最新1212-抛物线汇总

1、20131212-抛物线精品资料抛物线 y2 2px(p 0)的焦半径 |pf x p；x2 2py(p 0)的焦半径 |pf| y p过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.2ab为抛物线y2 2 px的焦点弦，则xaxb 匕,yaybp2, 1abi=xa h p4 结论1 :已知直线ab是过抛物线y2 2px(p 0)焦点f,求证：，为定值。|af |bf证明：设a(x,y3 b%*),由抛物线的定义知：af % 五，|bf| x22，又222af + bf = ab ,所以 x1+ x2= ab -p ,且由结论一知：x1x2 卫-。4则：x x |af| |bf|ab|

2、ab 2 = 2|ab 2 2 (常数)|afibf af bf / pwrpp2p2pp2p(xi =)(x2 二)xx2 (x x2)(ab p)2224424结论二：(1)若ab是抛物线y2 2pxp 0)的焦点弦，且直线ab的倾斜角为a ,则ab2p772 sin证明:(1)设 a(x1,y1)，b(x2, y?),设直线 ab: y k(x -)2k(x 。)得:,ky2 2py kp2 0y2 2p , yy22k2 px .aby 丫2)24yly2. 11 2p 1 k2 2p(1 k2)2p(1 tan )k2kk2tan2p. 2sin仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除

3、谢谢3例：已知过抛物线解：由结论二,y2 9x的焦点的弦ab长为12 ,则直线ab倾斜角为912=(其中a为直线ab的倾斜角), sin则sin 与，所以直线ab倾斜角为或2考点1抛物线的定义 题型利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换p到抛物线焦点距例1 已知点p在抛物线y2 = 4x上，那么点p到点q (2, 1)的距离与点离之和的最小值为 解析过点p作准线的垂线l交准线于点r,由抛物线的定义知，pq pf pq pr ,当p点为 抛物线与垂线l的交点时，pq pr取得最小值，最小值为点 q到准线的距离，因准线方程为x=- 1,故最小值为3【名师指引】灵活利用抛物线

4、的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说，用定义问题都与焦半径问题相关考点2抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程例2求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：过点(-3,2)(2)焦点在直线x 2y 4 0上解析(1)设所求的抛物线的方程为y22px或x2 2py( p 0),过点(-3,2).42p( 3)或9 2p 22 9p 或p 3 4抛物线方程为y【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置y解析设直线oa方程为y kx,由2 y1 y x2k 解出b点坐标为(2pk , 2pk),直线ab方程为y 2pk y2 2pxx 2p ,直

5、线ab必过的定点（2p, 0）【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线 ab,求交点即可；（2） b点坐标可由a点坐，一 1 _标用一换k而得。 k例（07.四川文科卷.10题）已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点a、b,则 |ab|等于（）4 x或x2 9 y ,3219前者的准线方程是x1,后者的准线方程为y938（2）令x 。得 y 2 ,令 y 0得 x 4 ,.抛物线的焦点为（4,0）或（0,-2），当焦点为（4,0）时，卫4, 2.p 8,此时抛物线方程y2 16x;焦点为（0,-2）时（2. .p 4,此时抛物线方程x28y .所求抛物线方程为y

6、2 16x或x28y ,对应的准线方程分别是x 4,y 2.考点3抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证. 2kx 2p2p2px解出a点坐标为,2、k(x 2 pk )1，令y 0得1 k2例3 设a、b为抛物线y2px上的点，且 aob 90 （o为原点）,则直线ab必过的定点坐标为精品资料a.3b.4c.3 2d.4 2【解析】:点a、b关于直线x+y=0对称，设直线ab的方程为：y x m.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7y x m 22x2 x m 3 01yx2 3设方程(1 )之两根为x1 , x2,则x1x21.设ab的中点为m (xo, yo),则x

7、-x2-.代入 x+y=022yo=-.故有m21 12,2从而m y x 1 .直线ab的方程为：y x 1 .方程(1)成为：x22 0.解得:x 2,1 ,从而 y 1,2 ,故得：a (-2 , -1 ) , b (1 , 2).ab3/2 ,选 c.2 8x有两个不同的交点a和例：是否存在同时满足下列两条件的直线1： (1) 1与抛物线yb; (2)线段ab被直线11 : x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程.【解析】假定在抛物线y2 8x上存在这样的两点a为， , b x2, y2.则有:y18x12 a v】v2 vv28x2y28 x1 x2y

