初中三大函数

1、函数何谓“函数”，函数是一种关系，所谓变量之间的关系，变量常常以字母的方式表现出来，所以说简单点，函数就是字母间的关系。函数难题就是参数的计算，计算就是初中的算理算法，难，难在哪？难在关系的找法，不同题型不同的解法。每一题不同的关系，找到关系就只剩计算。解函数综合题，简单说，找关系、然后计算。初中三大函数+少见的复合函数函数：三要素：x (取值范围)、解析式、y图象性质：增减性、交点问题、取值范围、分段函数、函数与方程一一比较大小、面积问题图形变换：平移特殊性质：如一次函数 k、反比例分象限、二次函数的对称性和最值问题一次函数定义：自变量、因变量、整式概念形如 y=kx+b (kw。)1、我们

2、知道，若两个有理数的积为1,则称这两个有理数互为倒数。同样的，当两个实数a+而 与a 而的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数。(1)判断4 夜与4 夜是否互为倒数，并说明理由；(2)若实数 jx 4 是jx 后 的倒数，求点(x, y)中纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并画出函数图象.图像性质：1、画图：两点法一一列表、描点、连线1、已知函数y m 1 x m2 1 ,求当m为何值时：(1)此函数为一次函数；(2)此函数为正比例函数2、用描点法画出下列函数图象：(1) y=2x+1(2) y=2x 1(3) y= 2x+1(4) y= 2x 1图 象k0k0b0b0一次函数y kx by

3、p/x-yi所在象限图象性质：增减性、比较大小1、已知点 a(mi,ni), b(m2,n2),(mi2。试比较ni和n2的大小，并说明理由。两条直线关系：平行、相交5、我们知道，当两条直线公共点时，称这两条直线相交.类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交.如图，在平面直角坐标系中，正方形oabc的顶点为0(0, 0)、a(1, 0)、b(1 , 1)、c(0, 1).(1)判断直线y=x+ 4与正方形0abc是否相交，并说明理由； 36(2)设d是点0到直线y= 4+ b的距离，若直线y= ，3x+ b与正方形0abc相交，求d的取值范围.yjc

4、bx 一0a与x、y轴交点、交点、比较大小、分段函数、形成的面积问题1、 直线 y=3x+ 2与 x轴的交点坐标是 ,与 y轴的交点坐标是 ;直线 y=x+ 2 与 x轴的交点坐标是 ,与 y轴的交点坐标是 ;2、一次函数y=3x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24,求b.3、已知整数x满足0 x5,y1x 2,y22x 5 ,对任意一个x,yhy2中的较大值用 m表示，则 m的最小值是()a. 3b. 5c. 7d. 24、在平面直角坐标系中，已知函数 必 2x和函数v2x 6 ,不论x取何值，y0都取必与y2之间的较小值。求y0关于x的函数关系式；并画出 y0关于x的图象.5、已知点

5、p是直线y=3x1与直线y=x+ b(b0)的交点，直线 y=3x1与x轴交于点 a, 直线y=x+b与y轴交于点b.若 pab的面积是2,求b的值.3图形变换：平移一一上加下减2、特殊性质：3k1、如图，在平面直角坐标系 xoy中，a (0, 2)b (0, 6),动点c在直线y=x上.若以a、b、c三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 c的个数是(a. 2b. 3c. 4d. 52、如图，平面直角坐标系中，直线ab与x轴,y轴分别交于 a(3, 0), b(0, j3)两点,点c为线段ab上的一动点，过点 c作cd，x轴于点d。右 sa acd反比例函数kte义：形如 y x图象性质：1、

6、画图：3-5点一一列表、描点、连线增减性、对称性1、菱形的面积为6,写出它的两条对角线长 x与y的函数关系，并画出函数图像。，一 一，一，一，k2, 人、一，一 人、，2、(1)正比例函数y=kix(kiw 0和反比例函数y=一(k2wq)j一个交点为(m, n),则另一个交点为 . x4(2)直线y kx(k0)与双曲线y 一交于a(xi, yi), b(x2, y2)两点，则2x1y2 7x2%的值等于2、反比例函数性质【知识要点】k的符号k0kv 0函数图象(抛物线)力x, y取值范围x取值范围：xw 0y取值范围：ywox取值范围：xwoy取值范围：ywoag图象在象限内图象在象限内增

