四川省眉山市2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

1、第3页(共16页)2015-2016学年四川省眉山市高二（下）期末数学试卷（理科）、选择题（每题 5分）1 .复数z=+i3（i为虚数单位）的共轲复数为（）a. 1+2i b, i- 1 c. 1 - i d. 1 - 2i2.双曲线25x29y2 =225的实轴长，虚轴长、离心率分别是()v3444a. 10, 6,b. 6, 10,c, 10, 6,三 d, 6, 10, 453533.若随机变量 x的分布列如下表，且 ex=6.3,则表中a的值为（x4a9p0.50.1ba. 5 b. 6 c, 7 d. 84.已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放

2、回，则在第1次取到的白球条件下，第 2次取到的是黑球的概率为（a.b109c.d.5.设点p是曲线y=x3- 2x2+ （4-正）x上任意一点，p点处切线的倾斜角为电则”的取值范围是（）a.得兀，兀） b.6.已知服从正态分布n(-27t 5c.。，方）u /兀，兀）7td. 0,3)的随机变量在区间（ 科一（t,四+（t）,（科-2 0；u -| tt, 71)p+2 (t)和(-3% p+3 o）内取值的概率分别为68.3%, 95.4%和99.7%.某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布xn （90, 225）,则此次成绩在120分以上的学生大约有 （）人.a. 46 b.

3、 23 c, 954 d. 3177.已知p是抛物线y2=4x上的一个动点，q是圆（x-3） 2+（yt） 2=1上的一个动点，n （1, 0）是一个定点，则|pq|+| pn|的最小值为（）a. 3 b. 4 c, 5 d. & + 18.我国第一艘航母 辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中， 有5架歼-15飞机准备着舰.如 果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）a. 12 b. 18 c. 24 d. 489.设4abc的三边长分别为a、b、c, aabc的面积为s,内切圆半径为r,贝八一2sa+b+c类比这个结论可知：四面体 s-abc的四个面的面积分

4、别为 si、s2、s3、s4,内切球半径 为r,四面体s-abc的体积为v,则r=（）2va s1 + s2+s3+s4 b si + sz+ss+sq3vwc +d s1 + s2+s3+s410.某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 3分，答错得-3分；选乙题答对得1分，答错得-1分.若4位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是()a. 24 b. 36 c. 40 d. 4411.定义在 r 上的函数 f (x)满足：-(x) +f (x) - 20, f (0) =3, f (x)是 f (x)的 导函数，则不等

5、式 exf (x) 2ex+1 (其中e为自然对数的底数)的解集为()a. (-8,0)u ( 3, +8) b.(0,+oo)c.(- oo,0)u ( 1 ,+8)d.(3,+oo)2212 .如图，已知椭圆 三十三=1 (ab0),过原点的直线与椭圆交于 a、b两点，点f为 a2 v椭圆的右焦点，且满足 afxbf,设/ abf= ，且延,则椭圆离心率e的取值126范围为()2ra. vs-1, j b. vs-1, c. 2元,1 d. 2-vi,雪、填空题(每题 5分)6展开式中的常数项等2213 .设a为双曲线 三-二1的实半轴长，则(433414 .设甲、乙两人每次射击命中目标的

6、概率分别为不和e，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两 次的概率是.15 .如果p1, p2,，pn是抛物线c： y2=8x上的点，它们的横坐标依次为x1 , x2,，xn,f 是抛物线 c 的焦点，若 x1+x2+- +xn=10,则 |p1f|+| p2f|+ -+| pnf| =.16 .对于三次函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (aw 0),定义f(x)是函数y=f (x)的导函数y=f(x)的导数，若方程f (x) =0有实数解xq,则称点(xq, f (xo)为函数y=f (x)的图象的 拐点”，可以

7、证明，任何三次函数的图象都有拐点”，任何三次函数的图象都有对称中心，且 拐点”就是对称中心.请你根据这一结论判断下列命题：b b 任意三次函数都关于点(- 二，f (-土)对称； 存在三次函数y=f(x),f (x)=0有实数解xo,则称点(xq,f (xq)为函数y=f(x)的图象的对称中心； 存在三次函数的图象不止一个对称中心； 若函数g (x) =x3-2x2,贝u g (一) +g+g ()+- +g (纲1)122017201720172017=-1008其中正确命题的序号为(写出所有正确命题的序号)三、解答题17.已知 fn (x) = (1+x)n2 2015 2016(1)育

