第一章信号分类及其描述

1、太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 第一节 信号的分类与描述 第二节 周期信号与离散频谱 第三节 瞬变非周期信号与连续频谱 第四节 随机信号 第一章 信号的分类与描述 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 一、信号的分类一、信号的分类 1 1、确定性信号和随机信号、确定性信号和随机信号 2 2、连续信号和离散信号、连续信号和离散信号 3 3、能量信号和功率信号、能量信号和功率信号 二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述 1 1、时域描述、时域描述 2

2、2、频域描述、频域描述 3 3、转换举例、转换举例 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 由二个以上周期由二个以上周期 信号合成，组成信号合成，组成 分量无公共周期，分量无公共周期， 合成信号非周期合成信号非周期 随时间的增长衰随时间的增长衰 减到零的信号，减到零的信号， 由傅里叶积分得由傅里叶积分得 到到连续频谱连续频谱。 可由傅里叶级数分解为可由傅里叶级数分解为 各次谐波成分，具有各次谐波成分，具有离离 散频谱散频谱。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章

3、信号的分类与描述 1 1、确定性信号和随机信号、确定性信号和随机信号 周期信号周期信号 按一定的时间间隔周而复始出现，无始无按一定的时间间隔周而复始出现，无始无 终的信号。可以表达为：终的信号。可以表达为： 为周期 00 ,.3 , 2 , 1)()(TnnTtxtx (2)非周期信号非周期信号 即能用明确数学关系式描述的但又不属即能用明确数学关系式描述的但又不属 于周期信号的信号。它包括准周期信号于周期信号的信号。它包括准周期信号 和瞬变非周期信号。和瞬变非周期信号。 (3) 随机信号随机信号 不能用明确的数学关系式描述，只能用不能用明确的数学关系式描述，只能用 统计特征量描述的信号，也就是

4、每次观统计特征量描述的信号，也就是每次观 测的结果完全不能预测测的结果完全不能预测 。 确定性信号确定性信号 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 简单周期信号简单周期信号 复杂周期信号复杂周期信号 由若干频率之比为有理数的正弦信号组合而成的周期信号。由若干频率之比为有理数的正弦信号组合而成的周期信号。 集中参量的单自由度无阻尼振动系统集中参量的单自由度无阻尼振动系统 集中参量的两自由度无阻尼振动系统集中参量的两自由度无阻尼振动系统 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 准周期信号准周期信号: :由多个周期信号合成，但

5、各信号频率不成由多个周期信号合成，但各信号频率不成 公倍数。如：公倍数。如：x(t) = sin(t)+sin(x(t) = sin(t)+sin(2 t)2 t) 瞬态信号瞬态信号:持续时间有限的信号，持续时间有限的信号， 如如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t) 有阻尼振动有阻尼振动 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 噪声信号噪声信号(平稳平稳) 统计特性变异统计特性变异 噪声信号噪声信号(非平稳非平稳) 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 2 2、连续信号和离散信号、连续信号和离散信号

6、(1)连续信号连续信号 其数学表示式中其数学表示式中 的独立变量取值是连续的信号。的独立变量取值是连续的信号。 若自变量（一般为时间）是连若自变量（一般为时间）是连 续的，则称为续的，则称为连续时间信号连续时间信号 。 (2)离散信号离散信号 若自变量是离散的，若自变量是离散的， 则称为则称为离散时间信号离散时间信号 。 模拟信号：独立变量和幅值均取连续值的信号。模拟信号：独立变量和幅值均取连续值的信号。 数字信号：离散信号的幅值也是离散的。数字信号：离散信号的幅值也是离散的。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 连续信号与离散信号之间的转换连续信号与离

7、散信号之间的转换 连续信号连续信号 （采样）（采样）离散信号离散信号 离散信号离散信号 （插值）（插值）连续信号连续信号 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 3 3、能量信号和功率信号、能量信号和功率信号 能量信号能量信号: 当当x(t)满足满足: dttx)( 2 时，认为信号的能量是有限的。一般持续时，认为信号的能量是有限的。一般持续 时间有限的瞬态信号是能量信号。时间有限的瞬态信号是能量信号。 例如矩形脉冲信号、衰减指数函数等例如矩形脉冲信号、衰减指数函数等 未必有真实的能量和功率的量纲。未必有真实的能量和功率的量纲。 瞬态信号瞬态信号 太原理工大

