为分离点，要由上述几种方法求出的根是否为分离点，要 分情形进行确定：若求出的根是实数，要根据分情形进行确定：若求出的根是实数，要根据 “法则法则4: 4: 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹” 进行确定；若求出进行确定；若求出 的根是复数，则要根据的根是复数，则要根据 “相角条件相角条件” 进行确

36、定进行确定 。 分离角：分离角： l k d 180) 12( 其中：其中：l为为相分离的根轨迹支数相分离的根轨迹支数。 （1 1）根轨迹出现分离点说明：特征根出现了重根轨迹出现分离点说明：特征根出现了重 根。根。分离点位于实轴上或以共轭形式出现。分离点位于实轴上或以共轭形式出现。 （2 2）根轨迹在实轴上两相邻开环极点（其中一）根轨迹在实轴上两相邻开环极点（其中一 个可为无限极点）之间，至少存在一个分离个可为无限极点）之间，至少存在一个分离 点；根轨迹在实轴上两相邻开环零点，（其点；根轨迹在实轴上两相邻开环零点，（其 中一个可为无限零点）之间，至少存在一个中一个可为无限零点）之间，至少存在一

37、个 分离点。分离点。 （3 3）分离角可由（）分离角可由（2k+1)/l,(k=0,12k+1)/l,(k=0,1.,l-1);.,l-1); 决定。决定。 分 离 点 0 0 会 合 点 (a) 两 开 环 极 点 之 间 是 根 轨 迹 (b) 两 开 环 零 点 之 间 是 根 轨 迹 0 0 会 合 点 分 离 点 c c）两开环零极点之间是根轨迹）两开环零极点之间是根轨迹 四重分离点四重分离点 复数分离点复数分离点 解：解：此例中此例中m=1, n=3m=1, n=3。由法则。由法则4 4，实轴上区域，实轴上区域00，-1-1 和和-2-2，-3-3是根轨迹，在图是根轨迹，在图(b)

38、(b)中以粗实线表示。中以粗实线表示。 设系统结构图与开环零、极点分布如图所设系统结构图与开环零、极点分布如图所 示示, , 试绘制其概略根轨迹。试绘制其概略根轨迹。 由法则由法则3 3，两条终于无穷的根轨迹渐，两条终于无穷的根轨迹渐 近线与实轴交角为近线与实轴交角为9090 和和270270 ，即，即 有有 由法则由法则5 5，实轴区间，实轴区间-2,-3-2,-3必有一个根轨迹的分离点必有一个根轨迹的分离点d d，满足，满足 m j n i ij pdzd 11 11 用试凑法解出用试凑法解出d-2.47d-2.47，最后画出系统概略根轨迹如图。，最后画出系统概略根轨迹如图。 设单位反馈系

39、统的开环传递函数如下，试设单位反馈系统的开环传递函数如下，试 绘制闭环系统根轨迹。绘制闭环系统根轨迹。 15 . 0 ) 15 . 0( )( 2 ss sK sG * * (2)(2) ( )( ) (1)(1)(1)(1) KsKs G sG s sj sjsj sj 分离点：方程分离点：方程 解解: : 将将 G(s)G(s)写成零极点标准形式，写成零极点标准形式， 解得解得d=-3.414(d=-3.414(舍去舍去d=-0.586)d=-0.586)。 根轨迹的起始角与终止角：根轨迹离开开环复数根轨迹的起始角与终止角：根轨迹离开开环复数 极 点 处 切 线 与 正 实 轴 的 夹 角

40、 ， 称 为 起 始 角极 点 处 切 线 与 正 实 轴 的 夹 角 ， 称 为 起 始 角 ，根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的，根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的 夹角，称为终止角夹角，称为终止角 i p i z , 2, 1, 0 12 11 k k n ij j pp m j pzp ijiji , 2, 1, 0 12 11 k k n j zp m ij j zzz ijiji ) 12()()()s ( 1 , 1 1 1 1 kpspsz ij n ijj j m j 在十分靠近待求起始角（或终止角）的复数在十分靠近待求起始角（或终止角）的复数 极点（或复数零点）