7、减性在每一象限内，y随x的增大而在每一象限内，y随x的增大而对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形一，一 一一， 1 ，一，1、(1)已知点 a(a, b)在反比仞函数 y 一图象上，右1vav 2,则b的氾围为(2)已知 mn=-2,若一1vmv2,则 n的范围为2、已知实数a, b满足a-b= 1a2ab + 2,当1av时,函数y=x (巾)的最大值与最小值之差是1求a的值.2、与一次函数综合:交点、比较大小、面积问题1、直线y -xb与双曲线122一(xv 0),交于点a,与x轴交于点b,则oa ob x2、已知一次函数4y kx b与反比例函数y 的图象相交于点 a ( 1

8、, m)、b ( 4, n).(1)求一次函数的关系式;(2)在给定的直角坐标系中画出这两个函数的图象，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?-5 -4 -3 -2 - 1 o12345 x-1-2-3-4-53、如图，矩形 aobc中，c点的坐标为(4, 3), f是bc边上的一个动点(不与 b, c重合)，过f点的反比例 k .、.函数y (k0)的图像与ac边交于点e。 x若bf=1,求aoef的面积；(2)请探索：是否在这样的点 f,使得将4cef沿ef对折后，c点恰好落在ob上？若存在，求出点 k的值; 若不存在，请说明理由1 、4、已知点o是平面直角坐标系的

9、原点，直线y=x+m+n与双曲线y -交于两个不同的点 a(m, n) (m 2)db(p, q),直线y=x+ m+ n与y轴交于点c,求aobc的面积s的取值范围k25、已知点a(1, c)和点b(3,d)是直线y kx b与双曲线y =(k? 0)的交点.x(1)过点a作am x轴，垂足为 m，连结bm .若am bm，求点b的坐标.kn ,若点p在线段ab上，过点p作pe x轴，垂足为e,并交双曲线y (k2 0)于点n .x,pn1当取最大值时，有 pn ,求此时双曲线的解析式.ne2一一八2一八, 、6、已知双曲线y x和直线y= - 2x,点c(a, b)(abv2)在第一象p过

10、点 c作x轴的垂线交双曲线于点 f,交 直线于点b,过点c作y轴垂线交双曲线于点e,交直线于点a.(1)若b=1,则结论“ a、e不能关于直线fb对称”是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举反例(2)若/ cab=/ cfe,设w ac ec，当 k a0）图象上任息一点, xmny轴于n,点p是x轴上的动点，则 amnp的面积是（）a. 1b.c. 4d.不能确定c- yd- y k4、如图，双曲线y （k0）经过矩形oabc的边bc的中点e,交ab于点d.若梯形odbc的面积为3,则双 x曲线的解析式为（）k5、如图14,矩形oabc交双曲线y （k0）于e、f两点，已知e是bc的中

11、点，求证：f是ab的中点 xk6、已知双曲线 y k (k0),过点m (m, m) (m衣)作ma，x轴，mb，y轴，垂足分别是 a和b, ma、mb分别交双曲线y k (k0)于点e、f。 x(1)若k=2, m=3,求直线ef的解析式；(2) o是坐标原点，连结 of,若/ bof=22.5,多边形boaef的面积是2,求k的值。二次函数定义：图象性质：1、画图：3-5点(含顶点)一一列表、描点、连线增减性、对称性、最值性、与 x轴交点、f(1)、f( 1)、f(2)、f( 2)、f(m);函数开口对称轴顶点最大(小)值增减性y a(x h)2+ ka0,开口向上.直线x=h(h, k)

12、当x=h时，y有最小值为 k.当xh时，/.a0,开口问卜.当x=h时，y有最大值为k.当xh时，,y= ax2+ bx+ ca0,开口向上.直线一22ab 4ac b2(2a， 4a )当x=一之时，2a4ac b2y有最小但为人 .4a当 x-b时，/. 2a字母字母的符号图象的特征aa 0开口向上a 0在x轴的上方（与y轴的正半轴相交）c 0与x轴后两个交点 1c、m *d、m wi. 一 一22、已知二次函数 y x (b 1)x c,若x 2, y随x增大而减小，则实数 b的取值范围是 ；若点a (1, c)、b(a,y1)、c(2, y2)在这个函数图像上，且 y1 y2 ,则实数

13、a的取值范围是 【函数与方程】21、二次函数 y ax bx c(aw0)中，自变重的 x与函数y的对应值如下表:x-2-101234ym 41 2m-21 m 2m1m 2m-2m 4241c.右1 m 1 ,则一兀二次方程 ax2+bx+c=0的两个根x1，x2的取值范围是()a、-1 x10, 2 x23b、-2 x1 -1 , 1 x22c、0 xi1 , 1 x22d、-2 xi -1 , 3 x20,当1wxw2时，二次函数 y= ax26ax+9a( aw 0)的最大值与最小 值之差是9,求a的值.2、图象平移：左加右减、上加下减1、将抛物线y x2向右平移一个单位长度，再向上平

