第1章_1位置矢量 位移

1、1.1.1 参考系和坐标系参考系和坐标系 1.1 位置矢量和位移位置矢量和位移 1.1.2 位置位置矢量矢量 1.1.3 位移位移 1.1.1 参照系和坐标系参照系和坐标系 宇宙中的所有物体都处于永不停止的运宇宙中的所有物体都处于永不停止的运 动中，这就是动中，这就是运动的绝对性运动的绝对性. . 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系. 1 1 参考系参考系 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不 同，这就是运动描述的同，这就是运动描述的相对性相对性. 2. 坐标系坐标系 在确定了参照系之后，为了确切地、在确

2、定了参照系之后，为了确切地、定定 量量地说明一个地说明一个质点相对于所选参照系的位置质点相对于所选参照系的位置， 就得在此参照系上就得在此参照系上固结固结一个坐标系一个坐标系. . 最常见的是笛卡儿直角坐标系：最常见的是笛卡儿直角坐标系： x y z o ),(zyxP 1.1.2 位置矢量位置矢量 1 位置位置矢量矢量 r *P x y zx z y o kzj yi xr 222 rxyrz 位矢位矢 的的值值为为r 确定质点确定质点P某一时刻某一时刻在在 坐标系坐标系里的里的位置位置的物理量称的物理量称 位置矢量位置矢量, 简称位矢简称位矢 . r 式中式中 、 、 分别为分别为x、y、

3、z 方向的方向的单位矢量单位矢量. i j k i k j rxcos rzcos rycos 位矢位矢 的的方向余弦方向余弦r P P r x z y o x z y o 2 运动方程运动方程 ktzjtyitxtr )()()()( )(txx )(tyy )(tzz 分量式分量式 从中消去从中消去参数参数 得得轨迹方程轨迹方程 0),(zyxf t )(tr )(tx )(ty )(tz 1.1.3 位移位移 x y o B B r A r A r A r B B r A r x y o B x A x AB xx B y A y AB yy 经过时间经过时间间隔间隔 后后, 质点质点位

4、置矢量发生变化位置矢量发生变化, 把把 由始点由始点 A 指向终点指向终点 B 的的有向线段有向线段 称为点称为点 A 到到 B 的的位移矢量位移矢量 , 简称简称位移位移. AB rrr t r 222 zyxr 位移的位移的大小大小为为 A r B B r A r x y o B x A x AB xx B y A y AB yy jyixr AAA jyixr BBB jyyixx ABAB )()( AB rrr 位移位移 若质点在若质点在三维三维空间中运动空间中运动 kzzjyyixxr ABABAB )()()( 4 路程（路程（ ）: 质点质点实际运动轨迹的长度实际运动轨迹的长度

5、.s 222 zyxr rr 2 1 2 1 2 1 zyx 2 2 2 2 2 2 zyxr 位移位移的物理的物理意义意义 确切反映物体在空间位置的确切反映物体在空间位置的 变化变化, 与路径无关与路径无关，只决定于，只决定于 质点的质点的始末位置始末位置. s ),( 1111 zyxP ),( 2222 zyxP )( 1 tr 1 P )( 2 tr 2 P r 注意注意 x y O z r kzj yi xr 位矢长度的变化位矢长度的变化 位置矢量与位移及路程的异同位置矢量与位移及路程的异同 位置矢量位置矢量状态量状态量 r 位位 移移 过程量过程量 位位 移移矢矢 量量 路路 程程

6、标标 量量 位置矢量与位移都是矢量位置矢量与位移都是矢量. . 位移与路程都是过程量位移与路程都是过程量; ;位移与过程无关，位移与过程无关， 路程与过程有关路程与过程有关 1.2.1 速度速度 1.2 速度和加速度速度和加速度 1.2.2 加速度加速度 1.2.3 例题分析例题分析 1.2.1 速度速度 1 平均速度平均速度 )()(trttrr 在在 时间内时间内, 质点从点质点从点 A 运动到点运动到点 B, 其位移为其位移为 t t时间内时间内, 质点的质点的平均速度平均速度 平均速度平均速度 与与 同方向同方向.r v j t y i t x t r v 平均速度大小平均速度大小 2

