人教版初中数学§18.2 勾股定理的逆定理之整体设计

1、人教版初中数学18.2 勾股定理的逆定理之整体设计18.2 勾股定理的逆定理 整体设计【教材分析】本大节是勾股定理的逆定理，它是在学过勾股定理的基础上进行的.教科书以古埃及人的做法为出发点，让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形.从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.这个猜想可以利用全等三角形证明，从而得到勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法.进一步完善了直角三角形的判定.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法.这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代

2、数运算“算”出来.实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的.从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法意义重大.本大节的第一个难点是勾股定理的逆定理的证明.可用如下的突破方法：先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法.充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受.要善于为学生搭好台阶，扫清障碍.具体操作思路：（1）如何判断一个三角形是直角三角形？现在的方法比较单一：有一个角是直角的三角形是直角三角形.如此看来，问题的关键是转化为如何判断一个角是直角；（2）

3、利用已知条件先行构造一个直角三角形，再证明它和原三角形全等，使问题得以解决；（3）要构造直角三角形，先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边a1b1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证.另外，几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念，也是本节的难点.在本节学习之前，学生已见过一些互逆命题（定理），如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题.勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，教科书在前面已有感性认识的

4、基础上，在本节结合勾股定理逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，还相应配备了一些练习与习题.如此设置有效地突破了抽象概念带来的理解阻力.课时分配：3课时. 第1课时【教学目标】知识与技能目标1、 理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理.2、 探索并掌握直角三角形判别思想，能用之判断一个三角形是否为直角三角形，会应用勾股定理逆定理解决实际问题.3、 理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.过程与方法目标经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性，渗透合情推理的数学意识.情感、态度与价值观目标1、培

5、养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值.2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系.【教学重点、难点】教学重点：理解并掌握勾股定理的逆定性，并会应用。.教学难点：理解勾股定理的逆定理的推导。方案设计（一）【教学方法与教学准备】 教学方法：体验探究式教学方法（情境认知，操作感悟，师生互动）。教师准备：实物投影或多媒体课件，教具：钉子与打结的绳子。学生准备：（1）复习勾股定理，预习“勾股逆定理”；（2）纸片、剪刀。 教学过程 一、创设情境，导入课题 （设计说明：设置问题1既为了复习勾股定理，又为问题2的出现

6、做了孕伏，它是从形到数的认识过程，问题2则从数到形揭开探索的序幕，同时，两个问题珠联璧合演绎了数形结合.设置介绍古埃及人的做法以及学生的操作活动，可进行动手能力的培养和数学史教育，使得逆定理的现身顺乎自然，渗透了人文精神和探究意识.）问题1：求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长（单位：cm）.（1）a=3，b=4（2）a=2.5，b=6图1 （3）a=4，b=7.5答：（1）c=5（2）c=6.5（3）c=8.5.问题2：分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样子的？ （教学说明：反其道而行之，从反面提出了问题，具有一定的探索性，欲探真情，需要亲自动手，激起了学生的动手欲望.

7、）学生顺势肯定能作出是直角三角形的猜想，但只说不做，往往只是乱想，在问题2的答问后，老师介绍古埃及人画直角的方法，在介绍过程中，让3位学生上台动手操作演示. 用备好的一根钉上13个等距离结的细绳子，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用钉子钉成一个三角形（如图1）。然后让台下一位同学用三角板(角尺)量出最大角的度数：90。由此验证学生的猜想：以3、4、5为边的三角形是直角三角形。 问题3：是不是只有三边长为3，4，5的三角形才能构成直角三角形呢？请同学们动手画一画：如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，满足关系式“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换

8、成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm呢？ 学生活动：动手画图，体验发现，进一步验证猜想（记作命题2）。命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（教学说明：教师要发挥好引路人的作用，激励学生敢于动手，敢于猜想，善于实践.）二、明晰概念，证实发现.(设计说明：从比较勾股定理（命题1）与命题2的题设与结论，认识命题的互逆性.然后采用学生实验、操作的方式感知勾股定理的逆定理的正确性，并为逆定理的证明提供了导向。问题4实际上是对教材82页探究的改造，如此更能凸显问题的本质，把探究可作为问题索引的导线，在证明结束时，逆定理的名称已呈水到渠成之势.) 问题

