高等数学同济大学课件下第基本概念

1、高等数学同济大学课件下第基本概 念 推广推广 第八章第八章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同 多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 高等数学同济大学课件下第基本概 念 第八章 第一节第一节 一、区域一、区域 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 三、多元函数的极限三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 高等数学同济大学课件下第基本概 念 )( 0 o PPU0 0 PP 一、一、 区域区域 1. 邻域邻域 点集 ,

2、 ) ,( 0 PPU称为点 P0 的 邻域邻域. . 例如例如, ,在平面上, ),(),( 0 yxPU (圆邻域) 在空间中, ),(),( 0 zyxPU (球邻域) 说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成. )( 0 PU 点 P0 的去心邻域去心邻域记为 0 PP )()( 2 0 2 0 yyxx )()()( 2 0 2 0 2 0 zzyyxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学同济大学课件下第基本概 念 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 ),() ,U( 0 yxP 。 0 P 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. , 0 xx 0 yy

3、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学同济大学课件下第基本概 念 2. 区域区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E E 则称 P 为 E 的内点内点； 则称 P 为 E 的外点外点 ; 则称 P 为 E 的边界点边界点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 高等数学同济大学课件下第基本概

4、 念 (2) 聚点聚点 若对任意给定的 , ,点P 的去心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) ,(PU E 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集 . E 的边界点 ) 高等数学同济大学课件下第基本概 念 D (3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;

5、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ; 高等数学同济大学课件下第基本概 念 例如，例如，在平面上 0),( yxyx 41),( 22 yxyx 0),( yxyx 41),( 22 yxyx 开区域 闭区域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y o 21 x y o x y ox y o 21 高等数学同济大学课件下第基本概 念 整个平面 点集 1),(xyx 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11ox y 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点

6、A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 . 否则称为无无 高等数学同济大学课件下第基本概 念 3. n 维空间维空间 n 元有序数组),( 21n xxx ),( 21n xxx 的全体称为 n 维空间维空间, ,R n n 维空间中的每一个元素称为空间中的 k x数称为该点的第 k 个坐标坐标 . 记作 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 RRRR n nkxxxx kn ,2, 1,R),( 21 一个点点, 当所有坐标 时，0 k x称该元素为 n R 中的零元,记作 O . 高等数学同济大学课件下第基本概 念 的距离距离记作 22 22 2 11 )()(

7、)(),( nn yxyxyxyx 中点 a 的 邻域邻域为 ),( 21n yyyy与点 ),(,R),(axxxaU n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(R 21n n xxxx中的点 ,),(yxyx或规定为 ),(R 21n n xxxx中的点与零元 O 的距离为 22 2 2 1n xxxx .,3, 2, 1xxn通常记作时当 0Raxax n 满足与定元中的变元. ax 记作 n R 高等数学同济大学课件下第基本概 念 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式 , 2h rV ,(为常数）R V TR

8、p ) 2 ( cba p c b a 0, 0),(hrhr 0 , 0),(TTVTV cbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS 机动 目录 上页 下页 返回 结束 h r 高等数学同济大学课件下第基本概 念 定义定义1. 设非空点集,R n D DPPfu, )(或 点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集 DP,Pfuu)( 称为函数的值域值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 2 R),(),(Dyxyxfz 当 n = 3 时, 有三元函数 3 R),(),(Dzyxzyxfu 映射R:Df称为定义 在 D 上的 n 元函数元函数 ,

9、记作 ),( 21n xxxfu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学同济大学课件下第基本概 念 x z y 例如, 二元函数 22 1yxz 定义域为1),( 22 yxyx圆域 说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 图形为中心在原点的上半球面. , )sin(,yxz 又如 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 . 1 2 R),(yx 三元函数 )arcsin( 222 zyxu 定义域为 1),( 222 zyxzyx 图形为 4 R 空间中的超曲面. 单位闭球 x y z o 高等数学同济大学课件下第基本概 念 三、多元函数的

10、极限三、多元函数的极限 定义定义2. 设 n 元函数 ,R),( n DPPf 点 , , ) ,( 0 PUDP ,-)(APf 则称 A 为函数 (也称为 n 重极限) 当 n =2 时, 记 2 0 2 00 )()(yyxxPP 二元函数的极限可写作： Ayxf ),(lim 0 APf PP )(lim 0 P0 是 D 的聚 若存在常数 A ,对一 记作 ，时的极限当 0 )(PPPf Ayxf yy xx ),(lim 0 0 都有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 , 总存在正数 , 切 高等数学同济大学课件下第基本概 念 例例1. 设)0( 1 sin)(),(