41、的根轨迹上，取一点极点（或复数零点）的根轨迹上，取一点s1s1，根，根 据相角方程有：据相角方程有： 移项后得证。移项后得证。 )12()()( 11 kpszs n i i m j j 当当s s1 1无限趋于无限趋于p pi i时，有：时，有： ) 12()()( , 11 kppzp pij n ijj ij m j i ) 12()()()s ( 1 1 1 , 1 1 kpszsz j n j ij m ijj 移项后得证。移项后得证。 )12()()( 11 kpszs n i i m j j ) 12()()( 1, 1 kpzzz ji n j zij m ijj i 当当s

42、s1 1无限趋于无限趋于z zi i时，有：时，有： j 开环极点 开环零点 出射角出射角 j 开环极点 开环零点 入射角入射角 例：例：已知系统的开环传递函数，试确定系统已知系统的开环传递函数，试确定系统 的根轨迹图。的根轨迹图。 解：解： s(s+2.5)(s2+s+1.5) G(s)H(s)= Kr(s+1.5)(s2+4s+5) 1）开环零、极点为）开环零、极点为 p2=-2.5p1=0 z1=-1.5 P3.4=-0.5j1.5 z2.3=-2j j 0 108 79 56.5 37 19 59 90 p1 p2 p3 p4 z1 z2 z3 2）实轴上的根轨迹段）实轴上的根轨迹段

43、p1z1p2 - 8 3）根轨迹的渐近线）根轨迹的渐近线 n-m= 1 +180 o = 4）根轨迹的出射角）根轨迹的出射角 -79 1 + = (2k+1) + + 3 i =1 i 4 j =3 - = 3j = + + 56.5+19 +59-108-90-37 =79 同时可得同时可得4 =-79 开环零、极点分布开环零、极点分布: j 0 153 199 63.5 90 p1 p2 p3 p4 z1 z2 z3 5）根轨迹的入射角）根轨迹的入射角 121 117 149.5 = 2+149.5 = + - 117-90+153o +63.5+199+121 6）系统根轨迹）系统根轨迹

44、 + + 4 j =1 3 i =2 - =j i 2 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，则根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，则 交点上的交点上的K K* *值和值和值可用劳斯判据确定，也可令值可用劳斯判据确定，也可令 闭环特征方程中的闭环特征方程中的s=js=j，然后分别令其实部和，然后分别令其实部和 虚部为零而求得。虚部为零而求得。 纯虚数法纯虚数法： 即由即由 D D（jj）= 0 = 0 求得，即：求得，即： 直接令直接令s=js=j代入代入D D（s s）=1+ G=1+ G（s s）H H（s s）=0 =0 由由 Re1 + GRe1 + G（jj）H H（jj）=0

45、 =0 Im1 + G Im1 + G（jj）H H（jj）=0=0 求得求得 K K* * 及及 ，则，则s s1 1， ，2 2= = j j为根轨迹与虚轴的交点。为根轨迹与虚轴的交点。 -10-8-6-4-202 -6 -4 -2 0 2 4 6 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 劳斯判据法劳斯判据法： 令劳斯表第一列元素中含有令劳斯表第一列元素中含有K K* *的项等于零的项等于零 求出求出K K* *值后，由值后，由S S2 2项系数构成的辅助方程求得项系数构成的辅助方程求得 共轭的纯虚根共轭的纯虚根s s1 1， ，2 2= = j j，即为根

46、轨迹与虚，即为根轨迹与虚 轴的交点。轴的交点。 例：例：已知系统的开环传递函数，试确定已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。系统的根轨迹图。 解：解： s(s+3)(s2+2s+2) G(s)H(s)= Kr(s+2) j 0-1 1）开环零、极点）开环零、极点 2）实轴根轨迹段）实轴根轨迹段 3）根轨迹的渐近线）根轨迹的渐近线 p3.4=-1j z1=-2 p2=-3p1=0 p1 p2 p3 p4 z1 p1z1p2 - 8 n-m= 3 3 = -3-1-1+2 =-1 = +180o+60o , 135 26.6 90 45 -26.6 1.6 -1.6 4）根轨迹的出射角）

47、根轨迹的出射角 3=+ 1-2-4 1- = + + 45-135-90-26.6 =-26.6 5）与虚轴的交点）与虚轴的交点 s(s+3)(s2+2s+2)+Kr(s+2)=0 s4+5s3+8s2+6s+Krs+2Kr=0 (j ) 4+5(j)3+8(j)2+j6 +jKr +2Kr=0 4-82+2Kr=0 -53+6+Kr=0 Kr=0 Kr=7 2,3=1.6 1=0 解得解得 6）系统根轨迹）系统根轨迹 根之和：在根之和：在 时，开环时，开环n n个极点之和个极点之和 总是等于闭环总是等于闭环n n个极点之和，即个极点之和，即 ：系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为 )(.