9、1：命题1、命题2的题设、结论分别是什么？学生回答：命题1的题设是：直角三角形的两条直角边分别a，b，斜边长c 结论是：a2+b2=c2命题2的题设是：三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2， 结论是：这个三角形是直角三角形 教师分析：可以看出，大家回答的这两个命题的题设和结论正好是相反的，像这样的两个命题称为互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。 问题2：请同学们举出一些互逆命题，并思考：是否原命题正确，它的逆命题也正确呢？举例说明。 学生活动：分四人组，互相交流，然后举手发言。以下素材供参考：1。原命题：若 ，则 .（正确） 逆命题：若 ，则 .（不正确）

10、2。原命题：对顶角相等（正确） 逆命题：相等的角是对顶角（不正确） 3。原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等。（正确） 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（正确） 4。原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等。（正确） 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（正确）（教学说明：在学生充分的举例、交流的基础上，提供上面的素材让学生再认识，并明确：（1）任何一个命题都有逆命题，（2）原命题是正确，逆命题不一定正确，原命题不正确，逆命题可能正确，（3）原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系。）问题3：由上发现原命题正确，其逆命

11、题不一定正确，那我们发现的勾股定理的逆命题一定正确吗？还需要我们做什么？答：不一定正确，还需要证明.由此引出问题4.问题4：已知：如图2，abc，ab=c，ac=b，bc=a，且a2+b2=c2，求证：c=90. 分析：在图2中，abc的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果abc是直角三角形，它应该与直角边是a，b的直角三角形全等。实际情况是这样的吗？我们画一个直角三角形abc，使bc=a，ac=b，c=90（图3），再将画好的abc剪下，放到abc上，请同学们观察，它们是否能够重合？试一试!学生活动：拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟：（1）它们完全重合，（2） 证明：作rt

12、abc， 使c=900，ac=b，bc=a由勾股定理得ab= 图3 图2 ab=c ，a2+b2=c2ab= ab= ab，又ac= ac ，bc= bcabcabc（sss）c=c= 900故，abc是直角三角形。教师归纳：由上面的探究过程可以说明，用三角形全等可以证明勾股定理的逆命题是正确的。而如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理。（教学说明：在提出的探究问题的基础上，做好分析、引导，督使学生思考，然后再提问个别学生。通过学生操作、观察、验证两个三角形全等，从中孕育了辅助线的添加为逻辑论证作好了铺垫

13、.促使学生手眼、脑等多器官的参与，从感觉到到知觉，从感性到理性，实现难点的突破。问题4的教学时要特别注意：构造法的使用，这是首次如此作辅助线；防止学生默认c=90，从而用sas来证明两个三角形全等；抓好定理的条件和结论的分析，突出定理数形变化特点.）三、范例点击，演练提高. （设计说明：进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理的本质特征以及在判断是否为直角三角形方面的运用，领会互为逆命题的关系及正确性，提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力.通过例1及相关讨论，理解勾股数的概念，突出本节的教学重点.）问题1：知道勾股定理逆定理这个结论有什么作用吗？试举例说明.（估计有些同学是知道的，但可能似是而非）显然

14、如果给出一个三角形的三边长，我们可通过计算两边的平方和，第三边的平方，通过判断他们是否相等来看这个三角形是不是直角三角形.如以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？解： 62+82=102以6，8，10为边的三角形是直角三角形.问题2：完成以上类题目时有没有规律，是不是盲目计算呢？比如判断三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形，是否把任意两边的平方和都算出来，再与第三边比较，还是有其他方法？如： ， ， 中的哪一个与第三边的平方比较呢？学生讨论，发表见解，达成共识：为了简化判断的次数，应该用较短的两边的平方和，与最长的那个边的平方比较.例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角

