函数与方程零点问题

1、函数与方程1.函数的零点(1)定义：对于函数y = f(x)(xcd),把使f(x) = 0成立的实数x叫做函数y = f (x)( xc d)的零点.(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x) = 0有实数根？函数y=f(x)的图象与x轴有交点？函数y = f (x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y=f(x)在区间a, b上的图象是连 续不断的一条曲线， 并且有f(a) f(b)0 ,那么函数y = f(x)在区间(a, b)内有零点，即存 在cc(a, b),使得f (c) = 0,这个c也就是方程f(x)=0的根.探究1.函数的零

2、点是函数 丫=刈与*轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数 y = f (x)与x轴的交点，而是y= f (x)与x轴交点的横坐标， 也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x) =0有根的函数y=f(x)才有零点.2 .若函数y=f(x)在区间(a, b)内有零点，则y=f(x)在区间a, b上的图象是否一定 是连续不断的一条曲线，且有f(a) f(b)0)的图象与零点的关系 0a = 0a 0)的图象nt1 v 1与x轴的交点(x1,0) , (x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3 .二分法的定义对于在区间a,b上连续不断

3、且f(a) f(b)0的函数y = f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.自测牛刀小试1 .(教材习题改编)下列函数图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点c所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，不能的是()解析：选c由图象可知，选项 用二分法求解.2 .(教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16) ,(0,8) ,(0,4) ,(0,2)内，那么下列命题中正确的是()a.函数f(x)在区间(0,1)内有零点b.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点c.函数

4、f(x)在区间2,16)上无零点d.函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析：选c由题意可知，函数f(x)的唯一零点一定在区间(0,2)内，故一定不在2,16) 内.3.根据表格中的数据，可以判定方程ex x2=0的一个根所在的区间为()x10123x e1x+ 212345a.( -1,0)b. (0,1)c. (1,2)d. (2,3)解析：选c令f(x) =ex-x-2,则f( -1) = - 10, f (0) =1-20,f(1) =- 30,f(3) =-50,所以方程exx2=0的一个根所在的区间为(1,2).4 .若函数f(x) = x2ax b的两个零点是 2和3,则函数g

5、( x) = bx2- ax-1的零点是解析：.函数f(x) =x2- ax- b的两个零点为2和3,2+3=a,即 a= 5, b= 6.2x3= b,g(x) = bx2 ax 1 = - 6x2 5x 1,令 g(x) = 0,得 x=- 1 或一1. 23答案：2, -1 235 .函数f (x) = 3ax+ 1 2a在区间(一1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是 解析：= f (x) =3ax+12a在区间(一1,1)上有零点，且f(x)为一次函数，.f( -1) - f (1)0 ,即(15a)(1 +a)用 a或a0, .函数 f (x)在 r 上单调递 增.对于 a 项，

6、f ( 1) =e 一 十 ( 1) 4= 5+e10, f (0) =30 , a 不 正确，同理可验证 日d不正确.对于 c项，.f(1) =e+1-4= e-30, f (1) f (2)0.(2)由条件可知 f (1) f(2)0 ,即(2 2a)(4 - 1 - a)0 ,即 a(a-3)0 ,解得 0a0, f 2=e24x -2-3= e2 -10,因此函数 f (x) =e-x 4x3 的零点不31111在区间一4, 2 上；对于 b，注意到f 20，f -4= e 44x-4- 3= e 4- 24 4-111120,因此在区间 2, 4上函数f(x)=e- 4x 3 一定存

7、在零点；对于c,注意到f %0,f(0)=-20,因此函数f(x)=e-4x3的零点不在区间4,0上；对于d,注意111到 f(0)= 20, f 4 =e 44x4 3=e 4 -40,即函数f (x)在(0 ,x x+ 8)上单调递增.由 f(2) =ln 2 -10,知 xc (2 , e), e1 g( xo) = xo = 2.答案： 2判断函数零点个数例2 (1)(2012 北京高考)函数f(x)=x； g x的零点个数为()a. 0c. 22 ,ln x-x +2x(2)函数 f(x)=4x+1 x0 ,的零点个数为()b. 1d. 3a. 0c. 2y= 2 x在xc r上单调

8、递减,1自主解答(1)因为y=x 2在x c 0 , +8)上单调递增,所以 f(x) = x2 2 x在 xc 0 , +8)上单调递增，又 f (0) = 10,所以 f (x)1 x=x 2 - 2在定义域内有唯一零点.y1il(2)当xwo时，函数有零点x=4;当x0时，作出函数.,2从l - a v 人一、2心- bi 品丁 i；y=ln x, y = x22x的图象，观察图象可知两个函数的图象(如图)-1产有2个交点，即当x0时函数f (x)有2个零点.故函数f(x)的零点-4的个数为3.答案(1)b(2)d 判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)=0,如果能求出解，则有

