高中数学常用逻辑用语的解题方法归纳

1、 1.2 .常用逻辑用语一、知识导学1 .逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“” ” ”表示.2 .命题：能够判断真假的陈述句.3 .简单命题：不含逻辑联结词的命题4 .复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q； p且q；非p5 .四种命题的构成：原命题：若 p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q ;逆 否命题：若一q则一1 p.6 .原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若 p则q” = 若q则lp ” .7 .反证法：欲证“若 p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若 p则非q”为假， 即“若p则q”为真.8 .充分条件与必要条件 ：p

2、 = q : p是q的充分条件；q是p的必要条件；p=q : p是q的充要条件.9 .常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个” “对一切” “对每一个” “任给”等；并 用符号”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题 .10 .常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某 个”；并用符号 ”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题 .二、疑难知识导析1 .基本题型及其方法(1)由给定的复合命题指出它的形式及其构成；(2)给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；(3)给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四

3、种命题的相互关系，特别 是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.(4)判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义(5)证明p的充要条件是q ；方法：分别证明充分性和必要性(6)反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立 而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：关键词是都是(全是)()至少有一个至多个任意存在否定不是不都是(全是)()一个也没有至少有两个存在任意2.全称命题与特称命题的关系:全称命题p: x m,p(x)，它的否定 p: x m , p(x)；特称命题p: x m,p(x

4、), 它的否定 p: x m , p(x)；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命 题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明 、经典例题导讲例1把命题“全等三角形一定相似”写成“若 p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定“一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子

5、作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了 .正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等例2将下列命题改写成“若 p则q”的形式，并写出否命题.ao时，函数y=ax+b的值随 x值的增加而增加.错解：原命题改为：若 ao时，x的值增加，则函数 y=ax+b的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将ao看作条件，将“随着”看作结论，而 x的值增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若 ao时，则函数y=ax+b的值随着x的值增加而增加，其否命题为若a 。时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题错解在注意力集中在

6、“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把 ao看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了正解：原命题改为：ao时，若x的值增加，则函数 y=ax+b的值也随着增加.否命题为：ao时，若x的值不增加，则函数 y=ax+b的值也不增加.原命题也可改为：当 x的值增加时，若ao,则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：当x增加时，若a o,则函数y=ax+b的值不增加.2h,命题乙为：两个实数 a、b例3已知h0,设命题甲为：两个实数 a、b满足a满足a 11 h且b 11 h ,那么a.甲是乙的充分但不必要条件b .甲是乙的必要但不充分条件c.甲是乙的

7、充要条件d .甲是乙的既不充分也不必要条件错解：a b 2h (a 1) (b 1) 2h h h |a 1| h,|b 1| h关键词是都是(全是)()至少有一个至多个任意存在否定不是不都是(全是)()一个也没有至少有两个存在任意12.全称命题与特称命题的关系:全称命题p: x m,p(x)，它的否定 p : x m , p(x);特称命题p: x m , p(x), 它的否定 p : x m , p(x);即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命 题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明 、经典例题导讲例1把命题“全等三角形一定相似”写成“若 p则q”的形式，并写出它的逆命题

8、、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定“一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了 .正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等例2将下列命题改写成“若 p则q”的形式，并写出否命题.ao时，函数y=ax+b的值随

9、x值的增加而增加.错解：原命题改为：若 ao时，x的值增加，则函数 y=ax+b的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将ao看作条件，将“随着”看作结论，而 x的值增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若 ao时，则函数y=ax+b的值随着x的值增加而增加，其否命题为若a 。时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把 ao看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了正解：原命题改为：ao时，若x的值增加，则函数 y=ax+b的值也随着增加.否命题为：ao时，若x的

10、值不增加，则函数 y=ax+b的值也不增加.原命题也可改为：当 x的值增加时，若ao,则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：当x增加时，若a o,则函数y=ax+b的值不增加.2h,命题乙为：两个实数 a、b例3已知h0,设命题甲为：两个实数 a、b满足a满足a 11 h且b 11 h ,那么a.甲是乙的充分但不必要条件b .甲是乙的必要但不充分条件c.甲是乙的充要条件d .甲是乙的既不充分也不必要条件错解：a b 2h (a 1) (b 1) 2h h h |a 1| h,|b 1| h故本题应选c.错因：(1)对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误;(2)不能运