8、1y2kabxx2.线段ab被直线l :x+5y-5=0 垂直平分，且khkab5,即一85y1y2设线段ab的中点为m x0，,，则义t4一一-.代入 x+5y-5=0 5得x=1.于是:，4ab中点为m 1,一5.故存在符合题设条件的直线，具方程为:4y 5x1, 5即：25x 5y 21 0设o为抛物线的顶点,f为抛物线的焦点且 pq为过焦点的弦，若解析：如图2,不妨设抛物线方程为网”l,照二匕q(叼，巧)求4opq的面积。则由抛物线定义知：匚 l-l-vl . + + 一，一.又国又pq为过焦点的弦，所以尸必二26则防-阈=-9=/一一汩0=邑加=!1尸 -八| 二 而所以， 点评：将

9、焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。五、求最值例5.设p是抛物线y 工上的一个动点。(1)求点p到点a (-1 , 1)的距离与点p到直线工=-1的距离之和的最小值；(2)若b (3, 2),求附十阀的最小值。解：(1)如图3,易知抛物线的焦点为 f (1, 0),准线是由抛物线的定义知：点 p到直线元二-1的距离等于点p到焦点f的距离。于是，问题转化为：在曲线上求一点p,使点p到点a (-1 , 1)的距离与点p到f (1, 0)的距离之和最小。显然，连结af交曲线于p点，则所求最小值为1,即为x与。图3(2)如图4,自点b作b

10、q垂直准线于q交抛物线于点 与，则 两21;/用则有附出印n图什旧qi二两3|二4| 即附+1叩的最小值为4x=-例：已知抛物线c的一个焦点为f(1，0),对应于这个焦点的准线方程为(1)写出抛物线c的方程;(2)过f点的直线与曲线c交于a、b两点，。点为坐标原点，求4aob重心g的轨迹方 程；(3)点p是抛物线c上的动点，过点p作圆(x-3) 2+y2=2的切线，切点分别是 m , n.当 p点在何处时，|mn |的值最小？求出|mn |的最小值.解：(1)抛物线方程为：y2=2x.(2)当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-g),代入y2=2x,k2得：k2x2-(k2+2) x+ 0

11、 .k2 2, z,、2设 a (xi, yi) , b(x2, y2), 贝u xi+x2=, yi + y2= k(xi+x2-1)=-.kk20 xi x2 k 2x33k2设bob的重心为g (x, y)则 0 yi y22,y33k消去k得y2=2x 为所求， 39当直线垂直于x轴时，a ( 2 , i) , b (i , -i ),imob的重心g (- , 0)也满足上述万程.3一 一 一、一 -22综合得，所求的轨迹方程为y2=2x 2 , 39(3)设已知圆的圆心为q (3, 0),半径r= v2 ,根据圆的性质有 |mn |=2 |mp|mq| 2rj|pq|2 2r2 2

12、石？卜二| pq |: | pq |2: | pq |当|pq|2最小时，|mn |取最小值，精品资料设p点坐标为(x0, yo),则y2=2x0.|pq|2=(x0-3) 2+ y 0 = x2-4x0+9=( x0-2) 2+5 ,二当x0=2 , yo= 2 时，|pq|2取最小值 5 ,故当p点坐标为(2, 2)时，|mn|取最小值 w.5练习:、选择题1 .动点p到a (0, 2)的距离比到直线l: y=-4的距离小2,则动点p的轨迹方程为()(a) y2=4x(b) y2=8x(c) x2=4y(d) x2=8x仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢92.抛物线y=1/4x2的

13、准线方程为()(a) x=-1(c)y=-1(b) x=-1/16 (d) y=-1/163 .有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=2px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()(a) p(b) p (c) p (d) p4 .已知抛物线x2=4y的焦点f和点a (-1 , 8) , p是抛物线上一点，则i pa i + i pf |的最小值是()(a) 16(b) 12(c) 9(d) 65 .已知m是抛物线y2=2px(p0)上的一点，f是抛物线的焦点，则以 mf为直径的圆与y轴的位置关系是()(a)相交(b)相切(c)向离 (d)不确定6 .抛物线y2 4x的焦点为f,准