9、几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a, b上是连续不断的曲线，且f(a) f(b)0,3. (2013 深圳模拟)已知符号函数sgn(x)= 0, x=0,则函数f(x)=sgn(x 1, x0,即x1时，f (x) = 1 ln x,令f (x) = 0得x=e1; 当 x1 = 0,即 x=1 时，f(x) = 0 in 1 = 0;当 x10,即 x1 时，f (x) = 1 in x,令1一，, 一、“， 一 一，* 一f (x) = 0得x = e1.因此，函数f(x)的零点个数为3.in 1 j根据函数零点的存在情况求参数例3定义域为r的偶函数f

10、(x)满足对？ xc r,有f(x+2) = f(x)f(1),且当xc 2,3时，f(x)=2x2+ 12x18,若函数 y=f(x)log a(x+1)在(0,+8)上至少有三个 零点，则a的取值范围是()自主解答 在方程 f(x + 2)=f(x)-f(1)中，令 x=- 1 得 f(1) =f( -1) -f (1),再 根据函数f (x)是偶函数可得f (1) =0,由此得f (x + 2) =f (x) =f ( -x),由此可得函数f (x) 是周期为2的周期函数，且其图象关于直线x= 1对称，又当xc0,1时，x+2 2,3,所以当 x 0,1时，f (x) =f (x+2)

11、= 2(x+ 2)2+ 12( x+2) - 18= - 2x2 + 4x-2 = - 2(x- 1)2,根据对称性可知函数f(x)在1,2上的解析式也是f(x) =2(x1)2,故函数f(x)在0,2上的解析式是f(x) =2(x1)2,根据其周期性画出函数f(x)在0 , +8)上的部分图象(如图)，结合函数图象，只要实数a满足0a1且2log a(2 + 1)0即可满足题意，故1虫,即 0a 3.330a1 且 log 3a0). x若y=g(x) m有零点，求 m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得 g(x)-f(x) =0有两个相异实根.2e2解：(1)法一：. g(x) =x+

12、a2ee =2e, x等号成立的条件是x=e,1 g(x)的值域是2e , +8).因而只需2e,则y= g(x) m就有零点.2一 ，e法二：作出g(x) =x + (x0)的大致图象如图: x可知若使y=g(x) m有零点，则只需 m2e.(2)若g(x) -f(x) = 0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，2一 ，e作出g(x) = x+(x0)的大致图象. x. f (x) = - x2+ 2ex + m- 1 =-(x-e)2+ m-1 + e2.，其图象的对称轴为 x = e,开口向下，最大值为 m- 1 + e2.故当 m- 1 + e22e,即 m-

13、e2+2e+1 时，g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x) -f(x) = 0 有两个相异实根.，m的取值范围是(e2+2e+1,+8).通法万纲领悟1个口诀用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算,零点落在异号间.周而复始怎么办？精确度上来判断.3种方法一一判断函数零点所在区间的方法判断函数y = f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.4

14、个结论一一有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.(4)函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不 变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点 的充分不必要条件.数学思想一一利用数形结合思想解决与方程的根有关的问题在解决与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决.典例(2

15、012 福建高考)对于实数a和b,定义运算“ *” ：a2- ab, a b,a*b= 2b 比 设 f (x) = (2x- 1)*( x- 1),且关于 x 的方程 f (x) = m诈 r)恰有三个互不相等的实数根x1, x2, x3,则x1x2x3的取值范围是解析 由定义可知，f(x)(2x 1)*( x - 1)=2x-1 2 2x-1x-1 , x0,22x -x, x0作出函数f(x)的图象，如图所示，关于x的方程f( x) = m恰有三个互不相等的实根 x1, x2, x3,即一一一，八，“ 一，、，1函数f(x)的图象与直线y=m有二个不同的父点，则 0m0时，-x2+x=

16、m 即 x2x+mi= 0,x2 + x3= 1x2+x3 210x2x3 2 , 即 0x2x34；得x,2x2 x=当x0时，由4x0, - 1 3x10.40-xi 3-1.43 10 xix2x3 16-.1 3 77tl-x1x2x30,0, x = 0,数g(x)=则方程f(x) -g(x) = 0在区间5,5上的解的个数为x2,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,3x 1x2.答案：(0,1)则实数k的取值范围是 解析：画出函数f(x)的图象如图所示，根据图象可知当ke (0,1)时，方程“*)=卜有两个不同的实根.、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)2x-1

17、, x1,b. 2,0d. 0解析：选 d 当 xwi 时，由 f (x) =2x1 = 0,解得 x= 0;当 x1 时，由 f(x) = 1 + log 2x一1 一八，一一，一，一，=0,解得x=2,又因为x1,所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.2. (2012 湖北高考)函数f(x) = xcos x2在区间0,4上的零点个数为()a. 4b. 5c. 6d. 7解析：选 c - xe 0,4 ,，x2e0,16 .，x2=0,好，好，好，都是 f(x)的零点，此时x有6个值.，f(x)的零点个数为6.3.函数f(x) =ex + x 2的零点所在的一个区间是()a. (