15、形? （1）a=15，b=17，c=8; （2）a=13，b=15，c=14分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.解:(1)最大边为17152+82=225+64 =289172 =289152+82 =172以15, 8, 17为边长的三角形是直角三角形(2)最大边为15132+142=169+196=365152 =225132+ 142 152以13, 15, 14为边长的三角形不是直角三角形教师指出：像15，17，8能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.然后提出问题：同学们还知道哪些勾股数？答：（

16、1）3，4，5；（2）6，8，10；小试身手：1。请完成以下未完成的勾股数： （1）5、12、_；（2）10、26、_。 2。abc中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边是_。 3。以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）。a。 ，1，2 b。7，24，25 c。1， ， d。3.5，4.5，5.54。如果三条线段长a，b，c满足 。这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?为什么? 5。说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗? （1）两条直线平行，内错角相等。 （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等。 （3）全等三角形的对应角相等。 答案：1.（1）1

17、3；（2）24. 2. 5. 3. d. 4. 是，因为由 可得 ，所以是.5. （1）内错角相等，两条直线平行.成立；（2）如果两个实数的绝对值相等，那么两个实数也相等.不成立；（3）对应角相等三角形是全等三角形.不成立.（教学说明：通过问题1、2的解决，明确勾股定理在判断是否为直角三角形时的要领，例1可让学生板演，待学生板演完毕教师纠正学生尝试中出现的问题，规范解题过程，并借此总结给出勾股数的定义.在例题、练习的学习过程中，继续强调检验小边的平方和是否等于较大边的平方，而不是检验是否有 ，突出勾股定理的逆定理的应用格式，指出应用定理时常见的错误：即把 当作已知条件来使用.）四、反思小结，观

18、点提炼.（设计说明：以问题的形式诱导学生思考、归纳，从知识、技能、思想方法等多角度理清头绪，在学生的反思中，提升他们的认识，形成块状体系，以利于知识的存储与提取.）1、知识总结：（1）勾股定理逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（2）逆定理应用的实质上是由数量关系（ ）决定位置关系(垂直)（3）勾股数的含义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.（4）利用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形的步骤：先判断那条边最大；分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值；判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形

19、.2、思想方法归纳：（1）数形结合思想：勾股定理是由形到数；其逆定理是由数到形.（2）构造法：作整个图形类辅助线.（3）直角三角形的判定方法.a.证明三角形的两个内角互余；b.利用勾股定理的逆定理.五、分层作业，各有所获. 必做题：教材p84 习题18.2 的第1题、第2题. 选做题：教材p85 习题18.2 的第4题、第6题.六、拓展练习1、在abc中，若a2=b2c2，则abc是 三角形， 是直角；若a2b2c2，则b是 .图4 a c b d e 2、已知：如图4，在abc中ab=13cm，bc=10cm，bc边上的中线ad=12cm。 求证：ab=ac。3、若在abc中，a=m2n2，

20、b=2mn，c= m2n2，则abc是 三角形. 4、一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（ ）。图5 a。12.5 b。12 c。 d。95、（08年山东省中考题）如图5，在梯形abcd中，abcd，a=90， ab=2，bc=3，cd=1，e是ad中点。 求证：cebe。 6、（07年临安市中考题）阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为 的三边，且满足 ，试判断 的形状. 解： 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；（2）错误的原因为： ；（3）本题正确的结论为： .a c b d e f 答案：1、直角三角形，b ；2、用勾股

21、定理逆定理推得adb（或adc）是直角，由于ad是中线，可知线段ad是bc边的中垂线，再用中垂线的性质证得；3、直角；4、b5、证明：过点c作cfab，垂足为f。 在梯形abcd中，abcd，a=90， dacfa90。四边形afcd是矩形。 ad=cf，bf=ab-af=1。 在rtbcf中，cf2=bc2-bf2=8， cf= ，ad=cf= . e是ad中点， de=ae= ad= 。 在rtabe和 rtdec中，eb2=ae2+ab2=6， ec2= de2+cd2=3， eb2+ ec2=9=bc2。 ceb90，即ebec。 6、（1）c ，（2）没有考虑 ，（3） 。 【评价与

