高中数学必修2第三章知识点及练习题

1、两点式:y yy2yi第三章直线与方程1、直线倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定a = 0。.2、 倾斜角a的取值范围：0 wav 180 .当直线l与x轴垂直时，a = 90 .3、直线的斜率：一条直线的倾斜角a (a w 90 )的正切值叫做这条直线的斜率 ，常用小写字母k表示, 也就是k = tan a o当直线l与x轴平行或重合时，a =0 , k = tan0 =0;当直线l与x轴垂直时，a = 90 , k不存在.当 0 ,90时，k 0, k随着a的增大而增大；当

2、90 ,180 时，k 0, k随着a的增大而增大；当 90时，k不存在。由此可知，一条直线l的倾斜角a 一定存在，但是斜率k不一定存在.过两点p(xi,yi卜p2(x2,y2)的直线的斜率公式：k y一y1(x1 x2)x2 xi注意下面四点：当xix2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90。；(2)k与巳、p2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。派三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线；反之,点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要

3、先考虑斜率是否存在。4、直线方程(注意各种直线方程之间的转化)直线的点斜式方程：y y k(x x) , k为直线的斜率，且过点x0, y0 ,适用条件是不垂直x轴。注意：当直线的斜率为0。时，k=0,直线的方程是 y y0o当直线的斜率为90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示. 但因l上每一点的 横坐标都等于x0,所以它的方程是x=x。斜截式：y kx b, k为直线的斜率，直线在 y轴上的截距为bx x1 ( 2 x2,yi y2)直线两点 x, y , x2, y2x2 xi截矩式：-1 ,其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴 a b的

4、截距分别为a,bo一般式：ax by c 0 (a, b不全为0)注意：在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：y b (b为常数)；平行于y轴的直线：x a (a为常数)；5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线(1)平行直线系平行于已知直线 a0x by c0 0(a0,b。是不全为0的常数)的直线系：a0x by c 0 (c 为常数)，所以平行于已知直线 a0x b0y c0 0的直线方程可设：a0x b0 y c 0,c c0垂直于已知直线a0x by c0 0 ( /b。是不全为0的常数)的直线方程可设：

5、b0x a)y c 0 (c为常数) (2)过定点的直线系斜率为k的直线系：y y k x x0，直线过定点 x0,y ；过两条直线111alxb1yc10, l2: a2xb2yc20的交点的直线系方程为ax bi y cia2x b2y c2 0(为参数)，其中直线l2不在直线系中。6、两直线平行与垂直(1)当 li : y kix “，% ： y k?x b2时，li/l2k1 k2,bi b2 ; l1 l2 k1k21注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。(2)当 l1：ax b1y c10, l2: a2x b2y c2 0 时，l1/l2ab2 a2b1 0

6、且b1c2 b2cl 0 ; l1 l2a1a2 b1b2 0例：设直线经过点a(m , 1)、b(-3, 4),直线l2经过点c(1, m)、d( 1, m+1), 当(1) li/% (2) li，时，分别求出 m的值7、两条直线的交点当 li：aix by ci 0 l2 ： a2x b2y c2 0相交时，第7页共5页交点坐标是方程组a1x b1y c1 0的一组解。a2x b2y c20方程组无解11 l2 ；方程组有无数解11与l2重合。8.中点坐标公式：已知两点p1（x1,y1）、p2（x2,y2）,则线段的中点m坐标为（？1x2 ,y1一y2）例:22已知点a（7, 4）、b（

7、 5,6）,求线段ab的垂直平分线的方程。a. 2b. 2b,上35.如果acv0,且bcv0,那么直线a.第一象限c. 4ax+by+c=0 不通过（c.第三象限d. 1则直线1的倾斜角是（）.d. a4)d.第四象限9、两点间距离公式：设a（xi,y1）, b x2, y2）是平面直角坐标系中的两个点，则6 .设a, b是x轴上的两点，点 p的横坐标为2,且|pa| =| pb| ,若直线pa的方程为x-y+ 1|ab| .（x2 x1）2 （y2 y1）210、点到直线距离公式：一点p x0, y0至ij直线1 : ax by c 。的距离为d 1ax0 by0 ca2 b211、两平行

8、直线距离公式 （1）两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解，即：先在任一直线 上任取一点，再利用点到直线的距离进行求解。=0,则直线pb的方程是（a . x+ y 5= 0c. 2y-x-4=0b.d.2x- y- 1 = 02x+ y 7 = 07.过两直线11: x-3y+ 4= 0和12： 2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为a . 19x-9y=0b. 9x+ 19y=0（2）两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线 11和12的一般式方程 为11： ax+by+c1=0, 12：c. 19x-3y= 0d. 3x+ 19y=0ax+by+c2=0,则11与l2的距离为dc1