48、)( )( )(*)( 1 1 1 1 1 n 1 n i i n n i i n n i i m j j i i ssss ss zskps n i i n i i ps 11 2 2n nm m .)(*)(* .)()( 1 1m 1 1 11 m i i m m j i n n i i n n i i zskskzsk spsps （2 2）、（）、（3 3）相加后与（）相加后与（1 1）比较，当）比较，当 时，时， 特征方程中特征方程中k k* *项系数与项系数与K K* *无关，因此，无论无关，因此，无论K K* *为何值，都有为何值，都有 2 2n nm m n i i n i

49、i ps 11 )(.)()(*)( 1 1 11 n 1 n i i n n i i n m j j i i sssszskps 根之积：在根之积：在 时，闭环时，闭环n n个极点之积个极点之积 总是等于下式，即总是等于下式，即 2 2n nm m m k k n j j n i i zKps 1 * 11 意义：意义：1 1） 已知系统部分闭环极点时，可以确定已知系统部分闭环极点时，可以确定 其余的闭环极点的分布及对应的系统参数其余的闭环极点的分布及对应的系统参数K K值；值； 2 2） 判断根轨迹的走向。当判断根轨迹的走向。当 K K* *增加时，若有增加时，若有 一部分闭环根向一部分闭

50、环根向S S平面左边移动，则另一部分根平面左边移动，则另一部分根 一定向一定向S S平面右边移动。平面右边移动。 以上九条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的以上九条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的 基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。 根轨迹的起点（开环极点根轨迹的起点（开环极点 ) )用符号用符号“ ” 标示；根轨迹的终点标示；根轨迹的终点( (开环零点开环零点 ) )用符号用符号“ o o ” 标示。标示。 根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹 增益值的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运增益值的增加而运动的，要用

51、箭头标示根轨迹运 动的方向。动的方向。 i p j z 要 标 出 一 些 特 殊 点 的要 标 出 一 些 特 殊 点 的 值 ， 如 起 点值 ， 如 起 点 （ ) )，终点（，终点（ ) )；根轨迹在实轴上的分；根轨迹在实轴上的分 离点离点d ( )d ( )；与虚轴的交点；与虚轴的交点 （ ）。）。 还有一些要求标出的闭环极点及其对应的开环根还有一些要求标出的闭环极点及其对应的开环根 轨迹增益轨迹增益 ，也应在根轨迹图上标出，以便于进，也应在根轨迹图上标出，以便于进 行系统的分析与综合。行系统的分析与综合。 r K 0Kr r K rdr KK rcr KK c 1 K ) 12 .

52、 005. 0)(105. 0( )( 2 ssss K sG 试绘制试绘制K K由由 时的闭环根轨迹。时的闭环根轨迹。0 已知开环传递函数已知开环传递函数 kk jsjsss k ssss k sG 400* ) 42)(42)(20( * )204)(20( 2020 )( 2 42,20, 0 4, 321 jppp 解：解： 开环极点：开环极点： 无开环零点无开环零点 6 4 ) 42() 42()20(0 0, 4 11 jj mn zp mn n i m j ji a （1 1）根轨迹分支数：）根轨迹分支数： （2 2）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹: : （3 3）渐进线：渐进线

53、： ) 42)(42)(20( * )( jsjsss k sG 4 （-20，0） 2 1 1 0 135 45 135 45 4 ) 12() 12( k k k k k mn k a 39 39 905 .125 .116) 12( )()()() 12( )()() 12( 4 432313 3, 1 3 1 33 p n ii i m i ip k ppppppk ppzpk （4 4）根轨迹的起始角）根轨迹的起始角 1 .15 0)6 . 69 . 2)(1 .15( 01005018 0 42 1 42 1 20 11 0 1111 2 23 4321 d ddd ddd jdj