22、反思】波利亚认为，“头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学不到更多的东西”“学东西的最好途径是亲自去发现它”“学生在学习中寻求欢乐”。在本节课的教学设计中注意从学生的认知水平和亲身感受出发，通过创设认知冲突和数学史的学习情境，提高学生学习数学的积极性、学习兴趣以及人文意识，设计系列活动让学生经历不同的学习过程。在活动过程中让学生动手画图、测量、判断、找规律，猜想出一般性的结论，然后由学生想、画、剪一剪、叠叠看、验证结论、证明结论使学生自始至终感悟、体验、尝试到了知识的生成与发展过程，品尝着成功后带来的乐趣.这不仅使学生学到获取知识的思想和方法，同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的

23、重要性，而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础，更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气. 要想真正搞好以探究活动为主的课堂教学，必须掌握多种教学思想方法和教学技能，不断更新与改变教学观念和教学态度，使课堂真正成为学生既能自主探究，师生又能合作互动的场所，培养学生成为既有创新能力，又能够适应现代社会发展的公民.作为教师，在课堂教学中要始终牢记：学生才是学习的主体，学生才是课堂的主体；教师只是课堂教学活动的组织者、引导者与合作者.因此，课堂教学过程的设计，也必须体现出学生的主体性.方案设计（二） 教学过程 一、问题创境，理性入题.（设计说明：设置

24、如下的4个问题意在以学生所学知识为基础来引导学生寻求问题的结论，从本源上认识知识、理解知识，同时通过理性引入可防止学生想当然、以偏概全等错误的发生，对培养学生言之有理的推理大有裨益.）问题1：在a1b1c1中，已知c1=90，a1c1=b1 ，c1b1=a1让学生作出符合题意的三角形，设a1b1=c1，则 =_.问题2：在def中，已知df=e，ff=d，de=f，且de=a1c1， ef=c1b1， ，则f 与 的大小关系是_.问题3：a1b1c1与def全等吗？为什么？，dfe的度数是多少？为什么？问题4：若三角形的三边长为a、b、c，且满足 ，则这个三角形是_三角形.从而得出勾股定理的逆

25、定理.（教学说明：通过学生解答上述层层推进的4个问题，并经过教师的导引，估计学生一定会确认符合勾股定理的逆定理条件的三角形是直角三角形的事实.）以下略.【评价与反思】方案设计（一）的引入在通过计算回顾勾股定理的基础上，历经师生作图、观察、用量角器量角、猜测、归纳等合情推理得出勾股定理的逆定理.我们知道，作图、用量角器量角等方面均可产生误差，如此让学生相信符合勾股定理的逆定理的三角形中含直角事会打折扣的，有勉强之嫌.而本设计敢于舍弃“非本质的数学活动”，抛开感性认知直奔理性推证之核心主题，便于从本质上理解知识. 第2课时 【教学目标】知识与技能目标：1。灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.2。

26、进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.方法与过程目标：在解决问题的过程中，继续体验模型的思想方法，培养学生与他人交流、合作的意识.情感态度与价值观培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值.【重点、难点】重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.【教学方法】尝试练习法.教学过程 一、题组引路，温故知新.（设计说明：设置热身练习1的目的是回顾勾股定理的基本应用，其中的第1小题也涉及了方程的思想方法，第2小题需要分类思想的支持，第3小题需要辅助线的一臂之力；练习2是对勾股定理逆定理的复习，并把将要学习的例题中的数据嵌入，无形中降

27、低了例题学习的难度，而练习3也是为了舒缓、分化例题的难度设置的.每一道练习都是本节例题的认知基础，都是为引新做准备的.）热身练习：1、（1）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ；（2）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为 ；（3）已知等边三角形的边长为4cm，则它的面积为 .2、下列各组数据中，能构成rt的三边长的是（ ） a。8、15、16. b。3.5、4.5、5.5. c。18、30、24. d。3、 、2.3、请同学们借助三角板画出如下方位角所确定的射线： （1）南偏东30；（2）西南方向；（3）北偏西60.北 45 答案：1、（1）3，4，5；

