高数—不定积分-讲解和例题-PPT-(2)

1、2021/3/10讲解：XX1 设设 u (x), v (x) 有连续导数，则有连续导数，则 vuvuvu ) ( vuvuvu )( 两边取积分：两边取积分： xduvxdvuxdvu)( vd vud ud udvvuvdu 2021/3/10讲解：XX2 xduvxdvuxdvu)( udvvuvdu xdxf)(即即 xdvu vdu udvvu xduvvu xdxgvu)( 要求：要求：较易求。较易求。 xduvxdxg)( 如何选择如何选择 v ? 2021/3/10讲解：XX3 例例1 1： udvvuvduxdvu xdxxsin,xv 若若选选, 2 1 2 xv 则则 2

2、 2 1 sinxdx )sinsin( 2 1 22 xdxxx xdxx cos 2 ,sin xv 现选现选,cos xv 则则 xdxxsin xdx cos )coscos(xdxxx .sincosCxxx = ? 2021/3/10讲解：XX4 (1) v 要容易求出。要容易求出。 易易求求。要要比比 vduudv)2( e x ; 次选：次选：sin x , cos x ； 再次之：再次之： 首选：首选： x 等幂函数；等幂函数； 不选：不选：ln x . 2021/3/10讲解：XX5 例例2 2： xdex x 2 )( 2 xdex x x edx 2 .22 2 Cee

3、xex xxx x ex 2 2xdex x x ex 2 2 x edx x ex 2 2xdeex xx 2021/3/10讲解：XX6 中中、在在xdaxxxdaxxxdex mmaxm sincos 可降低可降低x m 的幂次数。的幂次数。 axdxaxdxdxedvxu axm sin,cos, 令令 2021/3/10讲解：XX7 例例3 3： xdxxln 2 ln 2 1 xdx lnln 2 1 22 xdxxx 1 ln 2 1 22 xd x xxx ln 2 1 2 xdxxx 2 1 ln 2 1 22 xxx .C 2021/3/10讲解：XX8 例例4 4： xd

4、xarctan)( vdu xxarctan xdxarctan xxarctan xd x x 2 1 xxarctan 2 2 1 1 2 1 xd x xxarctan .1ln 2 1 2 Cx 2021/3/10讲解：XX9 中中、 、在在 xdaxxxdaxx xdaxxxdaxx mm mm arctanarccos arcsinln 可使原来含超越函数的被积函数化为可使原来含超越函数的被积函数化为 代数函数的积分。代数函数的积分。 .,arctan ,arccos,arcsin,ln dxxdvax axaxaxu m 令令 2021/3/10讲解：XX10 例例5 5：xdx

5、e x cos x edx cosxe xcos xde x cos xe xcos xdxe x sin xe xcos x edx sin xe xcos xe xsin xde x sin xexe xx sincos xdxe x cos 1 )sin(coscos2Cxxexdxe xx .)sin(cos 2 cosCxx e xdxe x x 再生法再生法 2021/3/10讲解：XX11 例例6 6： xdx 3 secxdxtansec xxtansec xdxsectan xxtansec xdxx sectan 2 xxtansec xdxxsec)1(sec 2 xxt

6、ansec xdx 3 secxdx sec xdxxx 3 sectansecxxtansecln 由再生法：由再生法：xdx 3 sec .tanseclntansec 2 1 Cxxxx 2021/3/10讲解：XX12 例例7 7： xdax 22 )( vdu 22 axx xd ax x x 22 22 axx xd ax x 22 2 +a 2-a 2 22 axx xdax 22 xd ax a 22 2 xdaxaxx 2222222 lnaxxa .ln 2 1 22222 Caxxaaxx xdax 22 由再生法：由再生法： 2021/3/10讲解：XX13 本例还可用

7、前面讲过的三角代换本例还可用前面讲过的三角代换 tdta 32 sec原原式式 .)tanseclntansec( 2 2 Ctttt a .ln 2 1 22222 Caxxaaxx 令令 x = a tan t 2021/3/10讲解：XX14 .ln 2 1 22222 Caxxaaxx xdax 22 .ln 2 1 22222 Caxxaaxx 同理：同理：xdax 22 .ln 2 1 22222 Caxxaaxx xdax 22 所以：所以： 2021/3/10讲解：XX15 中中、 、在在 dxaxxdx dxexPdxexP axax 223 sec )(cos)(sin 经

