线性系统的能控性和能观性

1、3.1 能控性的定义能控性的定义 1 提出提出 状态方程反映了控制输入对状态的影响；输出方程 反映系统输出对控制输入和状态的依赖 能控性揭示系统输入对状态的制约能力；能观性反 映从外部对系统内部的观测能力； 能控性和能观性的概念是卡尔曼在1960年提出，成为现 代控制理论中最重要的概念，是最优控制设计的基础。 状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系 xAxBu yCxDu 3.1 能控性的定义能控性的定义 2 定义定义 若线性连续定常系统： 如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区 间 内，使系统由某一初始状态x(t0) = x0，转 移到指定的任意终端状态x(tf) = xf

2、，则称此状态是能 控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是完 全能控的，或简称系统是能控的。 有时也称矩阵（A，B）是能控的。 xAxBu 0 , f t t 3.1 能控性的定义能控性的定义 2 定义定义 0 , f t t时间段内存 在控制输入u 1 (), fn x tPP 0 ( )x tP 3.1 能控性的定义能控性的定义 桥形电路(a)两个电容相等。选各自的电压为状态变量， 且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则两个 状态分量恒相等。相平面图(b)中相轨迹为一条直线， 因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不论 电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这 条直线,显

3、然，它是不完全能控的。 3.1 能控性的定义能控性的定义 2 定义定义 若系统(A(t)，B(t)对初始时刻t0，存在另一时刻tf （tf t0），对t0时刻的初始状态x(t0) = x0，可以找到一 个允许控制u(t)，能在有限时间t0 tf 内把系统从初态x(t0) 转移至任意指定的终态x(tf )，那么就称系统在t0时刻的 状态x(t0)是能控的。若系统在状态空间中的每一个状态 都能控，那么就称系统在（t0，tf）时间间隔内是状态完 全能控的，简称状态能控的或能控系统。 若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则此 系统称为不能控系统。 3.1 能控性的定义能控性的定义 3 几点说

4、明几点说明 本章结构本章结构 第第3章章 线性控制系统的能控性和能观性线性控制系统的能控性和能观性 3.1 能控性的定义能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题传递函数

5、阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系 绪论绪论 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 能控性判别有两种形式： （1）约旦标准型判定 （2）（A，B）判定 1 化为约旦标准型化为约旦标准型 11 1 2222 xx xxb u 11 12 2222 xxx xxb u 11 121 222 xxxbu xx 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 11 1 2222 xx xxb u 11 12 2222 xxx xxb u 11 121 222 xxxbu xx 3.2 线性定

6、常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 1 化为约旦标准型化为约旦标准型 （1）系统的能控性取决于系统矩阵A和控制矩阵B。 （2）当A为对角阵时，如果B的元素有0，则系统不 可控。 （3）当A为约旦标准型时，只要相应的约旦块对 应的B的最后一个元素不为0，则系统可控。 （4）从结构图看，若存在于u无关的孤立方块，则系 统不可控。 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 1 化为约旦标准型化为约旦标准型 例例3.2-1 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 例例3.2-2 考察下列系统的状态能控性

7、考察下列系统的状态能控性 )( 7 5 2 )( 1 5 7 )(tutt x x )( 9 0 2 )( 1 5 7 )(tutt x x )( 57 04 10 )( 1 5 7 )(tttuxx )( 3 4 0 )( 200 040 014 )(tutt x x )( 03 00 24 )( 200 040 014 )(tttuxx 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 2 从从A与与B判定能控性判定能控性 定理3.2-1 线性定常连续系统(A，B)其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵 的秩为n，即 21n MB AB A BAB rankMn 3.2 线性定常

8、系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 证明 定理3.2-1 已知状态方程的解为 f ff t t ttt f detet 0 0 )()()( )( 0 )( Buxx AA 在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 = 0以及终端状态为状态空间的原点，即x(tf ) = 0。则有 f t de 0 )()0( Bux A 利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理 () ( )0(0)( ) f ff t AtA t f o x texeBud 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 证明 定理3.2-1 利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamil

9、ton）定理 1 0 )( n k k k A Ae 1 0 0 (0)( ) ( ) f n t k k k xA Baud 进而得到 因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的 量，令 0 ( ) ( ) f t kk aud 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 证明 定理3.2-1 0 1 11 0 1 (0) n k2n k k n xA BBABA BAB 若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都 应从上述方程中解出 0，1，n 1来。这就要求系 统能控性矩阵的秩为n，即 rank B AB A2B An 1B = n 3.2 线性定常系统的能