28、（2）4或 ；（3）提示：作底边上的高. . 2、c.北 30 北 60 3、（1）图1， （2）图2 （3）图3 . 图1 图2 图3 问题1：练习1用到的知识你能用文字表述吗？勾股定理，其内容为：如果直角三角形的两条直角边分别a，b，斜边长c，那么a2+b2=c2 .问题2：练习2用到的知识你能用文字表述吗？勾股定理的逆定理，其内容为：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.问题3：这两个定理能解决那些基本问题？勾股定理能解决在一个直角三角形里，已知两边求第三边的问题（）；其逆定理能判断三条线段能否构成直角三角形.（教学说明：通过题组练习和问题1、2的

29、解答，帮助学生回顾本节所用的基础知识，为新课的展开埋好了伏笔，同时通过反思性问题有意提高学生的元认知水平.）二、点击范例，以练促思. （设计说明：例1就是教材第83页中的例2，是为展现勾股定理在实际中的应用而设置的，由于题目的问题比较隐晦，因此需要学生灵活应对.为了突破画图这一难点，设置了递进式的小问题，力图在学生的尝试画图、估测、交流中分化难点.然后在对应练习的巩固中，提升学生对勾股定理逆定理的认识以及实际应用的能力.）例1、某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个

30、半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？问题1：请同学们认真审题，弄清已知是什么？解决的问题是什么n e p（港口） q（远航号） 明确：已知两种船的航速，它们的航行时间以及相距的路程，还知道“远航”号的航向东北方向；解决的问题是“海天”号的航向.问题2：你能根据题意画出图形吗？明确：需要分步完成.（1）设港口为p，以p为方位中心画出方位角示意图（图4）,画出远航号的航线pq，以及一个半小时后远航号所处的位置q；（2）估计“海天”号的航向及位置；图4 （3）大致画出“海天”号的航向及位置（以一种为例，图5）.（4）画出整个图形（图6），实现实际

31、问题的转化.n e p（港口） q（远航号） （海天号）r 问题3：要确定“海天”号的航向，需要我们做什么工作？明确：因为qpn=45是已知的，故只要能确定qpr的大小即可.问题4：由于给定的条件大都是线段的长度，要求的又是角，由此我们能想到什么？明确：（1）看是否为等腰三角形或等边三角形；（2）看是否为直角三角形.至此，例题已昭然若揭.图5 解:根据题意画图,如图6所示:pq=161.5=24，pr=121.5=18，qr=30.242+182=302，即 pq2+pr2=qr2，qpr=90.由”远航“号沿东北方向航行可知,qps=450.所以rps=45，即“海天”号沿西北方向航行.图6

32、 另一种情况的求解略，答案：东南方向.课堂练习：1。教材p84的练习3.2。如图7，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的a、b两个基地前去拦截，6分钟后同时到达c地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40，问：甲巡逻艇的航向？图7 3。如图8，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则a、b、c三点能否构成直角三角形？为什么？ 答案：1、正北.2、提示：根据勾股定理的逆定理，可确定acb是直角三角形，且acb=90，又cba=50，则cab=40.故甲

33、巡逻艇的航向为东偏北40（或北偏东50）图8 2、提示：早晨的影长为线段bd，中午的影长为线段ad，则ab=4+1=5（米）由于cdab，据勾股定理得 ， ，abc是直角三角形.（教学说明：例1的教学是本课的重中之重，也是难点所在，通过几个小问题的解决，帮助学生疏通阻碍，特别是要引导学生如何画出象限图.具体教学时，可通过策略性问题：“海天”号的航向大概会朝哪个方向航行？有无向西南方向的可能？等等诸如此类的问题，已引起学生的思考、探索、估计、调整等活动，在已复习“象限角”的基础上，确定出一个三角形，继续使用策略性提问，引导学生应用所学的“勾股定理的逆定理”，让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理