8、学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 功率信号功率信号: 信号在区间（信号在区间（-，）的能量是）的能量是 无限的无限的 但在有限区间的平均功率是有限的，即但在有限区间的平均功率是有限的，即 2 1 )( 1 2 12 t t dttx tt dttx)( 2 一般持续时间无限的信号都属于功率信号。一般持续时间无限的信号都属于功率信号。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述 以以时间时间t为独立变量为独立变量的，直接观测或记录到的信号。信的，直接观测或记录到的信号。信 号

9、时域描述直观地给出信号瞬时值随时间变化的情况号时域描述直观地给出信号瞬时值随时间变化的情况。 02 2/0 )( )()( 0 0 0 tTA TtA tx nTtxtx 如：如： )sin()( 2 tetx t 如：如： 1、时域描述、时域描述 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 2、频域描述、频域描述 以以频率频率f（或（或）为独立变量为独立变量，用对应频率点的幅，用对应频率点的幅 值和相角表示信号。频域描述反映信号的频率组成及值和相角表示信号。频域描述反映信号的频率组成及 其幅值、相角之大小。其幅值、相角之大小。 例如上面的例子中的例如上面的例子

10、中的周期方波周期方波的时域描述可以转的时域描述可以转 换为下面的频域描述换为下面的频域描述 ： 00 0000 /2 )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( T tttt A tx 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 时域描述与频域描述之间的关系 返回上级 时域分析时域分析 频域分析频域分析 幅幅-频特性频特性 相相-频特性频特性 信号的频谱信号的频谱X(f)代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能 够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。够提供比时域信号波形更直观，

11、丰富的信息。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 信号的时域描述和频域描述之间可以相互转换信号的时域描述和频域描述之间可以相互转换 转换方法转换方法(后文介绍后文介绍)： 时域信号时域信号x(t)(傅里叶级数傅里叶级数/变换变换)频域描述频域描述X() 频域信号频域信号X()(傅里叶逆变换傅里叶逆变换)时域描述时域描述x(t) 返回上级返回上级 8563A SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz 傅里叶傅里叶 变换变换 X(t)= sin(2nft) 0 t 0 f 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章

12、信号的分类与描述 3、时域信号与频域信号转换举例、时域信号与频域信号转换举例 时域信号：时域信号： 利用傅里叶级数，可得该信号的频域描述形式利用傅里叶级数，可得该信号的频域描述形式 )5sin 7 1 3sin 3 1 (sin 4 )( 000 ttt A tx 本节结束！ 02 2/0 )( )()( 0 0 0 tTA TtA tx nTtxtx 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 正弦信号频率为正弦信号频率为5Hz，三角波频率，三角波频率20Hz，方波频率，方波频率160Hz； 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类

13、与描述 频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是 信号分析中最常用的一种手段。信号分析中最常用的一种手段。 案例：案例：在齿轮箱故障诊断在齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分析，通过齿轮箱振动信号频谱分析， 确定最大频率分量，然后根据确定最大频率分量，然后根据 机床转速和传动链，找出故障机床转速和传动链，找出故障 齿轮。齿轮。 案例：案例：螺旋浆设计螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆可以通过频谱分析确定螺旋浆 的固有频率和临界转速，确定的固有频率和临界转速，确定 螺旋浆转速工作范围。螺旋浆转速工作范围。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工

14、程学院 第一章 信号的分类与描述 一、一、傅立叶级数傅立叶级数的三角函数展开式的三角函数展开式 (1)傅立叶级数的三角函数展开式傅立叶级数的三角函数展开式 (2)傅立叶级数的复指数函数展开式傅立叶级数的复指数函数展开式 二、周期信号的频谱二、周期信号的频谱 三、周期信号的强度表示三、周期信号的强度表示 第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 (1)周期信号的强度表示周期信号的强度表示 (2)几种常见的周期信号几种常见的周期信号 任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构 成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作成的无穷级数来表示（选择正弦函

15、数与余弦函数作 为基函数是因为它们是正交的），这种三角级数后为基函数是因为它们是正交的），这种三角级数后 世称为傅里叶级数（法语：世称为傅里叶级数（法语：srie de Fourier，或译，或译 为为Fourier series）。傅里叶级数在数论、组合数学、）。傅里叶级数在数论、组合数学、 信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学 等领域都有着广泛的应用。等领域都有着广泛的应用。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 在有限区间上，凡满足在有限区间上，凡满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件条件的