8、过几次分部积分后，又出现原来的积分，经过几次分部积分后，又出现原来的积分， 这时可移项合并求出积分。（再生法）这时可移项合并求出积分。（再生法） 求不定积分往往将换元、分部法结合求不定积分往往将换元、分部法结合 起来一起使用！下面再看一些例子。起来一起使用！下面再看一些例子。 2021/3/10讲解：XX16 例例1 1： xdx x x arcsin 1 2 解一：解一：原式原式 = 2 2 arcsin 1 1 2 1 xdx x 2 1sinxdxrca xx arcsin1 2 1 1 1 2 2 xd x x .arcsin1 2 Cxxx 解二：解二：.cos,sintdtxdtx

9、 令令 原式原式 =tdtt sin tdt cos Cttt sincos x 1 2 1x .arcsin1 2 Cxxx t 2021/3/10讲解：XX17 例例2 2： xd x x 2 sin sinln 解：解： 原式原式 =)cot(sinlnxdx xxsinlncot xdx)1(csc 2 .cotsinlncotCxxxx xxsinlncot dxx 2 cot 2021/3/10讲解：XX18 例例3 3： xd x x 2 2 arcsin 解：解：原式原式 =)2( 2 arcsin2xd x 4 1 2 1 2 2 arcsin2 2 2 xd x x x x

10、 2 1 2 arcsin2 2xd x x x C x xx 2 arcsin2224 2021/3/10讲解：XX19 例例4 4：xdx arctan 解：解：原式原式 =dx x x xx 12 1 arctan dx x x 1 其中其中dt t t xt 2 2 1 2 Ctt )arctan(2Cxx )arctan(2 Cxxxx arctanarctan原原式式 .arctan)1(Cxxx 2021/3/10讲解：XX20 例例5:5:xd x xe x 2 )1( 解：解： 原式原式 =) 1 1 ( x dxe x dxexe xx xe xxx )( 1 1 1 1

11、C x e Ce x xe x xx 11 1 2021/3/10讲解：XX21 例例6:6:xd x xx cos1 sin xd x xx 2 cos2 sin 2 xd x x 2 cos 2 1 2 xd x xx 2 cos 2 cos 2 sin2 2 1 2 2 tan 2 2x dx xd x 2 tan 2 tan x x xd x 2 tan xd x 2 tan . 2 tanC x x 2021/3/10讲解：XX22 例例7:7: xd x e x 2 3 2 arctan )1( 解：解： 原式原式tdt t e t tx 2 3 tan sec sec tdte

12、t cos Ctt e t )cos(sin 2 .) 1 1 ( 2 2 arctan C x xe x 2021/3/10讲解：XX23 例例8 8：已知已知 f (x)的原函数为的原函数为, cos x x dxxfx)(求求 解：解： )()(xdfxdxxfx dxxfxxf)()( C x x x x x coscos C x xxx cos2sin 2021/3/10讲解：XX24 )( )( 22 为正整数为正整数n ax dx I n n 递推公式：递推公式： )32( )( )1(2 1 1 1222 n n n In ax x na I 。，递推得递推得由由 n IIC

13、a x a I,arctan 1 21 例例9 9： 2021/3/10讲解：XX25 习习 4 3（A） 2（5，8，10） 习习 4 3（B） 1（4，5，10，11，13， 15，16，19，20） 2021/3/10讲解：XX26 对有理函数、三角函数的有理式及对有理函数、三角函数的有理式及 简单的无理函数的积分，仍有规律可循简单的无理函数的积分，仍有规律可循。 一、有理函数的积分一、有理函数的积分 有理函数有理函数: :由两个多项式的商所表示的函数。由两个多项式的商所表示的函数。 )( )( )( xQ xP xR 形形如如 mm m nn n bxbxb axaxa 10 10 其

14、中其中 m, n 都是正整数或零都是正整数或零,系数系数 a i , b j 均为实数，均为实数， ),1;, 1(mjni . 0, 0 00 ba且且 时时，当当0 m R(x) 为多项式为多项式 (又称有理整函数又称有理整函数) 时，时，nm 有理真分式有理真分式 时，时，nm 有理假分式有理假分式 =多项式多项式+真分式真分式 2021/3/10讲解：XX27 性质：性质： 真分式总可分解成若干个最简分式真分式总可分解成若干个最简分式 之和之和 部分分式部分分式之和。之和。 为真分式，为真分式，设设 )( )( xQ xP a) 若若 Q(x) 能分解成若干个单因式，即能分解成若干个单

15、因式，即 )()()( 1n axaxxQ n n ax A ax A xQ xP 1 1 )( )( 则则 ),( 1 为为常常数数 n aa ) ,( 1 待待定定常常数数 为为 n AA 如：如： 23 13 2 xx x )2( )1( 13 xx x 1 x2 x AB 2021/3/10讲解：XX28 23 13 2 xx x 21 x B x A )2( )1( )1()2( xx xBxA 13)1()2( xxBxA 132)( xBAxBA 12 3 BA BA 比较系数比较系数, 7 4 B A 23 13 2 xx x 21 xx .2ln71ln4Cxx 4 7 xd

