2.5.1_平面几何中的向量方法(1)[沐风教学]

1、2.5 2.5 平面向量应用举例平面向量应用举例 2.5.1 2.5.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 1优讲课堂 向量的相关概念及其形式向量的相关概念及其形式 定义形式定义形式坐标形式坐标形式 数量积数量积运算运算 向量的向量的模模 向量的向量的夹角夹角 垂直垂直的判定的判定 共线共线的判定的判定 相等相等的判定的判定 cosa ba b 2121 yyxxba aaa 22 yxa ba ba cos 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx cos 0 ba 0 2121 yyxx 0 1221 yxyx ），（），（非非零零向向量量 2211 yxbyx

2、a ab 1212 xxyy且且 a=b 2优讲课堂 1221 abx y -x y0(b0) 向量在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常证明线段平行问题，包括相似问题，常 用向量平行（共线）的条件用向量平行（共线）的条件 ab . (2)证明垂直问题证明垂直问题,常用向量垂直的条件常用向量垂直的条件 ab . 1212 a b0 x xy y0. 3优讲课堂 利用夹角公式利用夹角公式 2 2 1 12 2 2 2 1 12 2 ) )y y- -( (y y+ +) )x x- -( (x x (3)求夹角问题求夹角问题 ， (4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，求线段

3、的长度，可以用向量的线性运算， 向量的模向量的模|a|= 或或 |AB|=|AB|= . 1212 2222 1122 x xy ya b cos a b xyxy 2 a aa 22 axy 4优讲课堂 AB CD , ACABAD , DBABAD 问题问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。 如图，如图， 你能发现对角你能发现对角 线线AC的长度与邻边的长度与邻边AB、AD的长度之间的关系吗？的长度之间的关系吗？ 对角线对角线DB？ 对角线对角线的长度与的长度与两条邻边两条邻边 长度之间有何关系？长度之间有何关系？ 涉及到涉及到长度问题长

4、度问题常常考虑向量的常常考虑向量的数量积数量积 AB AC AD DB 5优讲课堂 AB CD AB = a AD = b 设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b， 分析：分析： AC =AC+AC=(a+b) (a-b) =a a+a b+b a+b b = a +2a b+ b DB = a - 2a b+ b 同理同理 DB =AC +2( a + b )AB + AD = 2 ( ) 平行四边形平行四边形两条对角线长的平方和两条对角线长的平方和等于等于 两条邻边长的平方和的两倍两条邻边长的平方和的两倍. 6优讲课堂 利用向量法解决平面几何问题的基本思路利用向量法解决平面几何

5、问题的基本思路 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化转化为向量问为向量问 题；题； （2）通过向量通过向量运算运算，研究集合之间的关系，如距离、，研究集合之间的关系，如距离、 夹角等问题；夹角等问题； （3）把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。 7优讲课堂 AB CD E F R T 例例2 如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD 、 DC边的边的 中点，中点，BE 、 BF分别与分别与AC交于交于R 、 T两点，你能发现两点，你能发现

6、AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ ,ABa ADb ARr 解解设设： ACab 则则 EREB 又又与与共共线线 (),rn abnR 设设 1 () 2 ERmEBm ab设设 ARAC 与与共共线线 ARAEER 8优讲课堂 11 22 ()rbm ab 11 22 ()()n abbm ab 1 0 2 ()() m nm anb 即即 ,a b 由由于于向向量量不不共共线线 0 1 0 2 nm m n 1 3 nm解解得得： 111 333 ,ARACTCACRTAC 同同理理于于是是 故故AT=RT=TC ARAEER AB CD E F R T 9优讲课堂 在

7、日常生活中，你是否有这样的经验：在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力； 在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力， 你能从数学的角度解释这种现象吗？你能从数学的角度解释这种现象吗？ 10优讲课堂 在日常生活中，你是否有这样的经验：在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一两个人共提一 个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运 动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解