11、 22 22 22 yx yx yxyxf 求证： .0),(lim 0 0 yxf y x 证证:0 1 sin)( 22 22 yx yx 故0),(lim 0 0 yxf y x ,0 0),( yxf ,0 22 时当yx 22 yx 2 22 yx , 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 高等数学同济大学课件下第基本概 念 例例2. 设 0, 0 0,sinsin ),( 11 yx yxyx yxf xy 求证：.0),(lim 0 0 yxf y x 证：证： 0),(yxf 故 0),(lim 0 0 yxf y x , 0 20),( 22 yxyxf yx 22

12、 2 yx ,2 时，当0 22 yx xy yx 11 sinsin 总有 2 要证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学同济大学课件下第基本概 念 若当点),(yxP 趋于不同值或有的极限不存在， 解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 22 ),( yx yx yxf 222 2 00 lim),(lim xkx xk yxf x kxy x 在点 (0, 0) 的极限. ),(yxf故 则可以断定函数极限 则有 2 1k k k 值不同极限不同值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 以不同方式趋于,),( 000 时yxP

13、不存在 . 例例3. 讨论函数 函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学同济大学课件下第基本概 念 例例4. 求 2222 22 0 0 )( )cos(1 lim yxyx yx y x 解解: 因,)( 222 4 1 22 yxyx 2222 22 )( )cos(1 yxyx yx 而 6 2 0 )cos1 (4 lim r r r 此函数定义域 不包括 x , y 轴 , 222 yxr令 则 6 2 )cos1 (4 r r 6 4 0 2 lim r r r 2 cos1r 2 2 r 故 2222 22 0 0 )( )cos(1 lim yxyx yx y x 机

14、动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学同济大学课件下第基本概 念 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限 ),(lim 0 0 yxf yy xx ),(limlim 00 yxf xxyy 及 不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等. 例如例如,),( 22 yx yx yxf 显然 ),(limlim 00 yxf yyxx 与累次极限 ),(limlim 00 yxf yx ),(limlim 00 yxf xy 0,0 但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 . 例3 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学同济大学课件下第基本概 念 四四、 多元函数的连续性多元函数

15、的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数)(Pf定义在 D 上, )()(lim 0 0 PfPf PP 0 )(PPf在点 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 , 0 DP 聚点 如果存在 否则称为不连续, 0 P 此时 称为间断点 . 则称 n 元函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续. 连续, 高等数学同济大学课件下第基本概 念 例如例如, 函数 0,0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx yx yxf 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数 1 1 ),( 22 yx yxf 上间断. 1 22 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点

16、. 在圆周 机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续. 高等数学同济大学课件下第基本概 念 定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0) 1 ( K )()2(Pf , ,Mm * (4) f (P) 必在D 上一致连续 . ;,)(DPKPf使 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 对任意 ，DQ;)(Qf使 (有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: (证明略) 高等数学同济大学课件下第基本概 念 . 11 lim

17、 0 0yx yx y x 解解: : 原式 ) 11( 1) 1( lim 2 0 0 yxxy yx y x 2 1 例例5. .求 2 22 )3arcsin( ),( yx yx yxf 13 22 yx 42 22 yx 例例6. 求函数的连续域. 解解: 0 2 yx 2 yx 11 1 lim 0 0 yx y x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 o y x2 高等数学同济大学课件下第基本概 念 内容小结内容小结 1. 区域 邻域 :, ) ,( 0 PU ) ,( 0 PU 区域连通的开集 空间 n R 2. 多元函数概念 n 元函数),( 21n xxxf 常用 二元

18、函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 DP )(Pfu n R 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学同济大学课件下第基本概 念 APf PP )(lim 0 ,0 ,0 时，当0 0 PP 有)( APf 3. 多元函数的极限 4. 多元函数的连续性 1) 函数 连续在 0 )(PPf )()(lim 0 0 PfPf PP 2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ;最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续 P11 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P72 题 3; 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 高

19、等数学同济大学课件下第基本概 念 解答提示解答提示: : P11 题 2. ),(),( 2 yxftytxtf称为二次齐次函数 . P11 题 4. xyx yxyxyxyxyxf 2 )()(),( P11 题 5(3). 定义域 0 : y yx D P11 题 5(5). 定义域 22222 :RzyxrD 2 xy D y xo R x y o D r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学同济大学课件下第基本概 念 P12 题 8.间断点集02),( 2 xyyx P72 题 3.定义域 10 4 : 22 2 yx xy D 24 0 42 2 0 0 1 limlim xk xk yx yx x y x )0, 2 1 (),(lim 0 2 1 fyxf y x 4 3 ln 2 P72 题 4. 令 y= k x ， 0 若令 xy 42 2 0 0 lim yx yx y x 2 1 2 2 02 lim x x x D xy4 2 y x1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 则 可见极限 不存在 高等数学同济大学课件下第基本概 念 作业作业 P11 5 (2), (4