16、 xd xd 2021/3/10讲解：XX29 b) 若若 Q(x) 能分解若干个能分解若干个k重单因式，即重单因式，即 k k ax xP xQ xP axxQ )( )( )( )( )()( 则则， k k ax A ax A ax A )()( 2 21 ) ,( 1 待定常数待定常数 为为 k AA 如：如： 9124 54 2 xx x 2 )32( 54 x x 2 )32(32 x B x A 比较系数比较系数： BAAxBxAx 32)32(54 53 42 BA A 1 2 B A 2021/3/10讲解：XX30 c) 若若 Q(x) 含有二次质因式含有二次质因式 )()

17、( )( )( )( 1 2 xQqpxx xP xQ xP 则则 )( )( 1 1 2 xQ xP qpxx BAx )(),( )(),( ,( 11 的多项式的多项式 为次数低于为次数低于 为待定常数为待定常数 xQxP xQxP BA 如：如： 32 4 3 xx x )3()1)(4 2 xxCxBAxx 1 1 1 C B A )( 2 qpxx )04( 2 qp )1)(3( 4 2 xxx x 13 2 x C xx BAx 比较系数比较系数： 2021/3/10讲解：XX31 d ) 若若 Q(x) 含有含有k次质因式次质因式 k qpxx xP xQ xP )( )(

18、)( )( 2 则则 k kk qpxx BxA qpxx BxA )( 22 11 )( 2 qpxx )04( 2 qp k qpxxxQ)()( 2 即即 2021/3/10讲解：XX32 从理论上讲，从理论上讲， 任何有理函数的不定积分都存在。任何有理函数的不定积分都存在。 有理函数的不定积分必定是有理有理函数的不定积分必定是有理 函数、对数函数或反正切函数。函数、对数函数或反正切函数。 即任何有理函数的不定积分仍是即任何有理函数的不定积分仍是 初等函数。初等函数。 2021/3/10讲解：XX33 (1) 把真分式拆成部分分式之和。把真分式拆成部分分式之和。 (2) 化化 假分式假分

19、式 = 多项式多项式 + 真分式真分式 例例1 1：xd x x 1 2 3 +x-x xd x x x) 1 ( 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 xd x x .)1(ln 2 1 2 1 22 Cxx 2021/3/10讲解：XX34 (3)利用恒等变形求某些有理式的不定积分：利用恒等变形求某些有理式的不定积分： 例例2 2： xd xx )1( 1 22 + x2 - x2 xd x 2 1 xd x 2 1 1 x 1 )1( 2 xx xd 若为若为xd xx )1( 1 2 + x - x xd x 2 1 2 x xd x xd 1 x 1 xln 1ln x x 1 .

20、 1 lnC x x )1( 22 xx xd .arctanCx xd xx )1( 1+ x - x x xd C 2021/3/10讲解：XX35 例例3 3：xd e x 2 )1 ( 1 xd e x 2 )1( 1 xx ee xd e x 1 1 xd e e x x 2 )1( xx ee xd e e x x 1 1 x x ed e 2 )1( 1 x ex 1ln. 1 1 C e x 若令若令 e x = u ,x = ln u , 1 ud u xd xd e x 2 )1( 1 ud uu 2 )1( 1 化为有理式的化为有理式的 积分。积分。 2021/3/10讲

21、解：XX36 xd xx x 3 1 2 求求 特点：特点：被积函数的分子的次数比分母低一次，被积函数的分子的次数比分母低一次， 所以分子放入微分号后即与分母同次。所以分子放入微分号后即与分母同次。 (4) 利用被积函数自身特点。利用被积函数自身特点。 例例4 4： 且且 d (x2 + x + 3) = (2x + 1)d x xd xx x 3 1 2 xd xx x 3 12 2 )( 2 1 2 1 xd xx x 3 12 2 1 2 xd xx 3 1 2 1 2 解：解： 2021/3/10讲解：XX37 xd xx x 3 1 2 3 )3( 2 1 2 2 xx xxd xd

22、 x 4 11 ) 2 1 ( 1 2 1 2 ) 2 1 ( 3ln 2 1 2 xx. 11 12 arctan 11 1 C x xd xx x 3 12 2 1 2 xd xx 3 1 2 1 2 2021/3/10讲解：XX38 习习 4 4 1（1，10），），4（2，21） 2021/3/10讲解：XX39 三角函数有理式：三角函数有理式： 指由三角函数和常数经过有限次四则指由三角函数和常数经过有限次四则 ).cos,(sinxxR 如：如：, 5cossin2 1 xx ,)cos,(sinxdxxR对对总可通过适当变换，总可通过适当变换， 化成有理函数的积分。化成有理函数的积