16、的周期周期 信号信号x(t)都可以展开成收敛的傅立叶级数。都可以展开成收敛的傅立叶级数。 狄里赫利条件：狄里赫利条件： （a）在任一周期内，被展开的周期函数）在任一周期内，被展开的周期函数x（t）必须）必须 绝对可积。绝对可积。 （b）在）在x(t)的任一周期内的任一周期内,其最大值和最小值的数目其最大值和最小值的数目 有限。有限。 （c）在）在x(t)的任一周期内的任一周期内,只有有限个不连续点，而只有有限个不连续点，而 且在这些不连续点上，函数必须是有限值。且在这些不连续点上，函数必须是有限值。 傅立叶级数的三角展开式傅立叶级数的三角展开式 第一类间断点第一类间断点 太原理工大学机械工程学

17、院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 0 00 1 2 ( )(cossin) nn n a x tantbnt 0 a 常值分量常值分量(直流分量直流分量) n a n b 余弦分量的幅值余弦分量的幅值 正弦分量的幅值正弦分量的幅值 0 0 2 0 02 1 ( ) T T ax t dt T 0 0 2 0 02 2 ( )cos T Tn ax tntdt T 0 0 2 0 02 2 ( )sin T Tn bx tntdt T T0周期；周期； 0角频率角频率 0 0 2 T 下面是傅立叶级数的三角展开式的公式：下面是傅立叶级数的三角展开式的公式： 0 1 2(, ,

18、 ,)n 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 00 1 ( )sin() nn n x taAnt 22 nnn Aab arctan n n n a b 周期信号是由一个、几个乃至无穷多个不同频率的谐周期信号是由一个、几个乃至无穷多个不同频率的谐 波叠加而成的波叠加而成的 。相邻频率的间隔为相邻频率的间隔为 因而因而谱线是离散的谱线是离散的。 0 0 2 T n n次谐波次谐波 基频基频 An- ， n- 分别称为幅分别称为幅 值谱和相位谱，统称为值谱和相位谱，统称为 频谱。频谱。 0 1 2(, , ,)n 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工

19、程学院 第一章 信号的分类与描述 相频相频 幅频幅频 基波与各次谐波基波与各次谐波 锯齿波信号锯齿波信号 用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表 示的原因在于，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的示的原因在于，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的 是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会 更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线正弦曲线 保真度保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只。一个

20、正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只 有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。 且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波 或三角波来表示。或三角波来表示。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 傅立叶级数的复指数展开式傅立叶级数的复指数展开式 0 00 cos()sin() jnt entjnt 根据根据Eular公式公式 1 2 cos() j tj t tee 2 sin() j tj t j tee 因此：

21、因此：和和 00 0 1 11 222 ( ) ()() jntjnt nnnn n a x tajb eajb e 所以，傅里叶级数的三角函数展开式变为所以，傅里叶级数的三角函数展开式变为 e是自然对数的底，是自然对数的底，j 是虚数单位。它将指是虚数单位。它将指 数函数的定义域扩大数函数的定义域扩大 到复数，建立了三角到复数，建立了三角 函数和指数函数的关函数和指数函数的关 系，它在复变函数论系，它在复变函数论 里占有非常重要的地里占有非常重要的地 位，被誉为位，被誉为“数学中数学中 的天桥的天桥”! 012(,)n 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描

22、述 00 0 11 ( ) jntjnt nn nn x tcC eC e 可得可得 得到傅里叶级数的复数形式得到傅里叶级数的复数形式 0 ( ) jnt n n x tC e 0 0 0 2 02 1 ( ) T jnt Tn Cx t edt T 1 2 () nnn Cajb 1 2 () nnn Cajb 令令 0 0 2 a C 012(,)n 00 0 1 11 222 ( )()() jntjnt nnnn n a x tajb eajbe 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 一般情况下一般情况下cn是复变函数，可以按实频谱和虚频谱形是复变

23、函数，可以按实频谱和虚频谱形 式，或幅频谱和相频谱形式写成式，或幅频谱和相频谱形式写成 ： nn cc与与共共轭轭，即即 nnnn cc ; n j nnRnIn ccjcc e 22 , nnRnI ccc nI n nR c arctan c 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 在两种形式的傅立叶级数中，在两种形式的傅立叶级数中，An和和Cn、 、 和 和Cn都都 是频率的函数，称是频率的函数，称An和和|Cn|为函数为函数(信号信号)的的幅频特性幅频特性, 和和Cn为信号的为信号的相频特性相频特性。A0/2或或|C0|表示信号表示信号 的直流分量，

