2016届河南省南阳一中高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、2016届河南省南阳一中高三第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题1如果集合中只有一个元素，则实数的值为（ ）A. B. C. D.或【答案】D【解析】试题分析：因为集合中只有一个元素，所以方程只有一个根，当时显然符合题意，当时，由得，因此实数的值为或，故选D.【考点】1、集合的表示；2、方程的根与系数之间的关系.2若复数是实数，则实数（ ）A B1 C D2【答案】B【解析】试题分析：因为复数 可化为，而是实数，所以，因此，故选B.【考点】1、复数的概念；2、复数的运算.3利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定

2、从第12行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（ ）A584 B114 C311 D146【答案】C【解析】试题分析：因为从第行第列的数开始向右读数， 所以所读出的数依次为 ，其中在的有三个，第三个为，故选C.【考点】随机数表的应用.4已知双曲线，点，为其两个焦点，点P为双曲线上一点若，则的值为（ ）A2 B C D【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，又因为为双曲线上一点，所以，由可得，故选C.【考点】1、双曲线的标准方程；2、双曲线的定义.5执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）A B C D【

3、答案】B【解析】试题分析： 因为第一次循环 ，第二次循环，第三次循环，所以可填， 故选B.【考点】1、程序框图；2、循环结构.6如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点AED，EBF，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A,若四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（ ）A. B C D【答案】D【解析】试题分析：因为折起后三点重合，所以两两垂直，三棱锥的外接球，就是棱长为的长方体的外接球，球半径满足，故选D.【考点】几何体外接球的性质.7等比数列各项为正，成等差数列为的前n项和，则=（ ）A2 B C D【答案】C【解析】试题分析

4、：因为等比数列各项为正，成等差数列，所以，或（舍去），=，故选C.【考点】1、等差数列的定义；2、等比数列前项和公式.8的展开式中，的系数为（ ）A110 B120 C130 D150【答案】A【解析】试题分析：因为的展开式中，的系数来自两项，所以的系数为，故选A.【考点】二项展开式的系数.9已知椭圆C：（ab0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，则C的离心率为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得，所以有勾股定理得，设是右焦点，根据椭圆的对称性知四边形是矩形.所以，故选B.【考点】1、椭圆的定

5、义和几何性质；2、余弦定理及勾股定理.10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A12 B18 C24 D30【答案】C【解析】试题分析： 由三视图可知该几何体是一个三棱柱消去一个同底的三棱锥，它们的底面都是直角边长为的直角三角形，棱柱的高为，棱锥的高为，几何体体积为，故选C.【考点】1、几何体的三视图；2、几何体的体积.【方法点睛】本题主要考查三视图及空间几何体的体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换

6、法、分割法、补形法等进行求解；(3)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.11已知定义的上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：当时，变为，因为且在上是增函数由函数图象特征可得，得 或，对任意恒成立，合题意，所以可排除A、C，当时，变为，得解得，不满足对任意恒成立，可排除D,故选B.【考点】1、函数的对称性和单调性；2、解选择题的特殊值法.【方法点睛】本题主要考查函数的对称性和单调性以及选择题的特殊值法，属于难题.利用特殊值法对选项进行筛选、排除，是解选择题的一种常见方法，适

7、用题型主要是求范围问题、求方程问题、求通项问题，常见思路思路有两个：一是从题干入手，让题干特殊化对比各选项进行筛选、排除；二是从选项入手，从选项中取特殊值，看是否符合题干.运用这种方法能不但能大大提高做题速度还能提高准确率，所以同学们一定熟练掌握应用.12（高考题改编）N为圆上的一个动点，平面内动点M满足且 (O为坐标原点)，则动点M运动的区域面积为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意知当在上时，从向做的切线与成角，所以应在内，又因为，所以在直线上面或在直线下面，因此动点运动的区域面积为两个弓形与的面积之和，故应选A.【考点】1、切线夹角、扇形面积公式；2、划归思想及

