利用导数求函数的极值习题

1、利用导数求函数的极值例求下列函数的极值：q一 一 2x 一1. f(x) x 12x； 2. f (x) x e ； 3. f (x)2.x 1分析：按照求极值的基本方法，首先从方程f (x) 0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.解：1 .函数定义域为 r. f (x) 3x2 12 3(x 2)(x 2).令 f (x) 0,得 x 2.当 x 2或 x 2 时，f (x) 0, 函数在 ，2和2,上是增函数；当 2 x 2 时，f (x) 0, 函数在(一2, 2)上是减函数. 当x 2时，函数有极大值 f( 2) 16,x(2

2、x)e x当x 2时，函数有极小值 f (2)16.2 .函数定义域为 r. f (x) 2xe x x2e x令 f (x) 0,得 x 0或 x 2 .当 x 0或 x 2时，f (x) 0,函数f (x)在 ,0和2,上是减函数;当 0 x 2时，f (x) 0,，函数f (x)在(0, 2)上是增函数.当x 0时，函数取得极小值f(0) 0,当x2时，函数取得极大值-2f(2) 4e .2(1 x)(1 x)22(x 1)3 .函数的定义域为 r.2(1 x2) 2x 2xf (x)-r2(x 1)令 f (x) 0,得 x 1 .当 x 1或 x 1 时，f(x) 0, 函数f(x)

3、在 ，1和1,上是减函数；当 1 x 1 时，f (x) 0 , 函数f (x)在(一1,1)上是增函数. 当x 1时，函数取得极小值 f ( 1)3,当x 1时，函数取得极大值 f(1)1.说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性.解答本题时应注意f (x0) 0只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件，如果再加之x0附近导数的符号相反，才能断定函数在x0处 取得极值.反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误.复杂函数的极值例求下列函数的极值：1. f(x) vx2(x 5) ； 2. f(x)

4、 x2 x 6.分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定.在函数f (x)的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点” ，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点.这两类点就是函数f (x)在定义内可能取到极值的全部“可疑点”.2 , c 3 22(x 5) 3x 5(x 2)解：1. f (x) (x 5) vx3pr -33 x33 x33 x令f (x) 0,解得x 2,但x 0也可能是极值点.当 x 0或 x 2时，f (x) 0, 函数f(x)在 ，0和2, 上是增函数；当 0 x 2时，f (x) 0, 函数f (x)在(0, 2)上是减

5、函数.当x 0时，函数取得极大值 f(0) 0,当x 2时，函数取得极小值f(2)334.2.f(x)x2 x 6,(x2或 x 3),x2 x 6,( 2 x 3),2x 1,(x2或 x 3), f (x) 2x 1,( 2 x 3), 不存在，(x2或x 3).人，l1令 f (x) 0,得 x 1 .2一1-当x 2或万x 3时，f (x) 0,一,.,、, 八一 1，一一 函数f(x)在 ，2和-3上是减函数;2 一一 1当x 3或 2 x万时，f (x) 0,1 函数f(x)在3, 和 2,-上是增函数.2，当x 2和x 3时，函数f(x)有极小值0,一 125当x 时，函数有极大

6、值 一 24说明：在确定极值时，只讨论满足f (x0) 0的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的.在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值.本题1中x 0处，2中x 2及x 3处函数都不可导，但f (x)在这些点处左右两侧异号， 根据极值的判定方法，函数f (x)在这些点处仍取得极值.从定义分析，极值与可导无关.根据函数的极值确定参数的值例 已知f (x) ax3 bx2 cx(a 0)在x 1时取得极值，且 f (1)1 .1 .试求常数a、b、c的值；2 .试判断x1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.分析：考察函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过

7、极值点与导数的关系，即极值点必为f (x) 0的根建立起由极值点x1所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数 a、b、c的值.解：1.解法一：f (x) 3ax2 2bx c.x 1是函数f(x)的极值点,1 x 1是方程f (x) 0,即3ax2 2bx c 0的两根,由根与系数的关系，得2b 0,(1)3a1,(2)3a又 f (1)1 , a b c 1,(3), 一 13由(1)、(2)、解得 a -,b 0,c-.22解法二：由f ( 1) f (1) 0得3a 2b c 0,(1)3a 2b c 0(2)又 f(1)1 , a b c 1,(3)一 1 一一3解(1)、(2)、得

8、a -,b 0,c-.221 3332332.f (x)-x-x , f (x)- x- (x1)(x 1).22222当 x 1或 x 1 时，f (x) 0,当 1 x 1 时，f (x) 0. 函数f (x)在1和1,上是增函数，在(一1,1)上是减函数.当x 1时，函数取得极大值 f( 1) 1,当x 1时，函数取得极小值 f (1)1 .说明：解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构 进行逆向联想，合理地实现了问题的转化， 使抽象的问题具体化， 在转化的过程中充分运用 了已知条件确定了解题的大方向.可见出路在于“思想认识”.在求导之后，不会应用f ( 1)

9、 0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍.高三第三章导数-函数的极值练习题一、选择题(本大题共 6小题，每小题3分，共18分)1.下列说法正确的是a.当f (x0)=0时，则f(xo)为f(x)的极大值b.当f (xo)=0时，则f(xo)为f(x)的极小值c.当f (xo)=0时，则f(xo)为f(x)的极值d.当f(xo)为函数f(x)的极值且f (xo)存在时,则有f (xo)=02.下列四个函数，在 x=0处取得极值的函数是 y=x3 y=x2+1 y=|x| y=2xa.b.c.d.3.函数y=6x 一 一:-6x3的极大值为1 xa.3b.4c.2d.54.函数y=x3 3

10、x的极大值为m,极小值为n,则m+n为a.0b.1c.2d.45.y=ln2x+2lnx+2的极小值为a. e 1b.0c.-1d.16.y=2x3一3x2+a的极大值为6,那么a等于a.6b.0c.5d.1二、填空题(本大题共 5小题，每小题3分，共15分)7.函数f(x)=x33x2+7的极大值为 .8.曲线y=3x5 5x3共有 个极值.9.函数y=-x3+48x- 3的极大值为 ;极小值为 10 .函数f(x)=x- 9x3的极大值是2,则.求这11 .若函数y=x3+ ax2+ bx+27在x= - 1时有极大值，在x=3时有极小值 a=, b=.三、解答题(本大题共 3小题，每小题

11、9分，共27分)12 .已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x= 1时，取得极大值 7;当x=3时，取得极小值 个极小值及a、b、c的值.一， a13 .函数f(x)=x+b有极小值2,求a、b应满足的条件x 1一 14 .设 尸f(x)为三次函数，且图象关于原点对称，当 *二万时，f(x)的极小值为一1,来函 数的解析式.函数的极值-11.-3 -921.d 2.b 3.a 4.a 5.d 6.a 7.7 8.两 9.125 - 131 10. 012.解：f (x)=3x2+2ax+b.据题意，1, 3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得1 3至31. a= 3,b= 9, 1. f(x)=x3 3x2 9x+c1 3 b3f(-1)=7,.-.c=2,极小值为一25,极小值 f(3)=333x 329x 3+2=25 a= - 3,b= - 9,c=2.2x13.解：f (x尸 一2x由题意可知f (x)=0有实根，即x2a=0有实根a0 ,