24、的直流分量，An或者或者|2Cn|表示表示n次谐波的幅值次谐波的幅值, 和和Cn表示第表示第n次谐波的相位。次谐波的相位。An和和Cn. 和和Cn 相当于一个序列的通项相当于一个序列的通项. n周期信号的频谱周期信号的频谱 n n n n 若把若把An和和Cn、 和和Cn与频率的相应关系用坐标表与频率的相应关系用坐标表 示出来，则称之为信号的频谱示出来，则称之为信号的频谱. n 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 总结：总结： 复指数函数形式的频谱为双边谱（复指数函数形式的频谱为双边谱（ 从从- ），三），三 角函数形式的频谱为单边谱（角函数形式的频谱为

25、单边谱（ 从从0 ）；两种频谱各）；两种频谱各 谐波幅值在量值上有确定的关系，即谐波幅值在量值上有确定的关系，即 双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。 00 2 1 ac Ac nn 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 负频率说明负频率说明 角速度按其旋转方向角速度按其旋转方向 可以为正或负，一个可以为正或负，一个 向量的实部可以看成向量的实部可以看成 为两个旋转方向相反为两个旋转方向相反 的矢量在其实轴上投的矢量在其实轴上投 影之和，而虚部则为影之和，而虚部则为 虚轴上投影之差。虚轴上投影之差。 太原理工大学

26、机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 例例1-2 画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。 解解 ：根据式：根据式 故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称。故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称。 正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称。正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称。 00 0 0 0 0 1 2 1 2 cos sin jtjt tee jt jt tjee 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 0 0 0 0 0 2 0 02 0 2 0 02 1 2 1 1 11 2 220 110 1 22

27、1 2 2 3 40 () ) cos cos sin cos sin sin ) , , nnnnRnI T TnRn T TnIn nRnI cajbcjc n t cantdt t t cbntdt t n ncc （ （ 或推导如下：或推导如下： 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 W0 2W0 3W0 4W0 W 4W0 3W0 2W0 W0 t t W0 2W0 3W0 4W0 W 4W0 3W0 2W0 W0 1/2 1/2 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 二、周期信号的频谱二、周期信号的频谱 一

28、个周期信号只要满足狄里赫利条件，就可展开成一个周期信号只要满足狄里赫利条件，就可展开成 一系列的正弦信号或复指数信号之和。周期信号的波形一系列的正弦信号或复指数信号之和。周期信号的波形 不同，其展开式中包含的谐波结构也不同。在实际工作不同，其展开式中包含的谐波结构也不同。在实际工作 中，为表征不同信号的波形，时常需要画出各次谐波分中，为表征不同信号的波形，时常需要画出各次谐波分 量的频谱。量的频谱。 例例1 求如图信号的频谱求如图信号的频谱 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 解：解： Step1: x(t)的一个周期表示为的一个周期表示为 0 0 0

29、0 2 0 2 2 0 2 ( ) TA Att T x t TA Att T Step2: 求傅里叶级数的各个系数求傅里叶级数的各个系数 0 0 222 0 02 4 1 352 0246 ,. ( )cos ,. T Tn A n ax tntdtn T n 00 0 22 0 0 0002 122 2 ( )() TT T AA ax t dtAt dt TTT 0 0 2 0 02 2 0( )sin T Tn bx tntdt T 返回:信号的频谱 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 该周期性三角波的傅立叶级数展开式为该周期性三角波的傅立叶级数

30、展开式为 000022222 1 41141 35 2352 ( )(coscoscos.)cos n AAAA x ttttn t n （n=1，3，5） Step3: 画出频谱图画出频谱图 幅频谱只包含常值分量、幅频谱只包含常值分量、 基波和奇次谐波的频率基波和奇次谐波的频率 分量。谐波的幅值以分量。谐波的幅值以 1/n2的规律收敛的规律收敛 相频谱中基波和各次相频谱中基波和各次 谐波的初相位均为零谐波的初相位均为零 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 周期信号的频谱具有如下周期信号的频谱具有如下特点特点： 周期信号的频谱是离散的。周期信号的频谱是离

31、散的。 每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是各每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是各 高次谐波分量频率的公约数。高次谐波分量频率的公约数。 各频率分量的谱线高度表示该次谐波的幅值和相位角。各频率分量的谱线高度表示该次谐波的幅值和相位角。 工程中常见的周期信号，其谐波分量的幅值总的趋势是随工程中常见的周期信号，其谐波分量的幅值总的趋势是随 谐波次数的增高而减小。因此，在频谱分析中没有必要取谐波次数的增高而减小。因此，在频谱分析中没有必要取 那些次数过高的谐波分量那些次数过高的谐波分量 。 离散性离散性 谐波性谐波性 收敛性收敛性 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学