23、分。 运算所构成的函数。记成运算所构成的函数。记成 x x tan1 tan1 2021/3/10讲解：XX40 xdxxR)cos,(sin对对. 2 tan x u 令令 ud uu u u u R 22 2 2 1 2 1 1 , 1 2 化为化为 u 的有理函数的积分。的有理函数的积分。 xdxxR)cos,(sin . 1 1 cos, 1 2 sin 2 2 2 u u x u u x 则则 ud u dxux 2 1 2 ,arctan2 2 tan x u 2021/3/10讲解：XX41 例：例： xx xd cos2sin2 td t t t t t 2 2 2 2 1 )

24、1(2 1 2 2 1 2 2 tan x t 令令 td t 2 1 Ct )2ln( .) 2 tan2ln(C x 2021/3/10讲解：XX42 万能变换并不是最简捷的方法，万能变换并不是最简捷的方法， 万不得已而用之。万不得已而用之。 一般，常用三角恒等变形，也可用其它变换。一般，常用三角恒等变形，也可用其它变换。 另外：若另外：若 ,)cos,sin()cos,sin(xxRxxR xtcos 可可令令 ,)cos,sin()cos,sin(xxRxxR xtsin 可令可令 ,)cos,sin()cos,sin(xxRxxR xttan 可令可令 总之解题要灵活。总之解题要灵活

25、。 2021/3/10讲解：XX43 例例1 1： xx xd cossin xxcossin xdx) 4 (csc 2 1 原式原式 ,) 4 sin(2 x .) 4 (cot) 4 (cscln 2 1 Cxx 2021/3/10讲解：XX44 例例2 2：xd x x 2 sin1 cot )sin1(sin sin 2 xx xd td tt tx )1( 1 2 sin 22 tt td t t t ) 1 1 ( 2 Ctt 2 1ln 2 1 ln .sin1ln 2 1 sinln 2 Cxx xd xx x )sin1(sin cos 2 2021/3/10讲解：XX45

26、 例例3 3： x xd sin1 ( 分子分母同乘分子分母同乘 1 - sin x ) xd x x 2 sin1 sin1 xd x x x 22 cos sin cos 1 x xd xdx 2 2 cos )(cos sec. cos 1 tanC x x 若为若为 x xd cos1 2 cos2 2 x xd ) 2 sin2 ( 2 x xd 22 sec 2 x d x . 2 tanC x 2021/3/10讲解：XX46 1.)0(),( axdbaxxR n 常利用根式代换，令常利用根式代换，令. tbax n 2. )0(),( axdbaxbaxxR mn tbax

27、l 令令 ( l 为为 m , n 的最小公倍数的最小公倍数 ) 例：例：xd xx x )1( 3 , 6 tx 令令, 6 tx .6 5 tdtdx tdt tt t 5 26 3 6 )1( td t t 1 6 2 2 td t ) 1 1 1(6 2 Ctt )arctan(6.)arctan(6 66 Cxx 2021/3/10讲解：XX47 3.)0(),( 2 axdcbxaxxR 配方化为形如：配方化为形如： ,),( 22 ydyyR ,),( 22 ydyyR ydyyR),( 22 的不定积分。的不定积分。 再作三角代换或倒变换即可。再作三角代换或倒变换即可。 4.)

28、0,(),( caxd dcx bax xR n 消消去去根根号号。可可令令, t dcx bax n 2021/3/10讲解：XX48 例：例：xd xx x 1 53 2 解：解：xd xx x 1 ) 12( 2 原式原式 = 2 3 2 7 1 )1( 2 3 2 2 xx xxd 4 3 ) 2 1 ( 2 7 2 x xd 13 2 xx.1 2 1 ln 2 7 2 Cxxx 2021/3/10讲解：XX49 例：例： xd x x x 11 td t t tt ) )1( 2 ()1 22 2 （原式原式 .)1 1 ln(2 1 2C x x x x , 1 t x x 解解

29、：令令 222 )1( 2 , 1 1 t tdt dx t x td t t 1 2 2 2 C t t t 1 1 ln2 2021/3/10讲解：XX50 xd x x 1 1 解：解：xd x x 1 1 xd x x 2 1 1 xd x 2 1 1 xd x x 2 1 xarcsin 2 2 1 1 2 1 xd x (1- ) + xarcsin .1 2 Cx 例：例： 2021/3/10讲解：XX51 ),()(xfxF F(x) 是是 f (x) 的原函数。的原函数。 .)()(CxFxdxf 例例1 1：已知已知 f (x) 的一个原函数是的一个原函数是, 2 x e .)(xdxf x 求求 解：解： )(xfdxxdxfx) (