8、三角形面积公式.【方法点睛】本题主要考查切线夹角及扇形面积公式、划归思想及及三角形面积公式.属于难题.解答本题首先根据划归思想将满足(为坐标原点)，则动点运动的区域转化为以原点为圆心，以为半径的圆内（从向圆做切线，两切线夹角为），然后考虑条件，可得动点运动的区域面积为两个弓形与的面积之和.二、填空题13若向量a，b满足：a，(a2b)a，(ab)b，则|b| 【答案】【解析】试题分析：因为，所以，故答案为.【考点】1、向量的模；2、平面向量的数量积公式.14已知，则 【答案】【解析】试题分析：因为 ，所以，故答案为.【考点】1、定积分的应用；2、同角三角函数之间的关系.15数列满足，则的80项

9、和为 .【答案】【解析】试题分析：因为当为奇数时，所以，因此，此数列每四项构成首项为，公差为的等差数列，的项和为，故答案为.【考点】1、数列的递推公式；2、特殊数列求和.【方法点睛】本题主要考查数列的递推公式及特殊数列求和，属于难题.递推公式是给出数列的一种常见形式，已知递推公式求数列通项及前项和的题型，常见方法有三个：一是把递推公式进行变形，构造出为特殊数列求出通项；二是根据归纳推理归纳出通项进一步用数学归纳法证明；另外，对于选择填空题也直接用不完全归纳法求解.16已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设在数列中，,则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：因为所以是最小项，所以时递

10、减，时递增，而数列是递减数列，数列是递增数列，当时，有即，当时，必有，即，所以实数的取值范围是故答案为.【考点】1、函数的单调性；2、数列的增减性及最值.【方法点睛】本题主要考查函数的单调性以及数列的增减性及最值，属于难题.解答本题的关键有两个，一是注意函数的单调性和数列增减性不完全一致，因为函数是连续的而数列不连续，所以数列的最值点根函数的极值点会有偏差；二是要根据讨论或两种情况分别列不等式组，求出解集后再找并集即可.三、解答题17已知函数（其中），若点是函数图象的一个对称中心.（1）试求的值，并求出函数的单调增区间；（2）先列表，再作出函数在区间上的图象.【答案】（1）；（2）图象见解析.

11、【解析】试题分析：（1）根据点是函数图象的一个对称中心，可求出 ，由，可得函数的单调增区间；（2）“五点法”作图，先列表，再描点 ，进而连线作出函数在区间上的图象.试题解析（1）点是函数图象的一个对称中心，.增区间为（2）由（1）知，列表如下：0Xy则函数在区间上的如图所示.【考点】1、三角函数的图象和性质；2、“五点法”作三角函数图图.18某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作（）现用分层抽样的方法从甲

12、、乙两部门中选取8人若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（）若从甲部门中随机选取3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的分布列及数学期望【答案】（）；（）分布列见解析，.【解析】试题分析：（）用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取人，先求出没有一人来自甲部门的概率，再利用对立事件的概率公式求解；（）的可能取值为，根据排列组合知识和古典概型概率公式分别求出其概率即可列出分布列，进而求数学期望.试题解析：（）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取104人记“至少有一人来自甲部门”为事件A，则P(A)1故至少有一人来自甲部门

13、的概率为（）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3 P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)X的分布列为X0123PE(X)0123【考点】1、分层抽样的应用及古典概型概率公式；2、离散型随机变量的分布列与期望.19如图，在四棱锥中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC（）证明：；（）求二面角的大小【答案】（）证明见解析；（）.【解析】试题分析：（）以坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设，求出平面的法向量，平面的法向量用表示，两法向量数量积为零可解，可证；（）先证，可得向量与的夹角等于二面角的平面角，最后用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解

14、析：（）以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，B(1,1，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)，(0，2，2)，(1，1，0)，(0，2，0)设平面SBC的法向量为(a，b，c)，由，得 取(1，1，1)又设（0），则E(，)，(，)设平面EDC的法向量(x，y，z)，由，得 (2，0，)由平面EDC平面SBC，得，0，20，即2SE2EB6分（）由（），知E(，)，(，)，(，)，0，ECDE取DE的中点F，则F(，)，(，)，0，FADE向量与的夹角等于二面角A-DE-C的平面角而cos，故二面角A-DE-C的大小为120 【考点】1、面面垂直的性质；