7、2 )()( t y t x v ji yx vvv或或 r )(ttr B )(tr A x y o s 2 瞬时速度瞬时速度 当当 时平均速度的时平均速度的极限值极限值叫做瞬时速度，叫做瞬时速度， 简称速度简称速度 0t j t y i t x tt 00 limlimv t r t r td d lim 0 v x y o v 222 ddd ()()() ddd xyz ttt vv 瞬时瞬时速率速率：速度：速度 的大小称为速率的大小称为速率 v y v x v ji yx vvv j t y i t x d d d d v 若质点在若质点在三维三维空间中运动空间中运动, 其其速度速度

8、为为 k t z j t y i t x d d d d d d v 讨论讨论 一运动质点在某一运动质点在某瞬时瞬时位于矢径位于矢径 的端点的端点 处，其速度大小为处，其速度大小为 ),(yxr t r d d t r d d （A）（B）（B）（B） t r d d 22 ) d d () d d ( t y t x （C）（D） 1） 平均加速度平均加速度 B v B A v B v v 与与 同方向同方向 .va （反映速度变化快慢的物理量）（反映速度变化快慢的物理量） x y O a t v 单位时间内的速度增单位时间内的速度增 量即平均加速度量即平均加速度 2）（瞬时）加速度）（瞬时

9、）加速度 0 d lim d t a tt vv 1.2.2 加速度加速度 A v A xyz aa ia ja k 2 2 2 2 2 2 dd dd d d dd dd dd x x y y x a tt y a tt a tt z z v v vz 加速度大小加速度大小 222 xyz aaaa 2 2 dd dd r a tt v 加速度加速度j t i t y x d d d d v v 加速度大小加速度大小 22 0 lim yx t aa t a v 质点作三维运动时加速度为质点作三维运动时加速度为 )(ta )(tr 求导求导求导求导 积分积分积分积分 ( ) t v 质点运动

10、学两类基本问题质点运动学两类基本问题 一一 由质点的由质点的运动方程运动方程可以求得质点在可以求得质点在任一任一 时刻的位矢、速度和加速度时刻的位矢、速度和加速度； 二二 已知质点的加速度以及已知质点的加速度以及初始速度和初始初始速度和初始 位置位置, 可求质点速度及其运动方程可求质点速度及其运动方程 . 运动学的问题一般可以分为如下两类。 （1 1）已知）已知运动方程求速度、加速度运动方程求速度、加速度的问题（在曲线的问题（在曲线 运动中还可以求运动轨迹）。这类问题的求解是运动中还可以求运动轨迹）。这类问题的求解是非常非常 简单简单的，根据在前面学习的公式，大家可以看到对运的，根据在前面学习

11、的公式，大家可以看到对运 动方程动方程求求时间的一阶时间的一阶导数导数就得到速度，再求一次导数就得到速度，再求一次导数 就得到加速度。再将就得到加速度。再将具体的时间代入具体的时间代入到速度和加速到速度和加速 度公式中就可以求得任意时刻的速度和加速度。度公式中就可以求得任意时刻的速度和加速度。 （2 2）已知）已知加速度和初始条件求速度、运动方程加速度和初始条件求速度、运动方程的的 问题（在曲线运动中还可以求运动轨迹）。这类问题问题（在曲线运动中还可以求运动轨迹）。这类问题 在数学上看是典型的在数学上看是典型的积分问题积分问题。积分常数的确定常常。积分常数的确定常常 需要一些已知条件，即需要一

12、些已知条件，即初始条件初始条件。初始条件是指问题。初始条件是指问题 给定时刻（通常是给定时刻（通常是t t为零的时刻，但也有为零的时刻，但也有t t不为零的情不为零的情 况）质点运动的速度和位置（常用况）质点运动的速度和位置（常用 和和 来表示）。来表示）。 0 v 0 x 1.2.3 例题分析例题分析 （5）质点的加速度质点的加速度. . 2 218,2tytx 1. 已知一质点的运动方程为已知一质点的运动方程为 其中其中x、y以以m计，计，t 以以s计计. . 求：求： （1）质点的质点的轨道方程轨道方程并画出其轨道曲线；并画出其轨道曲线； （2）质点的质点的位置矢量位置矢量； （3）质点