32、院 第一章 信号的分类与描述 三、周期信号的强度三、周期信号的强度 周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和平均功率周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和平均功率 来表述。来表述。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 峰值是信号可能出现的最大瞬间值峰值是信号可能出现的最大瞬间值 p x max tx 峰峰-峰值峰值xp-p是在一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值是在一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值 之差。之差。 对信号的峰值和峰对信号的峰值和峰 峰值应有足够的估计，以便确定测量峰值应有足够的估计，以便确定测量 系统的动态范围。一般希望信号的峰系统的动态范围

33、。一般希望信号的峰 峰值在测量系统的峰值在测量系统的 线性区域内，使所观测（记录）到的信号正比于被测量线性区域内，使所观测（记录）到的信号正比于被测量 的变化状态。如果进入非线性区域，则信号将发生畸变，的变化状态。如果进入非线性区域，则信号将发生畸变， 结果不但不能正比于被测信号的幅值，而且会增生大量结果不但不能正比于被测信号的幅值，而且会增生大量 谐波。谐波。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 周期信号的均值周期信号的均值 是信号的常值分量是信号的常值分量 x 0 00 1 T x T dttx 周期信号全波整流后的均值就是信号的绝对均值周期信号全波

34、整流后的均值就是信号的绝对均值 x dttx T T x 0 00 1 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 有效值是信号的均方根值有效值是信号的均方根值 有效值的平方有效值的平方均方值，就是信号的平均功率，它反均方值，就是信号的平均功率，它反 映信号功率的大小映信号功率的大小 0 0 2 0 1 T rms dttx T x 0 0 2 0 1 T av dttx T P 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 信号的峰值信号的峰值xp、绝对均值、绝对均值|x|和有效值和有效值xrms可用三值电可用三值电 压表来测量，

35、也可用普通的电工仪表来测量。峰值可用能压表来测量，也可用普通的电工仪表来测量。峰值可用能 记忆瞬峰示值的仪表或示波器来测量，也可根据波形折算。记忆瞬峰示值的仪表或示波器来测量，也可根据波形折算。 均值可用直流电压表测量。因为信号是周期交变的，如果均值可用直流电压表测量。因为信号是周期交变的，如果 交流频率较高，交流成分只影响表针的微小晃动，不影响交流频率较高，交流成分只影响表针的微小晃动，不影响 均值读数。当频率低时，表针将产生摆动，影响读数。这均值读数。当频率低时，表针将产生摆动，影响读数。这 时可用一个电容器与电压表并接将交流分量旁路，但应注时可用一个电容器与电压表并接将交流分量旁路，但应

36、注 意这个电容器对被测电路的影响。意这个电容器对被测电路的影响。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 几种常见的周期信号（下面的图中只画出几种常见的周期信号（下面的图中只画出 一个或几个周期），同学们需要注意。一个或几个周期），同学们需要注意。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 瞬变非周期信号是有一定时间长度，不是无限延伸瞬变非周期信号是有一定时间长度，不是无限延伸 的信号。如脉冲信号（半正弦信号，的信号。如脉冲信号（半正弦信号， 信号，矩形脉冲、信号，矩形脉冲、 指数衰减信号等）。瞬态信号与周期信号和准周期信号

37、指数衰减信号等）。瞬态信号与周期信号和准周期信号 不同，它不能用离散谱表示，大多数情况下，瞬态信号不同，它不能用离散谱表示，大多数情况下，瞬态信号 可通过傅立叶变换得到其连续频谱。可通过傅立叶变换得到其连续频谱。 二、傅立叶变换的主要性质二、傅立叶变换的主要性质 三、几种非周期信号的频谱三、几种非周期信号的频谱 、瞬态信号的傅立叶变换、瞬态信号的傅立叶变换 第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 一、瞬态信号的一、瞬态信号的傅立叶变换傅立叶变换 当一周期信号当一周期信号xT (t)的周期的周期T

38、0趋于无穷大时，该趋于无穷大时，该 信号就成为一个非周期信号信号就成为一个非周期信号x(t) 。 tjn n T T tjn TT edtetx T tx 0 2 0 2 0 0 0 )( 1 )( 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 得到傅里叶变换 0T当当 时，时， 00 0 2 1()nn T ，0 0 ( )( ) lim T T x txt 1 2 ( )( ) j tj t x tx t edt ed d代代替替， 0 n 代代替替 00 0 1 2 ( ) lim jntjnt T n xt edt ed 0 00 0 0 2 02 1 (