54、ddd pdpdpdpd （5 5）分离点）分离点 ) 42)(42)(20( * )( jsjsss k sG （6 6）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点 js kssss ksssssD 0*40010024 *)204)(20()( 234 2 ) 42)(42)(20( * )( jsjsss k sG 47. 3 ,1391400*, 1 . 4 , 0 040024 0*100 0)40024(*)100( *)(400)(100)(24)()( 3 , 2 1 3 24 324 234 k kk k jk kjjjjjD 劳斯表法：劳斯表法： S4 1 100 K* S3

55、24 400 0 S2 2000 24K* S1 2000*40024*24*K* 0 S0 24K* 令令2000*40024*24*K* =0，得：，得：K*=1389； 由由2000 s2 +24K*=0 解得：解得：s1,2=j4.1。 （6 6）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点 num=0 0 0 1; den=1 24 100 400 0; rlocus(num,den) ggj2.m: )204)(20( 2020 )( 2 ssss k sG G=zpk(,0 -20 -2+4j -2-4j,1); rlocus(G) grid ggj3.m: )42)(42)(20(

56、* )( jsjsss k sG ggj4.m: num=0 0 0 1; den=conv(1 4 20,conv(1 0,1 20); G=tf(num,den); rlocus(G) grid )204)(20( 2020 )( 2 ssss k sG 试确定系统的根轨迹图。试确定系统的根轨迹图。 解：解： 1）开环零、极点）开环零、极点 j 0 p2.3=-4j2p1=0 p1 s(s2+8s+20) G(s)H(s)= Kr p2 p3 2）实轴上的根轨迹段）实轴上的根轨迹段 p1 - 8 n-m=3 3）根轨迹的渐近线）根轨迹的渐近线 = +180 o +60o , -2.7 3

57、= -4-4=-2.67 153.4 90 -63.4 4.5 -2 -3.3 4）根轨迹的出射角）根轨迹的出射角 =-153.4-90 =-63.4 5）与虚轴的交点）与虚轴的交点 2= - 1-3 系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为 s3+8s2+20s+Kr=0 代入代入 s= j -4.5 +Kr=0-8 2 -3 3+20 =0 -j33-82+j20+Kr=0 Kr=160 2,34.5 Kr=0 1=0 6）分离点和会合点）分离点和会合点 3s2+16s+20=0 s1=-2s2=-3.33 A(s)B(s)=A(s)B(s) 7）系统根轨迹）系统根轨迹 解得解得 s(s+4)

58、(s2+4s+20) G(s)H(s)= Kr 试确定系统的根轨迹图。试确定系统的根轨迹图。 解：解： 1）开环零、极点）开环零、极点 j 0 p1 p3.4=-2j4 p1=0p2=-4 p2 p3 p4 2）实轴上根轨迹段）实轴上根轨迹段 p1p2 3）根轨迹的渐近线）根轨迹的渐近线 n-m= 4 4 = -4-2-2 =-2 -2 4）根轨迹的出射角）根轨迹的出射角 =-180-90o =-90 -2 2 90 -90 + 1-2 3 - 4= - =90 4 3.16 -3.16 = +135o+45o , 5）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程为闭环特征方程为 s4

59、+8s3+36s2+80s+Kr=0 -83+80=0 4-362+Kr=0 Kr=0 Kr=260 2,3=3.16 1=0 +j80 4-j8 3-36 2 +Kr=0 6）分离点和会合点）分离点和会合点 4s3+24s2+72s+80=0 A(s)B(s)=A(s)B(s) 解得解得 s1=-2 s2.3=-2j2.45 s1在根轨迹段上在根轨迹段上 为分离点为分离点,s2.3必须判必须判 断才能确定断才能确定. s2点的相角为点的相角为: (s2-p3 )- (s 2-p4) - =-180+90-90 =-180 为根轨迹上的点为根轨迹上的点 7）系统根轨迹）系统根轨迹 (s2-p1

60、 )- (s 2-p2) - 例例4-74-7 系统的开环传递函数系统的开环传递函数 试画根轨迹，并确定试画根轨迹，并确定 时时K K1 1的值。的值。 解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析。解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析。 (1) (1) 渐近线：渐近线：3 3条。条。 渐近线的夹角：渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点： 1 ( )( ) (4)(6) K G s H s s ss 180 (21) 60 ,180 3 1 k (046)0 3.33 3 （2 2）分离点：）分离点： 即即 （舍去）（舍去） js 111 0 46sss 57. 1 1 s1 . 5 2