34、的逆定理”的意识.后面的课堂练习，可要求学生先独立尝试再交流的方式进行.）三、反思小结，观点提炼.（设计说明：通过学生的反思捡拾本节的所思所得，在老师的点化下，凝集成处理问题、解决问题的有利方式，为以后的使用做好储备.）1、知识总结：勾股定理以及逆定理的实际应用.2、方法归纳：数学建模的思想.四、分层作业，各有所获.必做题：教材p84-85的习题18.2的第3题、第5题.选做题： 1。一根24米长的绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 .2。如图9，一根高12米的电线杆ab，用铁丝ac、ad固定，现已知用去铁丝ac=15米，ad=13米，又测得地面上bc两点

35、之间距离是9米，bd两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 图9 图10 答案：1、6米，8米，10米，直角三角形；2。abc、abd是直角三角形，ab和地面垂直. 五、拓展练习.1、如图10，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量，已知b=90.小明找了一卷米尺，测得ab=4 m，bc=3 m，cd=13 m，da=12 m.2、如下图11中分别以 三边a，b，c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若s1+s2=s3成 a b c a b c s1 s2 s3 b a b c a b c s1 s2 s3 立，则

36、是直角三角形吗？a c a b c s1 s2 s3 图11 3、如图12，abc中，中线bd= ，ab=6，ac=4. 求中线ce及边bc的长.图12 答案：1、提示：连结ac.ac2=ab2+bc2=25，ac2+ad2=cd2，则cab=90，s四边形=sadc+sabc=36m2.2、是. 由s1+s2=s3，可得 .3、由勾股定理逆定理可推得abd是以a为直角的直角三角形，再使用勾股定理得 ， .【评价与反思】本课时是一节以勾股定理逆定理为主，兼顾勾股定理的应用课，其主攻目标就是例1，也是本节的难点所在.为了克服这一难点，整节课统筹兼顾作了有序的安置，主要体现在：1、课始练习中早做孕

37、伏.首先是复习了需要调度的勾股定理的逆定理，并把例1所用到的数据潜伏其中，无意中为例题的处理提供了思考的导向，然后又回顾了方位角的概念，为例题的画图做准备，因为例题难就难在怎样画出图形，一旦图形搞定，其他便迎刃而解.2、例题学习中善搭台阶.通过层层递进的4个问题，搭建了学生攀援的阶梯，把画图这一难点进行了分化，在学生的答问、尝试中，不知不觉地解决了问题.3、对应练习中实现迁移.为了及时巩固成果，把所学的方法沉淀为学生自己的东西，特设一道有关方位的练习，力图实现有效的迁移.纵观整节课，首先体现了现实数学教育的思想。在现实数学教育思想体系中，情景问题和数学化是最基本、最重要的概念。在本设计中，问题

38、的产生与提出始终立足于学生熟悉且感兴趣的现实背景之中，正如新课程所强调的，学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的。而在问题讨论、解决、发散过程中，又始终渗透着数学模型思想和对学生进行思维训练的目的，立足于发展学生的应用意识，致力于使学生“认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用。”并期待通过“仿真”训练使学生在面对现实问题时也能主动从数学角度进行思考并解决问题。在讨论解决问题的过程中，突出了探究性学习的思想，通过对实际背景的审视与分析，提出有意义的数学问题，猜测、探求其结论并给出解释。在教学方法上主要采用开放讨论式的策略，教学设计具有探究性、主体性、开放性、体验性

39、的特点。 第3课时 【教学目标】 知识与技能目标：1。进一步应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.2。灵活应用勾股定理及逆定理解综合题,进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.过程与方法目标：1。通过在不同条件、不同环境中反复运用定理及逆定理，使学生达到熟练使用、灵活运用的程度.2。通过反思与交流，使学生能归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律.情感态度与价值观培养学生的数学思维以及逻辑推理意识，体验勾股定理和逆定理广泛的应用价值【教学重点与难点】重点：利用勾股定理及逆定理解综合题.难点：利用勾股定理及逆定理解综合题.【教学方法】尝试练习法.教学过程 一、回顾旧知.（设计说明