39、 )( ) lim T jntjnt TT T n x txt edt e T 0 2 T 用用代代替替 傅立叶积分傅立叶积分 当当T0时，时， 频率间隔频率间隔 00，谱线，谱线 无限靠近，故无限靠近，故 非周期信号的非周期信号的 频谱是连续的。频谱是连续的。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 上式改写形式：上式改写形式： 令：令： 1 2 ( )( ) j t Xx t edt ( )( ) j t x tXed 有：有： 2 ()( ) jft X fx t edt 2 ( )() jft x tX f edf 2f 或或令令 1 2 ( )(

40、) jtjt x tx t edt ed 后面还要介绍傅里叶变换主要性质 傅里叶变换对傅里叶变换对 傅里叶变换对傅里叶变换对 X()X()为为x(t)x(t)的的 傅立叶变换傅立叶变换 x(t)x(t)为为X()X()的的 傅立叶逆变换傅立叶逆变换 有：有： 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 将周期函数的复指数形式的傅立叶级数展开与非周期函数将周期函数的复指数形式的傅立叶级数展开与非周期函数 的傅立叶变换相比较，看出两点不同：的傅立叶变换相比较，看出两点不同： 1周期函数中所包含的频率成分，是基频周期函数中所包含的频率成分，是基频0的整倍数。而非的整倍

41、数。而非 周期函数中包含了一系列从周期函数中包含了一系列从0到无穷大的所有频率成分，到无穷大的所有频率成分，是连是连 续变量。续变量。 2周期函数的傅立叶系数周期函数的傅立叶系数Cn反映的是对应频率成分幅值的大反映的是对应频率成分幅值的大 小，而非周期函数的傅立叶变换小，而非周期函数的傅立叶变换X(f)反映的是单位频率宽度上的反映的是单位频率宽度上的 振幅。所以又称振幅。所以又称X(f)为为。 周期函数：周期函数： x(t)与与cn的量纲相同的量纲相同 n tjn ne Ctx 0 )( 非周期函数：非周期函数： x(t)与与X(f) df的量纲相同的量纲相同 dfefXtx ftj2 )()

42、( 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 X()与与x(t)构成的构成的傅立叶变换对傅立叶变换对说明了时间函数和说明了时间函数和 频谱函数间的对应关系，进一步对其研究，还可得到若频谱函数间的对应关系，进一步对其研究，还可得到若 干重要性质。了解并熟练掌握这些性质可加深理解傅立干重要性质。了解并熟练掌握这些性质可加深理解傅立 叶变换对的物理概念，并为简化分析提供极大的帮助。叶变换对的物理概念，并为简化分析提供极大的帮助。 三、傅立叶变换的主要性质三、傅立叶变换的主要性质 如果你了解拉氏变换如果你了解拉氏变换(Laplace Transfer)(Laplace

43、 Transfer)的性质，了的性质，了 解傅氏变换的性质就比较容易，傅氏变换的多数性质解傅氏变换的性质就比较容易，傅氏变换的多数性质 （不是全部）与拉氏变换相对应的性质类似。事实上，（不是全部）与拉氏变换相对应的性质类似。事实上， 令拉氏算子令拉氏算子s s的实部为零，拉氏变换就是变成傅氏变换。的实部为零，拉氏变换就是变成傅氏变换。 拉氏变换侧重于理论分析，傅氏变换侧重于实际应用。拉氏变换侧重于理论分析，傅氏变换侧重于实际应用。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 傅里叶变换的主要性质介绍如下：傅里叶变换的主要性质介绍如下： 1，奇偶虚实性，奇偶虚实性

44、 2，线性叠加特性，线性叠加特性 3，对称性，对称性 4，尺度改变（时间比例特性），尺度改变（时间比例特性） 5，时移性，时移性 6，频移性，频移性 7，翻转特性与共轭特性，翻转特性与共轭特性 8，卷积特性，卷积特性 9，微分与积分特性，微分与积分特性 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 1，奇偶虚实性，奇偶虚实性 X(t)的傅里叶变换可以写成的傅里叶变换可以写成 2j ()( )Re()jIm() ft X fx t edtX fX f 2Re()( )cosX fx tftdt 2Im()( )sinX fx tftdt 其中其中 结论结论 若若x(