13、的速度；质点的速度； （4）前前2s内的平均速度；内的平均速度； （2）质点的位置矢量为质点的位置矢量为 x y o （1）将质点的运动方程消去时间参数将质点的运动方程消去时间参数t，得，得 质点轨道方程为质点轨道方程为 2 18 2 x y 质点的轨道曲线如图所示质点的轨道曲线如图所示 )18, 0( )0 , 6( jti tr )218(2 2 （3）质点的速度为质点的速度为 j tirv 42 02 )0()2( rr v jji 18)2218(22 2 1 2 )sm(42 1 ji （5）质点的加速度为质点的加速度为 )sm(4 2 jra （4）前前2s内的平均速度为内的平均速

14、度为 2.已知质点在已知质点在 时刻位于时刻位于 点点 处，且以初速处，且以初速 加速度加速度 运动运动. . 试求：试求： （1）质点在任意时刻的速度；质点在任意时刻的速度； （2）质点的运动方程质点的运动方程. . 0 t)m(32 0 jir , 0 0 v )sm(43 2 jia 解解 （1）由题意可知由题意可知 ji dt vd 43 dtjivd 43 即即 对其两边取积分有对其两边取积分有 0 0 34 v v t dvij dt 所以质点在任意时刻的速度为所以质点在任意时刻的速度为j ti tv 43 j ti tv 43 （2）因为质点的速度为因为质点的速度为 j ti t

15、 dt rd 43 即即 dtj ti trd 43 亦亦即即 对其两边取积分有对其两边取积分有 tr r dtj ti trd 0 43 0 2 0 2 3 2 2 rt ijrt 所以 jir 32 0 代入代入 故质点的运动方程为故质点的运动方程为 22 3 223 2 rtitj 1.3.1 直线运动的定义直线运动的定义 1.3 直线运动直线运动 1.3.2 直线运动的运动学公式直线运动的运动学公式 1.3.3 例题分析例题分析 x o 1.3.1 直线运动的定义直线运动的定义 )(xP 质点在一条确定的直线上的运动称之为质点在一条确定的直线上的运动称之为 直线运动直线运动. . 质点

16、质点P 的位置矢量为的位置矢量为 i xr 质点质点P 的位移为的位移为 i xr 质点质点P 的速度为的速度为 i dt dx v 质点质点P 的加速度为的加速度为 i dt xd a 2 2 矢量矢量标量？标量？ 1.3.2 直线运动的运动学公式直线运动的运动学公式 假定质点沿假定质点沿x 轴作轴作匀加速匀加速直线运动，加直线运动，加 速度速度a 不随时间变化，初位置为不随时间变化，初位置为 ，初速度，初速度 为为 ，则，则 0 x 0 v dt dv a adtdv tv v adtdv 0 0 atvv 0 atv dt dx 0 又又 dtatvdx 0 tx x dtatvdx 0

17、 0 0 2 00 2 1 attvxx )(2 0 2 0 2 xxavv 由直线运动速度公式和位移公式由直线运动速度公式和位移公式消去时消去时 间参数间参数可得可得 例例5、设某质点、设某质点沿沿x轴运动轴运动，在，在t=0时的速度为时的速度为v0，其加速度与速，其加速度与速 度的大小成正比而度的大小成正比而方向相反方向相反，比例系数为，比例系数为k(k0)，试求速度随，试求速度随 时间变化的关系式。时间变化的关系式。 解：由题意及加速度的定义式，可知解：由题意及加速度的定义式，可知 dt dv kva 因而因而 kdt v dv 积分积分 tv v kdt v dv 0 0 得得 kt v v 0 ln 所以所以 kt evv 0 速度的方向保持不变，速度的方向保持不变， 但大小随时间增大而减但大小随时间增大而减 小，直到速度小，直到速度等于零等于零 为止（反向？）为止（反向？）。 例题分析例题分析 一质点沿一质点沿x