14、移3个单位长度所得的抛物线的解析式为()a. y (x 1)2 3b. y (x 1)2 3c. y (x 1)2 3 d. y (x 1)2 32、如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是()a. y=x21b. y=x2+1c. y=(x 1)2d. y=(x+1)23、与一次函数综合:交点、比较大小、面积问题、轨迹方程、几何图形存在性问题1、已知二次函数y ax2 bx c(a0)在二次函数y= x2x+c的图象上，且d、e两点关于坐标原点成中心对称，连接 op.当2j29pw升，2时，试判断直线 de与抛物线y= x2-x+c+系的交点个数，并说明理由.83、如

15、图1,过 abc的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫4abc的水平宽” 4),中间的这条直线在 abc内部线段的长度 bd叫 abc的 铅垂高(h) ”我们可得出一种计算三角形面积的一、，-1新方法：sabc -ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 abc2解答下列问题：如图2,抛物线顶点坐标为点d(1, 4),交x轴于点b(3, 0),交y轴于点c。在第一象限的抛物线上是否存在一点p，使s pbc最大，若存在，求出 p点的坐标；若不存在，请说明理由2_24、已知抛物线y x 2mx m 2的顶点a在第一象pm,过点 a作aby轴，垂足为b, c是线段a

16、b上一点(不与端点a、b重合)，过c作cdx轴，垂足为d,并交抛物线于点 p。(1)若点c (1, a)是线段ab的中点，求点p的坐标；(2)若直线ap交y轴的正半轴于点 e,且ac=cp,求ope的面积s的取值范围。5、抛物线y x2 bx c的顶点为d (-1, -4),与y轴交于点c (0, -3),与x轴交于a, b两点(点a在点b 的左侧).(1)连接ac, cd, ad,试证明4acd为直角三角形；(2)若点e在抛物线的对称轴上， 抛物线上是否存在点 f,使以a, b, e, f为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点f的坐标；若不存在，请说明理由.6、如图，直线y

17、=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(aw0相交于a(1 , 5)和b, m),点p是线段ab上异于a、b 22的动点，过点p作pcx轴于点d,交抛物线于点 c.(1)是否存在这样的 p点，使线段pc的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(2)求4 pac为直角三角形时点 p的坐标.5、纯参数问题21、右抛物线 y= x +bx+ c与x轴只有一个交点，且过点 a (m, n), b (m+6, n),则n=.22、已知abc,且a+b+c=0,则抛物线 y ax bx c与直线y=bx的交点个数有 个.3、若抛物线y=ax2+bx+c上有两点a、b关于原点对称，则称它为

18、“完美抛物线”.(1)请猜猜看：抛物线y = x2+x- 1是否是“完美抛物线”？若是，请写出a、b坐标；若不是，请说明理由；c .c2(2)右抛物线y=ax2+bx+c是 元美抛物线 ，与y轴交于点c,与x轴交于(一，0),右$ abc =一，求直线2bab的解析式.5、x系方程 1、若xi, x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|xi|+3|=2|k| (k是整数)，则称方程x2 + bx+c=027 一一为偶系次方程.如方程x26x27=0,x22x8=0,x2+3x=0,x2+6x27=0,x2 + 4x+4=0,4都是“偶系二次方程”.(1)判断方程x2+x12 =

19、0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；(2)对于任意一个整数 b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c= 0是“偶系二次方程”，并说明理由2、若xi,x2是关于x的方程x2+bx+c= 0的两个实数根，且满足|xi|+2|x2|=|c|+2,则称方程x2+bx+c= 0为t系二次方程.如方程x22x=0, x2+5x + 6=0, x26x16=0, x2+4x+4=0都是t系二次方程。是否存在实数b,使得关于x的方程x2 +bx+b+ 拒=0是t系二次方程”，并说明理由.3.若x1, x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两实根，且x12 3x22 3 k (k为整数)，则称方程x2+bx+c= 0 为b 系二次方程”，如：x2+2x3=0, x2+ 2x 15=0, x2+ 3x = 0, x2+ x = 0,44x2-2x-3=0, x2-2x- 15 = 0等，都是“ b系二次方程”.请问：对于任意一个整数 b,是否存在实数 c,使得关于x的方程x2+ bx+ c= 0是 b系二次方程”，并说明理由.4,若xi, x2是关于x的一元二次方程 x2+bx+c= 0的两个实数根，且 xi, x2满足|xi|+x2|=3|k| (k是正整数)，则 称方程x2+bx+c=0为“倍根二次方程”