40、：设置一组小巧玲珑的客观性题目，是为了在短时间内唤起对勾股定理基本应用以及实际应用、其逆定理使用的思考，为综合使用这两个定理奠好支点.其中的1、2、3是勾股定理的基本应用；4是其逆定理以及其它判定直角三角形方法的应用；5是对配方的复习，为例1提供思路；6是对勾股定理实际应用的再现.）1、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（ ）a. 18 cm b. 20 cm c. 24 cm d. 25 cm2、若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大 倍. ( )a . 2 b. 4 c. 6 d. 83、如图1，64、400分别为所在正方形的面积，则图中

41、字母a所代表的正方形面积是（ ）a . 464 b. 336 c. 225 d. 363图1 400 64 a 4、abc中a、b、c的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）a。如果cb=a，则abc是直角三角形.b。如果c2= b2a2，则abc是直角三角形，且c=90.c。如果（ca）（ca）=b2，则abc是直角三角形.d。如果a：b：c=5：2：3，则abc是直角三角形.5、若（a+3）2+b2-4b+4=0，则a+b=（ ）a . 没法确定 b. 5 c. -1 d. 16、一架2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那

42、么梯脚移动的距离是（ ）a. 1.5m b. 0.9m c. 0.8m d. 0.5m学生独立完成后，全班交流.答案：1、d；2、a；3、b；4、b；5、c；6、c.师：勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，除了能单独解决问题外，经常联起手来，综合使用去解决一些难度较大的题目.下面我们就一起研究一下较为综合的问题，去感受一下它们联袂的威力.（教学说明：通过学生尝试解答以上的6个选择题，再现了本课的认知基础和基本的解题经验.若学生在独立解答时有阻力，可适时引导，帮助学生修补认知漏洞，为新课的学习积蓄必备的“数学知能”.）二、点击范例，加强认识.（设计说明：三个例题分别立足于勾股定理的逆定理的应用、勾股

43、定理及逆定理的结合在面积计算中的应用、勾股定理及逆定理的结合在逻辑推理中的应用，其中还用到因式分解法、配方法、完全平方公式等重要知识、方法，是对学生综合分析问题、解决问题能力的检阅.）例1、已知：在abc中，a、b、c的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断abc的形状.分析：有了第一环节练习5的铺垫，估计学生会想到实施配方，想法利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状.若有阻力。可作如下引导：（1）条件给定的是边的关系，要我们确定其形状，我们期望知道什么？每一条边长，或三边的直接联系.（2）一个等式，三个未知数，怎么办？想方设法写成非负数和的

44、形式，利用非负数的性质解决.（3）观察给定的等式外形，我们容易想到什么？由于里面的平方较多，可想到完全平方公式.（4）那到底该怎样组合？（给学生试验、调整的时间，最后形成定论.）移项后，相同字母组合在一起，把常数338分成3部分，构成3组完全平方式.解：根据所给条件，从关于a，b，c的等式入手，应用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，得：（a-5）2=0，（b-12）2=0，（c-13）2=0.解之，得：a=5，b=12，c=13，a2+b2= 52+122=169，c2=132=169，a2+b2= c2则abc是rt.反思1：例1用到哪些主要知识点或方法？（1）完

45、全平方公式；（2）勾股定理的逆定理；（3）非负数的性质；（4）因式分解法；（5）配方法.例2、如图2，在四边形abcd中，ab=3，bc=4，cd=12，ad=13，b=90，求四边形abcd的面积。分析：纵然在勾股定理一节重新认识了“割补法”求面积，但对于这样的不规则图形的面积的确定仍然是有一定难度的，为此，可用以下图2 的小问题引导学生思考：（1）你以前会求哪些图形的面积？三角形的，正方形的，长方形的，梯形的，圆的（2）以上都是规则图形，对于不规则图形，你会用什么方法求面积？转化成规则的图形.图3 （3）如何转化？常用割、补的方式转化，需要作出辅助线.（4）仔细审视原题，看好已知条件，对本

