高考数学二轮复习专题四立体几何第三讲空间向量与立体几何能力训练理

1、第三讲 空间向量与立体几何/课后削练1. (2018 高考全国卷i )如图，四边形 abc时正方形，e, f分别为ad bc的中点, 以df为折痕把 dfcf起，使点 c到达点p的位置，且pe! bf6证明：平面 pefl平面 abfd(2)求dp与平面abf所成角的正弦值.解析：(1)证明：由已知可得 bfpf, bfef,所以bf，平面pef 又bf?平面abfd所以平面 pefl平面 abfd(2)如图，作p也ef,垂足为h由(1)得，phl平面abfd以h为坐标原点，h的方向为y轴正方向，|bf为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系h-xyz.由可得，del pe又 dp= 2, de

2、= 1,所以pe= 13.又 pf= 1, ef= 2,所以 pel pf33所以 ph= / eh= 2.33则 h(0,0,0) , p0, 0,半，d 1, 2, 0 ,一 3 m 一j3dp= 1, 5,9ha 0, 0, -.又h为平面 abfd勺法向量，设dp与平面abf所成角为0 ,3 hp - dp 4 j3 则 sin 0 = =-y.| hp| dp 所以dp与平面abf所成角的正弦值为 二. 2. (2018 长春模拟)如图，四棱锥 rabcdk 底面 abc师菱形，pal平面abcd e为pd的中点.(1)证明：pb/平面ace(2)设pa 1, /abg= 60?,三

3、麴t e-acd勺体积为厚,求二面角d-ae-c的余弦值.8解析：(1)证明：连接bd ac于点q连接oe图略).在 pbd43, pe= de, bo= do 所以 pb/ oe又oe平面ace pb?平面ace所以pb/平面ace(2)由题易知 vp-abcd= 2vp-acd= 4ve-aca 2 ,设菱形 abcd勺边长为 a,贝u vp.abcd= ；sabcd- pa=(2 x -a2) x 1 = -,贝u a=也.3342取bc的中点为 m 连接 am则aml ad以点a为坐标原点，分别以am ad ap勺方向为x轴，y轴, z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，w诉 1

4、3m v3於(2，i30),n1 , ae= 0,设m=(x, y, z)为平面aec勺法向量，则n1 , ac 0,31八2 y+2z=0.33-x+y=0，取x=1,则m=(1 ,-木,3)为平面aec勺一个法向量.又易知平面 aed勺一个法向量为 n2= (1,0,0),所以 cosm, n2n1 - n2113|n1| , |n2|5 + 3+913由图易知二面角 d- ae c为锐二面角，所以二面角 daec的余弦值为 堡.3. (2018 高考全国卷 n )如图，在三棱锥 p-abc中，ab= bc 22, pa= pb= p* ac则 a(0,0,0) , e(0 , 2 , 2

5、) , c(2, 2 , 0), ae= (0 , 2 ,=4, o为ac的中点.2y+2z=0,ax+ 4- a y=0,a, a) ,所以 cos 2 ,;3 a-42 ；3 a 4 2+3a2+a2(1)证明：pol平面abc(2)若点m在bc上，且二面角 m-pac为30 ,求pc与平面pa所成角的正弦值.解析：(1)证明：因为pa= pc= ac= 4, o为ac的中点，所以 opl ac,且 op= 2 ；3.如图，连接ob因为 ab= bc-二 ：3| a- 4|2a/3a 42+ 3a2+ a2ac，一，入 一一1所以4abg等腰直角三角形，且 obl ac ob= 2ao 2

6、.由 op+ ob= p总知 pol ob由 opl ob opl ac obi ao q 彳# pol平面 abc(2)如图，以o为坐标原点，ob勺方向为x轴正方向，建立空间 直角坐标系oxyz.由已知得 c(0,0,0) , r2,0,0), a(0 , - 2,0) , c(0,2,0),r0,0,2 班),ap= (0,2,2 5).取平面pac勺一个法向量ob= (2,0,0)设 m(a,2 a, 0)(0 a | = cos 30解得a=- 4(舍去)或a=4.3又咯(0,2 , - 2#),所以 cospc n =坐.所以pc与平面pam所成角的正弦值为j4. (201 8 青岛

7、模拟)如图，在四棱锥 f-abc加，pal平面 abcd acl ad abl bczbca= 45?, ap= ad= ac= 2, e为 pa的中点.设平面pah平面pcal ,求证：cd/ l ;(2)求二面角b-ced的余弦值.解析：(1)证明：在四边形 abcdk aclaq ad= ac= 2,，/acd= 45?,/ bca= 45?, ，/ bcd= / bc4 z acd= 90?,即 dcl bc又 abl bcab/ cd. ab?平面 pab cd?平面 pab. cd/平面 pabcd?平面pcd平面pabh平面pcd= l , .cd/ l .(2) . pal平面

8、 abcd acl ad以a为原点，以ad所在的直线为x轴，ac所在的直线为y轴, ap所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则p(0,0,2), 日0,0,1) , d(2,0,0) , c0,2,0) , b(-1,1,0),设平面 dce勺法向量为 m = (x1, y1, zi) , ce= (0 , 2,1) , de= ( -2,0,1),n1 , ce= 02y1 + z1=0由得，c hr n 2x1+ z1= 0n1 , de= 0令 xi=1,则 y1=1, z=2,m = (1,1,2)是平面 dce勺一个法向量.设平面bce勺法向量为n2 = (x2, y2, z2),一 一 一bc= (1,1,0) , ce= (0 , 2,1),m bc= 0由n2 , cee= 0x2+y2= 0得 _2y2+