8、释 这种现象吗？这种现象吗？ G F F1 F2 1 1.F 当当 逐逐渐渐增增大大时时，的的大大小小怎怎样样变变化化，为为什什么么？ 1 2.F 为为何何值值时时，最最小小，最最小小值值是是多多少少？ 1 3.FG 为为何何值值时时，？ 11优讲课堂 G F F1 F2 1 | | 2cos 2 G F 即即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省之间的夹角越大越费力，夹角越小越省 力力 当当由由0180逐渐增大时，逐渐增大时， 由由090 逐渐增大，而逐渐增大，而 的值逐渐缩小，因此的值逐渐缩小，因此 逐渐增大逐渐增大 cos 2 1 1.F 当当 逐逐渐渐增增大大时时，的的大大小小怎

9、怎样样变变化化，为为什什么么？ 解：解：设设 则由向量的平行四边则由向量的平行四边 形法则、力的平衡及直角三角形的知形法则、力的平衡及直角三角形的知 识可知识可知 12 | |FF 12优讲课堂 G F F1 F2 当当=0， 最小，最小值是最小，最小值是 | 2 G 1 |F 当当 时，时， 2 3 1 | |FG 例例3. 在日常生活中，你是否有这样的经验：在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共两个人共 提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向 上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的

10、角度 解释这种现象吗？解释这种现象吗？ 1 2.F 为为何何值值时时，最最小小，最最小小值值是是多多少少？ 1 3.FG 为为何何值值时时，？ 13优讲课堂 v 1 v 2 v 例例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船一艘船 从从A处出发到河对岸，已知船的速度处出发到河对岸，已知船的速度 ，水流，水流 速度速度 ，问行驶航程最短时，所用时间是多少？，问行驶航程最短时，所用时间是多少？ (精确到精确到0.1min) 1 | 10/ vkm h 2 | 2/ vkm h v 1 v 2 v 1212 2 10/ ,2/ . vvvvkm h vk

11、m h vvt 如如图图，分分已已知知， ，求求 析析： 14优讲课堂 v 1 v 2 v 例例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船一艘船 从从A处出发到河对岸，已知船的速度处出发到河对岸，已知船的速度 ，水流，水流 速度速度 ，问行驶，问行驶航程最短航程最短时，所用时间是多少？时，所用时间是多少？ (精确到精确到0.1min) 1 | 10/ vkm h 2 | 2/ vkm h 2 0v v 解解：由由已已知知条条件件得得 22 12 |96(/ ),vvvkm h 0.5 603.1(min). |96 d t v 所所以以 思考：思考

12、：要使船要使船行驶的时间最短行驶的时间最短，所用时间是多少？，所用时间是多少？ v 1 v 2 v A B C D 15优讲课堂 例例3 3 证明直径所对的圆周角是直角证明直径所对的圆周角是直角 A B C O 已知：已知：如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为为 直径，直径，C为为 O上任意一点。上任意一点。 求证：求证：ACB=90 证明：证明：,AOa OCb 设设,ACab CBab 则则 AC CBabab 22 22 abab 22 0rr 即即 ，ACB=900AC CB 思考：思考：能否用向量坐标形式证明？能否用向量坐标形式证明？ x y 16优讲课堂 已知直线已知直线l：m

13、x2y60，向量，向量(1m，1)与与l平行平行 则实数则实数m的值为的值为 （ ） A.-1 B.1 C.2 D.-1或或2 D 利用向量证明：利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直菱形的两条对角线互相垂直 A B C D 17优讲课堂 练习练习 1、一船从某河的一岸驶向对岸，船速为一船从某河的一岸驶向对岸，船速为 ，水速为，水速为 已知船可垂直到达对岸，则（已知船可垂直到达对岸，则（ ） 1 v 2 v 12121212 .| | .| | .| | .| |A vvBvvCvvDvv 2、已知作用在已知作用在A点的三个力点的三个力 ，A(1，1)则合力则合力 的终点坐的终点坐 标是（标是（ ） A.(8,0) B.(9,1) C.(-1,9) D.(3,1) 1 (3,4)F 2 ,(2, 5)F 3 (3,1)F 123 FFFF B B 18优讲课堂 3、一个物体受到两个相互垂直的力一个物体受到两个相互垂直的力 的作用