18、-2, - 1)b. (-1,0)c. (0,1)d. (1,2)2解析：选c因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(2)=e 40, f(1) = e 1-30, f(0) =- 10, f(2) = e20,所以 f (0) f(1)0 ,故函数的 零点所在的一个区间是(0,1).、 一一兀1 一 一，*，一4. (2013 济宁模拟)函数f(x) = 3sin _2xlog x的零点的个数是()a. 2b. 3c. 4d. 5,.一 ._兀 2兀解析：选d函数y = 3sin _2x的周期t=4,由10gl x=3,22可得x=8，由log 1 x= 3,可得x= 8.在同一平

19、面直角坐标系中,2.一，,兀 一_一.一.,.一，作出函数y=3sin万x和y=log 1x的图象(如图所不)，易知f(x)有5个零点.21 x5 .已知函数f(x)= - - log 3x,右x0是函数y= f(x)的零点，且 0xixo,则f(x1)的 5彳k)a.恒为正值b.等于0c.恒为负值d.不大于01 x一一 一， 一，解析：选 a 汪息到函数f(x)=工一log 3x在(0 , 十0)上是减函数，因此当0xif(xo),又xo是函数f(x)的零点,因此f(xo)=o,所以f (xi)0 ,即此时f (xi) 的值恒为正值，选 a.6 . (2013 洛阳模拟)若函数 y=f (x

20、)( xc r)满足 f (x+2) = f(x)，且 xc -1,1时，sin 兀 x, x0,f (x) = | x| ,函数 g(x) =1x的零点的个数为()a. 10c. 8则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间5,5上b. 9d. 7解析：选b由f(x+2)=f(x)可知，函数f(x)是周期为2的周期函数.在同一直角坐标系中画出函数 f(x)与函 数g(x)的图象，如图所示.结合图象可知，函数 h(x)在5,5上有9个零点.(注意函数g(x)在x=0处无定义)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7 .定义在 r上的奇函数f(x)满足：当x0时，f (x) = 2 0

21、12x+log 2 012x,则在r上，函数f ( x)零点的个数为解析：函数f(x)为r上的奇函数，因此 f(0)=0,当x0时，f(x) = 2 012x+log2 012x1在区间0, 2 012内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0, 十)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在 (8, 0)内有且仅有一解，从而函数在r上的零点的个数为 3.答案：38 .已知函数 f(x) = x+2x, g(x)=x+ln x, h(x) =x-jx- 1 的零点分别为 xi, x2, x3,则xi, x2, x3的大小关系是 .解析：令 x+2x=0,得 2x=-x,令 x + ln x=

22、0,得 in x=x.x1 x2x3.在同一坐标系内画出 y = 2x,y= ln x, y=x,如图：x10x20, 6一1 = 0,厂 1 + /53+/5/x=2,即 x3=-21.所以答案：x1x2x39 .已知函数 “*)满足+1)=。)，且(刈是偶函数,当xc0,1时，f(x)=x2.若在区间 1,3内，函数g(x) = f(x) kxk有4个零点，则实数k的取值范围为 解析：依题意得f (x+2) = f (x+1) =f (x),即函数f(x)是以 2为周期的函数.g(x) = f (x) - kx-k在区间1,3内有4个零点， 即函数y= f (x)与y= k(x+1)的图象

23、在区间 1,3内有4个不同的交点.在坐标平面内画出函数y= f(x)的图象(如图所示)，注意到直线y= k(x+ 1)恒过点(一 1 .1,0),由图象可知，当ke 0, 4时，直线与曲线y=f(x)在区间-1,3内有4个不同的交1点，故实数k的取值范围是 0, 4 .所以若存在实数a满足条件，则只需f(1) f(3) 0即可，即 f ( 1) f(3) =(1 3a+2+a 1) (9 + 9a 6 + a1) =4(1 a)(5 a+1)0. .1 ,所以a1.5检验：当f( 1)=0时，a=1.所以 f(x) = x2+x.令 f(x)=0,即 x2+x=0.得 x = 0 或 x=1.

24、方程在1,3上有两根，不合题意，故 aw1.当 f(3) =0 时，a=-17,5此时 f (x) = x2 x55令 f(x)=0,即 x2- -jlx f= 0, 55解得x= 一二或x= 3. 5方程在1,3上有两根，不合题意，故 aw 工5综上所述，a的取值范围为 8, - 1 u (1 , +8).511.若函数f(x) = |4x x2|+ a有4个零点，求实数a的取值范围.解：若f(x) = |4xx2|+a有4个零点，即|4 x- x2| + a = 0有四个根，即|4 x- x2| = - a有四个根.令 g(x) = |4 x-x2| , h(x) =- a.则作出g(x)的图象，甘g)u l z 3 4由图象可知要使|4 x- x2| =- a有四个根，则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点， -0-a4,即一4a0, a 的取值范围为(一4,0).12.已知