45、t)为实函数，则为实函数，则X(f)实部为偶函数，虚部为奇函数实部为偶函数，虚部为奇函数 若若x(t)为实偶函数，则为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)是实偶函数是实偶函数 若若x(t)为实奇函数，则为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)是虚奇函数是虚奇函数 若若x(t)为虚函数，则上述结论的虚实位置也相互交换为虚函数，则上述结论的虚实位置也相互交换 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 2，线性叠加特性，线性叠加特性 / ( )() FT IFT x tXf / ( )() FT IFT y tYf 如果如果 则则 / ( )( )()() FT

46、IFT a x tby taXfbY f a,b为常数为常数 信号的幅值扩大若干倍，其对应的频谱函数幅值也扩信号的幅值扩大若干倍，其对应的频谱函数幅值也扩 大若干倍；若干信号的时域叠加对应他们频域内频谱大若干倍；若干信号的时域叠加对应他们频域内频谱 的矢量叠加的矢量叠加 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 3，FT对称特性对称特性 )()( / fXtx IFTFT 如果如果 则则)()( / fxtX IFTFT 利用定义即利用定义即 可证明（略）可证明（略） 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 4，时间尺度改变

47、特性，时间尺度改变特性(时间比例性时间比例性) )()( / fXtx IFTFT 如果如果 )( 1 )( / a f X a atx IFTFT 则则 a为非零实数为非零实数 令令a=-1 ， 有有 )()( / fXtx IFTFT （翻转特性）（翻转特性） 应用如下应用如下 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 时间尺度改变特性时间尺度改变特性(时间比例性时间比例性)的应用的应用 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 5，时移特性，时移特性 / ( )() FT IFT x tXf 如果如果 则则 0 2 0

48、/ ()() jftFT IFT x tteX f 2)(2 00 )()( ftfjftj efXfXe 由于由于 , 说明信号说明信号 的时移对其幅值谱密度无影响，而相位谱密度则叠加的时移对其幅值谱密度无影响，而相位谱密度则叠加 了一个与频率成线性关系的附加量，即时域中的时移了一个与频率成线性关系的附加量，即时域中的时移 对应频域中相移。对应频域中相移。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 6、频移特性、频移特性 / ( )() FT IFT x tXf 如果如果 则则 0 2 0 / ( )() jftFT IFT x t eX ff 该式说明，信

49、号该式说明，信号x(t) 乘以复指数乘以复指数 （复调制）后，其（复调制）后，其 时域描述已大大改变，但其频谱的形状却无变化，只在频时域描述已大大改变，但其频谱的形状却无变化，只在频 域作了一个位移。域作了一个位移。 0 2 ftj e 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 7，翻转特性与共轭特性，翻转特性与共轭特性 )()( / fXtx IFTFT 如果如果 则则 )()( / fXtx IFTFT )()( */* fXtx IFTFT 翻转特性翻转特性 共轭特性共轭特性 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 8

50、，FT的卷积特性的卷积特性 )(*)()()(fYfXtytx / ( )() FT IFT x tXf / ( )() FT IFT y tYf 若若 则则 )()()(*)(fYfXtytx 或或 概率论中，两个统计独立概率论中，两个统计独立 变量变量X X与与Y Y的和的概率密度函数的和的概率密度函数 是是X X与与Y Y的概率密度函数的卷积。的概率密度函数的卷积。 电子工程与信号处理中，任一电子工程与信号处理中，任一 个线性系统的输出都可以通过个线性系统的输出都可以通过 将输入信号与系统函数（系统将输入信号与系统函数（系统 的冲激响应）做卷积获得。的冲激响应）做卷积获得。 卷积与傅里叶

51、变换有着密卷积与傅里叶变换有着密 切的关系。利用一点性质，即切的关系。利用一点性质，即 两函数的傅里叶变换的乘积等两函数的傅里叶变换的乘积等 于它们卷积后的傅里叶变换，于它们卷积后的傅里叶变换， 能使傅里叶分析中许多问题的能使傅里叶分析中许多问题的 处理得到简化。处理得到简化。 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 9，微分特性和积分特性，微分特性和积分特性 2 / ( ) ()() n FT IFTn n d x t jfX f dt 2 / () ()( ) n FT IFTn n d X f jfx t df / ( )() FT IFT x tXf

52、 若若 则则FT微分特性微分特性 FT积分特性积分特性 时域微分时域微分 频域微分频域微分 1 2 / ( )() t FT IFT x t dtXf jf 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 )(t 1、矩形窗函数的频谱、矩形窗函数的频谱 2、 函数及其频谱函数及其频谱 3、正、余弦函数的频谱密度函数、正、余弦函数的频谱密度函数 4、周期单位脉冲序列的频谱、周期单位脉冲序列的频谱 三、几种典型非周期信号