9、c2a2 b2是（、选择题1.若直线x= 1的倾斜角为，则（a.等于0d.不存在2.图中的直线11, 12, 13的斜率分别为a. k1vk2k3c. k3 k2 k1b. k 3 v k10）个单位，再沿x轴正方向平移a+1个单位得直线1,此时直线1与1重合，则直线1的斜率为（10.aa+ 1d.a+1点（4, 0）关于直线5x+ 4y+ 21 = 0的对称点是（(-6, 8)二、填空题b. (-8, - 6)c. (6, 8)11.已知直线11的倾斜角 1=15转到和直线11重合时所转的最小正角为直线11与12的交点为60,则直线12的斜率12.若三点 a(-2, 3), b(3, 2),

10、 c( - ， m)共线，则2)d.把直线k2的值为m的值为(6, -8)12绕着点a按逆时针方向旋13.已知长方形 abcd的三个顶点的坐标分别为a(0, 1), b(1, 0), c(3, 2),求第四个顶点d的坐标为20. 一直线被两直线11： 4x+y+6=0, 12： 3x- 5y-6 = 0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求(第19题)该直线方程.14 .求直线3x+ay=1的斜率15 .已知点a(2,1),b(1,2),直线y=2上一点p,使| ap| = | bp|，则p点坐标为16 .与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是17 .若一束光线?&着

11、直线 x- 2y+5=0射到x轴上一点，经x轴反射后其反射线所在直线的方程三、解答题18 .设直线 l 的方程为(m22m 3)x+ (2m2+m1)y= 2m6( mc r, mw 1),根据下列条件分别求m的值:l在x轴上的截距是3;斜率为1.21.直线l过点(1, 2)和第一、二、四象限，若直线 l的横截距与纵截距之和为6,求直线l的方程.19.已知 abc的三顶点是 a(-1, 1), b(3, 1) , c(1, 6).直线l平行于 ab,交ac, bc分别于e, f, cef的面积是 cab面积的1 .求直线l的方程.4第三章直线与方程9. b解析：结合图形，若直线1先沿y轴的负方

12、向平移，再沿 x轴正方向平移后，所得直线与 1重合,这说明直线1和1的斜率均为负，倾斜角是钝角.设1 的倾斜角为，则a组一、选择题1. c解析：直线x=1垂直于x轴，其倾斜角为90 .2. d解析：直线ll的倾斜角 1是钝角，故 仁 3, 所以k2k30,因此k2k3ki,故应选 d.3. a解析：因为直线11经过两点（_1, 一 （-1,%所以直线l1的倾斜角为万，而l1/2,所以， 直线12的倾斜角也为 一，又直线12经过两点（2, 1）、（x, 6）,所以，x=2.24. c解析：因为直线 mn的斜率为火 电 =-1,而已知直线1与直线mn垂直，所以直线1的斜一 v3- 72率为1,故直

13、线1的倾斜角是-.5. c解析：直线ax+ by+c=0的斜率k= a0,所以，直线不通bb过第三象限.6. a解析：由已知得点 a（1, 0）, p（2, 3）, b（5, 0）,可得直线pb的方程是x+ y5=0.7. d8. dtanaa+110. d解析：这是考察两点关于直线的对称点问题.直线5x+4y+21 = 0是点 a(4, 0)与所求点 a(x,y）连线的中垂线，列出关于 x, y的两个方程求解.二、填空题11 . - 1.解析：设直线12的倾斜角为 2,则由题意知:180 - 2+ 15 = 60,2=135,k2= tan 2= tan( 180 45) = tan45=

14、1.（第11题）12.-2解： a, b, c三点共线,kab = kac ,13. (2, 3).解得m=-2解析：设第四个顶点d的坐标为（x, y）, adxcd, ad / bc,kad kcd= 1 ,且 kad= kbc.x= 0解得 （舍去）y=1所以，第四个顶点，上=1.x-0y=3d的坐标为（2, 3）.3 14. 2或不存在. a解析：若a = 0时，倾角90。，无斜率.若 aw0 时，y = - ox+1 a a直线的斜率为 a15. p(2, 2).解析：设所求点 p(x, 2),依题意：j(x 2)2(2 1)2 = 口 1)2 (2 2)2 ,解得x=2,故所求p点的

15、坐标为(2, 2).解析：由已知，直线 ab的斜率k= lj=13 12因为ef / ab,所以直线ef的斜率为1 .2因为4cef的面积是 cab面积的，所以e是ca的中点.点e的坐标是(0,-). 4251直线ef的万程是y：=_1x,即x2y+5=0.20. x+6y=0.解析：设所求直线与l1, l2的交点分别是 a, b,设a(x0, y0),则b点坐标为(x0, y。)所以16. 10x+15y 36=0.解析：设所求的直线的方程为2x+ 3y+c= 0,横截距为-,纵截距为-,进而得23_36-5 .17. x+2y+5 = 0.解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于x轴对称，故将直线方程中的y换成一三、解答题18. m=2； m= 4 .33解析：由题意，得=-3,且 m22m 3”m2 2m 3解得 m= - 5 .3由题意，得m2 2m 3 =- 1,且2m2+m-1” 2m2 m 1解得 m=-.319. x-2y+5 = 0.因为a, b分别在l1, |2上, 4x0 + yo+ 6= 0-3x0+5y0-6= 0+得：x0+6y0=0,即点a在直线x+ 6y=0上，又直线x+6y