46、题来说“割”与“补”哪一个更合适一些？连结ac，用分割的方式合适一些.至此，问题澄明.解：连结ac，b=90，ab=3，bc=4， 根据勾股定理得 =5，又cd=12，ad=13， ， ，即 ，根据勾股定理逆定理知adc 是直角三角形. 故 .反思2：例2用到哪些主要知识点或方法？（1）勾股定理；（2）勾股定理的逆定理；（3）三角形的面积公式；（4）分割转化法；例3、已知：如图4，在abc中，cd是ab边上的高，且cd2=adbd.求证：abc是直角三角形. 分析引导如下：（1）请同学们观察图形，我们能发现哪些基本图形？rtbdc和rtad c.图4 （2）由以上两个基本图形，我们能得到什么关

47、系式？ac2=ad2+cd2，bc2=cd2+bd2.（3）要判定abc是直角三角形，借助直观，我们期望什么式子成立？bc2+ac2=ab2，（只要式子成立，只能是ab作斜边）.（4）bc2+ac2=ab2能成立吗？能.过程见如下解答.解：cd是ab边上的高，bdc和ad c均为r t. ac2=ad2+cd2，bc2=cd2+bd2则ac2+bc2=ad2+2cd2+bd2 cd2=adbd，13m 5m 图5 ac2+bc2=ad2+2adbd+bd2=（ad+bd）2=ab2 故abc是直角三角形.反思3：例3用到哪些主要知识点？（1）勾股定理；（2）完全平方公式及有关变形；（3）勾股定

48、理的逆定理.（教学说明：三个例题各有侧重，都有一定的难度，因此具体教学时，要注意审时度势，抓好引导，并通过反思返扣知能点，提高学生解决问题的策略意识.）三、辅以练习，深化认识. （设计说明：设置4个对应性练习，进一步强化勾股定理及其逆定理的综合应用，获取解决此类问题的一般方法与基本策略.）课堂练习：1、在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图5所示，地毯的长度至少需要_m。2、若abc的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求abc的面积. 3、已知abc的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c= ，试判定abc的形状.4、已知：如图6，dac=e

49、ac，ad=ae，d为bc上一点，且bd=dc，ac2=ae2+ce2.求证：ab2=ae2+ce2.答案：1、根据平移的性质可知：地毯的长度至少需要两条直边长，即12+5=17.2、通过配方法，利用非负数的性质求三边，再借助勾股定理逆定理确定为直角三角形，得abc的面积为6.图6 3、直角三角形.可用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14.又因为c2=14，所以a2+b2=c2 .4、由ac2=ae2+ce2得e=90；由adcaec，得ad=ae，cd=ce，adc=e=90，根据线段垂直平分线的判定可知ab=ac，则ab2=ae2+

50、ce2.（教学说明：通过四个练习的独立思考、尝试解答，历练自己刚刚获取的解题方法与经验，并通过相互的交流增进同学们之间的合作意识，达到学学相长的智能目标.）四、反思小结，观点提炼.（设计说明：对本节所涉及到的主要知识与思想方法进行大盘点，能清晰地认识本节的所用所学，并能起到巩固强化的作用.）1、本课重点体现的知识：（1）勾股定理；（2）勾股定理的逆定理；（3）完全平方公式；（4）非负数的性质（有限个非负数的代数和为0，则每一个非负数均为0）；（5）因式分解；（6）三角形的面积公式.2、本课重点体现的思想方法：（1）配方法；（2）分割转化法（3）平移法；（4）平方法（课堂练习3）.五、分层作业，各有所获.必做题：教材p88-89 复习题18的第4题、第6题、第7题.图7 选做题：教材p89 复习题18的第8题、第9题.六、拓展练习.1、已知： 为abc的三边，且满足 ，试判断abc的