53、的频谱三、几种典型非周期信号的频谱 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 矩形窗函数矩形窗函数 2/|0 2/|1 )( Tt Tt tw 2 22 2 1 2 / / ( )( )() T jftjftj fTj fT T W fw t edtedtee jf 其频谱为其频谱为 1，矩形函数的频谱，矩形函数的频谱 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 1 2 sin()() jfTjfT fTee j 根据根据Eular公式公式 所以所以 sin() ()sin () fT W fTTcfT fT 抽样信号在信号处理

54、中非常重要，它以抽样信号在信号处理中非常重要，它以2为周期，随着为周期，随着 的增加而作衰减振荡。的增加而作衰减振荡。sinc 是偶函数，在是偶函数，在n（ n=1， 2，）处的值为）处的值为0。 定义抽样信号定义抽样信号 sin )(sinc T T：窗宽：窗宽 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 2， 函数及其频谱函数及其频谱 (1) 函数的定义函数的定义 00 0 )( t t t 1)( dtt且且 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 (2) 函数的采样（筛选）性质函数的采样（筛选）性质 0000 000(

55、 ) ( )( ) ( )( )( )( ) () ( )() ( )( ) t f t dtt fdtft dtf ttf t dtttf t dtf t 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 (3) 函数的卷积性质函数的卷积性质 ( )* ( )( )x ttx t )()(*)( 00 ttxtttx及及 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 (4) 函数的频谱函数的频谱 20 1()( ) jft FT ft edte 函数具有无限宽广的频谱，在所有频段上是等强度的，函数具有无限宽广的频谱，在所有频段上是等强度

56、的， 这种频谱成为这种频谱成为“均匀谱均匀谱” 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 几个特殊常用的傅里叶变换对几个特殊常用的傅里叶变换对 1( ) F t 1() F f 0 2 0 j () ftF tte 0 2 0 j () f tF eff 单位瞬时脉冲单位瞬时脉冲均匀谱密度函数均匀谱密度函数 直流量直流量f=0处有脉冲谱线处有脉冲谱线 函数时移函数时移各频率相移各频率相移2ft0 复指数函数复指数函数(f)频移到频移到f0 返回：Comb函数的谱 对称性对称性对称性对称性 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描

57、述 3，正、余弦函数的频谱密度函数，正、余弦函数的频谱密度函数 由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，故不能直接由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，故不能直接 用式对其进行傅立叶积分变换，而需要在傅立叶变换时引用式对其进行傅立叶积分变换，而需要在傅立叶变换时引 入入函数。函数。 根据欧拉公式，正、余弦函数可以写为根据欧拉公式，正、余弦函数可以写为 00 22 0 1 2 2 sin() jf tjf t f tjee 00 22 0 1 2 2 cos() jf tjf t f tee 因此，参考上一页的几个特殊常用的傅里叶变换对可因此，参考上一页的几个特殊常用的傅里叶变换对可 以得到以得到 太

58、原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 000 1 2 2 sin ()() F f tjffff 000 1 2 2 cos ()() F f tffff 正、余弦函数的傅立叶变换如下正、余弦函数的傅立叶变换如下 只有虚频谱只有虚频谱 只有实频谱只有实频谱 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 4，周期单位脉冲序列的频谱，周期单位脉冲序列的频谱 ss n - comb( ,)( -)t Tt nT 梳状函数：梳状函数： Ts周期周期 n=0，1, 2, 其傅氏级数展开式（复指数形式）其傅氏级数展开式（复指数形式） 2j

59、s n- comb( ,) s nf t k t Tc e 计算计算ck 2 2 2 11 / s / comb( ,) s s s T jkf t k T ss ct T edt TT 所以所以 2 1 j s n - comb( ,) s nf t s t Te T 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 2 0 j () Fft eff 根据根据 11 ss k -k - Comb( ,)( -)( -) sss k fft kff TTT 得到得到 时域时域 频域频域 时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序

60、列 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 一、随机信号概述一、随机信号概述 二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数 三、样本参数、参数估计和统计采样误差三、样本参数、参数估计和统计采样误差 第四节第四节 随机信号随机信号 太原理工大学机械工程学院太原理工大学机械工程学院 第一章 信号的分类与描述 一、随机信号概述一、随机信号概述 随机信号是按时间随机变化而不可预测的信号。随机信号是按时间随机变化而不可预测的信号。 它与确定性信号有着很大的不同，其瞬时值是一个随它与确定性信号有着很大的不同，其瞬时值是一个随 机变量，具有各种可能的取值，不能用确