11、用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误a 1所以正解：因为b 1两式相减得2hb 2h2h即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件 由于同理也可得a b 2h因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选b.例4已知命题甲：a+b 4,命题乙：a 1且b 3,则命题甲是命题乙的 .错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因：对命题的否定不正确.a 1且b 3的否定是a=1或b=3.正解：当a+b 4时，可选取a=1,b=5 ,故此时a 1且b 3不成立（a=1）.同样，a 1,且b 3时，可选

12、取a=2,b=2,a+b=4 ,故此时a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a 1且b 3为真时，必须a 1 ,b 3同时成立.例5已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么 p是q成立的 （）a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件d.既不充分也不必要条件分析：本题考查简易逻辑知识.因为p r s q但r成立不能推出p成立，所以p q ,但q成立不能推出p成立，所 以选a解：选a例6已知关于x的一元二次方程 （mc z） mx4x+4=0 x2 4m杆 4n24m- 5=0求方程和都有整数解的充要条件.解：方程有实根的充要条件是16 4 4

13、 m 0,解得m 1.5方程有头根的充要条件是16m之4（4m2 4m 5） 0 解得m .45一 m 1.而m z,故 m=1 或 m=0 或 m=1.4当m= 1时，方程无整数解.当m=0时，无整数解；当m=1时，都有整数.从而都有整数解 m=1.反之，m=1都有整数解.都有整数解的充要条件是m=1.例7用反证法证明：若a、b、c r,且x a2 2b 1, y b2 2c 1,2z c 2a 1 ,则x、y、z中至少有一个不小于 0.证明：假设x、y、z均小于0,即：xa22b10一；yb22c10-；zc22a10； + + 得 x y z (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 0

14、,这与(a 1)2 (b 1)2 (c 1)20 矛盾，则假设不成立，.x、y、z中至少有一个不小于 0.例8已知命题p:方程x2+m杆1=0有两个不等的负根；命题 q:方程4x2+4( m-2)x+1=0无实根.若 p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围.分析：“ p或q”为真，则命题p q至少有一个为真，“ p且q”为假，则命题p、q至少 有一为假，因此，两命题 p、q应一真一假，即命题 p为真，命题q为假或命题p为假，命 题q为真.“ 2m2 4 0口解：右万程x+m杆1=0有两不等的负根，则解得m2,m 0即命题p: m 2若方程4x2+ 4( mr 2)x+1 = 0无实根，则

15、 a = 16(mr 2)216= 16(m 4m 3)v0解得：1v rk 3.即 q： 1v rk 3.因“ p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“ p且q”为假，所以命题 p、q至少有一为假，因此，命题p、q应一真一假，即命题 p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.m 23 m 2, 或m 1或m 31 m 3解得：nb3 或 1vms 2.四、典型习题导练21 .万程mx 2x 10至少有一个负根，则（）a. 0 m 1 或 m 0 b. 0 m 1 c. m 1 d. m 12 . “ x2 3x 2 0” 是 “ x 1 或x 4” 的（）a.充分不必要条件 b.必要不充

16、分条件3.三个数a,b,c不全为0的充要条件是a. a,b,c都不是0.c. a,b,c中只有一个是0.c.充要条件d.既不充分也不必要条件( )b. a, b,c中至多一个是 0.d. a, b,c中至少一个不是 0.4 .由命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是:“p且q”形式的命题是 _ ，“非p”形式的命题是 _.5 .若a,b r ,试从22_a. ab 0 b. a b 0 c. a b 0 d. ab 0 e. a b 0 f. a2 b2 0中，选出适合下列条件者，用代号填空：(1)使a,b都为0的充分条件是 ；(2)使a,b都不为0的充分条件是 ；(3)使a, b中至少有一个为 0的充要条件是 ；(4)使a,b中至少有一个不为 0的充要条件是 .6 .分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假.(1) p：梯形有一组对边平行；q