15、2、用空间向量夹角余弦公式.20已知，是椭圆的两个顶点，过其右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点，与轴交于P点（异于A，B两点），直线AC与直线BD交于Q点（）当时，求直线l的方程；（）求证：为定值【答案】（）或；（）证明见解析.【解析】试题分析：（）设直线的方程为与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式可得，解得值即可；（）由,得直线的方程的为，直线的方程为，得，只需求出点纵坐标即可，直线和椭圆方程联立后由韦达定理可得，进而可得结论.试题解析：（）由题设条件可知，直线l的斜率一定存在，F(1，0)，设直线l的方程为yk(x1)（k0且k1）由消去y并整理，得(12k2)x24k2x2k220设

16、C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|CD|由已知，得，解得k故直线l的方程为y(x1)或y(x1)，即xy10或xy10 （）由C(x1，y1)，D(x2，y2)，A(0，1)，B(0，1)，得直线AC的方程为yx1，直线BD的方程为yx1，联立两条直线方程并消去x，得，yQ由（），知y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，x1y2x2y1x1x2kx1(x21)kx2(x11)x1x22kx1x2k(x1x2)x1x22kkx1x2x1x2，x1y2x2y1x1x2kx1(x21)kx2(x11)x1x2k(x2x1)x1x2k(x2x1)k(x1x2

17、)，yQ，Q(xQ，)又P(0，k)，(0，k)(xQ，)1故为定值【考点】1、待定系数法求直线方程；2、韦达定理及定值问题求解.【方法点睛】本题主要考查待定系数法求直线方程、韦达定理及定值问题求解，属于难题. 求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.本题就是采用方法先将数量积用变量表示，最后消去变量得到定值的.21（）证明：当时，；（）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围【答案】（）证明见解析；（）.【解析】试题分析：（）记，可证在上是减函数，得，记，可在上是减函数，故可得结论；（）反证法，先证当

18、时，不等式对不恒成立，即存在，即可.试题解析：（）记F(x)sinxx，则F(x)cosx当x(0，)时，F(x)0，F(x)在0，上是增函数；当x(，1)时，F(x)0，F(x)在，1上是减函数F(0)0，F(1)0，当x0，1时，F(x)0，即sinxx记H(x)sinxx，则当x(0，1)时，H(x)cosx10，H(x)在0，1上是减函数，H(x)H(0)0，即sinxx综上，xsinxx，x0，14分（）当x0，1时，axx22(x2)cosx4(a2)xx24(x2)sin2(a2)xx24(x2)(x)2(a2)x当a2时，不等式axx22(x2)cosx4对x0，1恒成立下面证

19、明：当a2时，不等式axx22(x2)cosx4对x0，1不恒成立axx22(x2)cosx4(a2)xx24(x2)sin2(a2)xx24(x2)()2(a2)xx2(a2)xx2xx(a2)存在x0(0，1)（例如x0取和中的较小者）满足ax0x2(x02)cosx040， 即当a2时，不等式axx22(x2)cosx40对x0，1不恒成立综上，实数a的取值范围是(，2【考点】1、利用导数研究函数的单调性及最值；2、利用导数证明不等式及不等式恒成立问题【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的单调性积最值以、不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法：分离参数恒成立(即可)或恒成立

20、（即可）；数形结合；讨论最值或恒成立；直接讨论参数.本题是利用方法求得的取值范围的.22选修4-1：几何证明选讲如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O于点E，已知（）求的值；（）求线段AE的长【答案】（）（）.【解析】试题分析：（）由与设圆相交于，得，同理，所以，从而，即；（）由与设圆相交于，得，又，得，从而，即，结合（）的结论，.试题解析：（）切于，同理，即， （）切于，又，即由（）可知，【考点】1、弦切角定理；2、相识三角形.23选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为（）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明