14、线为l, l与x轴相交于点e,过f且倾斜角等于60 的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点 a, abh,垂足为b,则四边形abef的面积等于()a. 3也b. 4再 c. 6gd. 8737 .设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点q,若过点q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率 的取值范围是()(a) -1,1(b) -4,4(c) -2,2(c) -1/2,1/28.已知抛物线x2=y+1上三点a、b、c, a (-1 , 0) , abbc,当b在抛物线上移动时，点 c 的横坐标的取值范围是()(a) (-8, -3(b ) 1 , +8)(c) (-8, -3u 1 , +oo) (d

15、)-3,19 .已知点a(3,4),f是抛物线y2 8x的焦点,m是抛物线上的动点，当ma |mf|最小时,m点坐标是a. (0, 0) b. (3, 2.6)c. (2, 4) d. (3,2.6)10 .已知抛物线y2 2px(p 0)的焦点为f ,点p(x1, yj p2(x2, y), p3(x3, y3)在抛物线上，且ipf|、|p2f|、|p3f|成等差数列，则有 ()a. x x2 x3b . y y2 yc. xi x3 2x2d. y y 2y211 .过抛物线焦点f的直线与抛物线交于两点 a、b,若a、b在抛物线准线上的射影为 ai,b,则aifbi()a. 45 b. 6

16、0 c. 90 d. 12012 .过抛物线y2 4x的焦点作一条直线与抛物线相交于 a、b两点，它们的横坐标之和等于 2a 2a 4(a r),则这样的直线()a.有且仅有一条b.有且仅有两条c.1条或2条 d.不存在13 .在平面直角坐标系xoy中，若抛物线x2 4y上的点p到该抛物线焦点的距离为5,则点p的 纵坐标为()a. 3b. 4 c. 5 d. 614 .两个正数a、b的等差中项是9 , 一个等比中项是2芯，且a b,则抛物线y2 (b a)x的焦点 坐标为()精品资料a1c 1c 1 c 1a. (0, -) b. (0,-) c. ( ,0) d . ( 一 ,0) 4424

17、15 .如果p1,p2 ,，r是抛物线y24x上的点，它们的横坐标依次为x1,x2,，x8 ,f是抛物线的焦点，若x1,x2, ,xn(n n )成等差数列且x1 x2x9 45,则|psf尸().a. 5 b.6c.7 d.9二、填空题16 .已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点f且垂直于x轴的弦为ab,且以ab为直径的圆的面积是4,贝u p=17 .设p, q分别是抛物线y2=x和圆(x-3)2+y2=1上的点，则p, q间距离的最小值为18 点a (0, 3)、b (6, -3),线段ab与抛物线x2=2ay有且仅有一个公共点，则a的取值 范围是19 .设。是坐标原点，f是抛物线y2

18、4x的焦点，a是抛物线上的一点， 点与x轴正向的夹角为 60：,则 oa 为.20 .过抛物线y2=4x的焦点f,作倾角为&的弦ab,则ab的长是21 .已知点p在抛物线y2 = 4x上，那么点p到点q (2, -1)的距离与点p到抛物线焦点距离之和的最小值为22 .过抛物线y ax2(a 0)的焦点f作一直线交抛物线于 巳q两点，若线段pf与fq的长分别是 p, q ,贝 y 1 =。p q三、解答题23 .过抛物线y2=4x的焦点f的一条直线和抛物线相交于 a, b两点，如果i ab | =6 ,求线段 ab的中点到y轴的距离。24 .已知抛物线x2=4y，点p是此抛物线上一动点，点 a的

19、坐标为（12 , 6）,求点p到点a的 距离与到x轴的距离之和的最小值。25 .若抛物线的顶点在原点，开口向上，f为焦点，m为准线与y轴的交点，a为抛物线上一点且|am |卅7,|af| 3,求此抛物线的方程2x 1截得的弦长为v15 ,求抛物线的方26 .已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y27 .在抛物线y 4x2上求一点，使该点到直线y 4x 5的距离为最短，求该点的坐标28 .已知抛物线c: y ax2 ( a为非零常数)的焦点为f ,点p为抛物线c上一个动点，过点p且 与抛物线c相切的直线记为l .(1)求f的坐标；(2)当点p在何处时，点f到直线l的距离最小？29 .已知动圆m与直线y =2相切，且与定圆c: x2 (y 3)2 1外切，求动圆圆心