10、控性判别线性定常系统的能控性判别 例例3.2-3 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 判断其状态能控性。判断其状态能控性。 u x x x x 1 0 10 11 2 1 2 1 例题例题 3.2-3 【解答】 11 00 MB AB 1rankM 所以该系统是状态不能控的。 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 例例3.2-4设系统的状态方程为设系统的状态方程为 判断其状态能控性。判断其状态能控性。 例题例题 3.2-4 【解答】 )( 11 11 12 )( 310 020 231 )(tttuxx 系统的能控性矩阵为 2 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2

11、5 4 4 4 4 4 M = B AB A2B = rankM= 2 n 所以系统状态不完全能控。 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 3 线性定常系统的输出能控性线性定常系统的输出能控性 在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被控制 量往往不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必要 研究系统的输出是否能控的问题。 对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无约束的控 制矢量u(t)，在有限时间间隔t0，tf内，能将任一给定的 初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf )，那么就 称(A，B，C，D)是输出完全能控的，或简称输出是能 控的。 线性定常系统(A，

12、B，C，D)，其输出完全能控的充 要条件是输出能控性矩阵满秩，即 rankQ =rank CB CAB CAn -1B D = m 本章结构本章结构 第第3章章 线性控制系统的能控性和能观性线性控制系统的能控性和能观性 3.1 能控性的定义能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型状

13、态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系 绪论绪论 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 1 定义定义 对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf t0，能够 根据输出量y(t)在t0，tf内的测量值，唯一地确定系统在 时刻t0的初始状态x(t0)，则称此系统的状态是完全能观测 的，或简称系统能观测的。 讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态 空间表达式 xAx yCx 3.

14、3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 1 定义定义 能观测性的概念非常重 要，这是由于在实际问 题中，状态反馈控制遇 到的困难是一些状态变 量不易直接量测。因而 在构造控制器时，必须 首先估计出不可量测的 状态变量。在“系统综 合”部分我们将指出， 当且仅当系统是能观测 时，才能对系统状态变 量进行观测或估计 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 2 能观性判别能观性判别 能观性判别有两种形式： （1）约旦标准型判定 （2）（A，C）判定 （1）约旦标准型判定 能观判定1：设线性定常连续系统(A，C)具有互 不相同的特征值，则其状态完全能观测的充要条 件，是

15、系统经线性非奇异变换后的对角标准形中， 不包含全为零的列 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 2 能观性判别能观性判别 （1）约旦标准型判定 ) ( )( ) ( ) ( 2 1 tt tt n xCy xx 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 2 能观性判别能观性判别 （1）约旦标准型判定 能观判定2：设线性定常连续系统(A，C)具有重 特征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系 统经线性非奇异变换后的约当标准形中，和每个 约当块Ji（i =1，2，k）首列相对应的的所 有那些列，其元素不全

16、为零。 ) ( )( ) ( ) ( 2 1 tt tt k xCy x J J J x 2 能观性判别能观性判别 （1）约旦标准型判定 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 例例3.3-1考察下列系统的状态能观性考察下列系统的状态能观性 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 7 ( )5( ) 1 ( )045( ) tt y tt xx x 7 ( )5( ) 1 320 ( )( ) 031 tt tt xx yx 310 031 ( )( ) 003 21 02 11 110 ( )( ) 01 100 tt tt xx yx 21 02 ( )

17、( ) 33 03 01 10 ( )( ) 01 11 tt tt xx yx 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 2 从从A与与C判定能观性判定能观性 定理3.3-1 线性定常连续系统(A，C)其状态完全能观的 充要条件是其能观性矩阵 的秩为n，即 1n C CA N CA rankNn 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 证明 定理3.3-1 已知系统(A，C)状态方程的解为 在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 = 0则有 利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理 ( )(0) ( )(0) At At x te

18、x y tCe x 0 0 ()() 0 ( )( )( ) t A t tA t t x tex teBud 1 0 )( n k k k t teA A 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 证明 定理3.3-1 所以 因为一般m n，此时，方程无唯一解。要使方程有唯 一解，可以在不同时刻进行观测，得到y(t1)，y(t2)， y(tf )，此时把方程个数扩展到n个，即 )0()()( 1 0 xCAtty k n k k 1 011 011 1 ( )( )(0)( )(0)( )(0) ( )( )( )(0) n n mmnm n y tt Cxt CAxt CA

19、x C CA t It It Ix CA 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 证明 定理3.3-1 )0( )()()( )()()( )()()( )( ( )( 1 110 212120 111110 2 1 x CA CA C III III III mmm mmm mmm n fnff n n f ttt ttt ttt ty ty ty ） 上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的量测值 y(t1)，y(t2)，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地 确定下来的充要条件是能观测性矩阵N满秩。 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性 例例3.3-2 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 判断其状态能观性。判断其状态能观性。 )( 01 01 )( )( 1 1 )( 31 12 )( tt ttt xy ux x 10 10