8、f2016 (x) =a0+a1x+a2x +o2015x+a2016x,求 a1+a2+a2015+a2016的值；(2)若 g (x) =f6 (x) +2f7 (x) +3f8 (x),求 g (x)中含 x6项的系数.18 .设函数 f (x) =7-x3- -1x2+2x+a(1)当a=-a时，求函数y=f (x)图象上在点(3, f (3)处的切线方程；2(2)若方程f (x) =0有三个不等实根，求实数 a的取值范围.19 .已知抛物线 c: y2=2px (p0)上的一点m (2, y0)到焦点f的距离等于3.(1)求抛物线c的方程；(2)若过点d (3, 0)的直线l与抛物线

9、c相交于a, b两点，求 abf面积的最小值.20 . 2016年4月15日晚中国诗词大会第一季在中央电视台圆满落幕，冠军由来自华东政法大学的殷怡航获得，为了丰富学生的业余生活，某学校以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加 10分，背诵错误减10分，只有 正确和 错误”两21种结果，其中某班级背诵某首诗的正确率为右背诵错误率为卷，现记该班完成n首背诵后总得分”为sn(1)求s6=20的概率；(2)记=|s5 ,求e的分布列及数学期望.21 .已知椭圆c经过点(-1, 2g)和(2,坐)，求(1)椭圆c的标准方程；(2)过椭圆c的上顶点b作两条互相垂直的直线分别与椭圆c

10、相交于点p、q,试问直线pq是否经过定点，若经过定点请求出定点并说明理由.22 .已知函数 f (x) =lnx -x+1, xc (0, +), g (x) =x3- 3a2x (a0)(1)求f (x)的最大值；(2)若对？ xi (0, +8),总存在x2 1 , 2使得f (x1) g区)成立，求a的取值范围；(3)利用(1)的结论，证明不等式(-)n+(2)n+(-)n -加， 可得 小0, u -,兀）.6,已知服从正态分布 n （% 舄的随机变量在区间（k %时b）,（厂2 4叶2 b）和（科 -3d,叶36内取值的概率分别为 68.3%, 95.4%和99.7%.某校高二年级1

11、000名学生的某 次考试成绩服从正态分布xn （90, 225）,则此次成绩在120分以上的学生大约有（）人.a. 46 b. 23 c, 954 d. 317【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】 根据正态分布，求出尸90,515,在区间（60, 120）的概率为0.954,由此可求成绩在120分以上的考生人数.【解答】 解：由题意， 户90,户15,在区间（60, 120）的概率为0.954，成绩在120分以上的概率为 1 （1 - 0.954） =0.0232，成绩在120分以上的考生人数约为1000x 0.023=23故选：b.7.已知p是抛物线y2=4x上的一个动点，

12、q是圆（x-3） 2+ （y-1） 2=1上的一个动点，n（1, 0）是一个定点，则|pq|+| pn|的最小值为（）a. 3 b. 4 c. 5 d.加 + 1【考点】圆与圆锥曲线的综合.过圆（x-3）(1, 0),2+ （y - 1） 2=1的圆心m作抛物线的准线的垂线【分析】由题意画出图形，根据 n为抛物线的焦点，可过圆（x-3） 2+ （y- 1） 2=1的圆心 m作抛物线的准线的垂线 mh,交圆于q交抛物线于p,则|pq|+| pn|的最小值等于|mh| 一1 .mh,交圆于q交抛物线于p,则| pq|+| pn|的最小值等于| mh | t=3.故选：a.8 .我国第一艘航母 辽宁

13、舰”在某次舰载机起降飞行训练中， 有5架歼-15飞机准备着舰.如 果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）a. 12 b. 18 c. 24 d. 48【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】分两大步：把甲、乙看作 1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有介中方法，再把丙、丁插入到刚才 两个“元素排列产生的3个空位种，有由胃种方法，由分步计算原理可得答案.【解答】解：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有忐种方法，再把丙、丁插入到刚才 两个“元素排列产生的3个空位种，有a专种方法，由分步计算原理可得总的方法种数为: 故选c2s9 .设4abc的三边长

14、分别为a、b、c, aabc的面积为s,内切圆半径为r,则产:笆 arb+c类比这个结论可知：四面体 s-abc的四个面的面积分别为 si、s2、s3、s4,内切球半径 为r,四面体s-abc的体积为 v 则r=（）y2va s1 + s2+s3+s4 b si + sz+h+sq3ywc s1 + s2+ss4 d s1 + s2+s3+s4【考点】类比推理.【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面, 由内切圆类比内切球， 由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.【解答】解：设四面体的内切球的球心为 o,则球心

15、o到四个面的距离都是 r, 所以四面体的体积等于以 o为顶点， 分别以四个面为底面的 4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为一一一.k3vr=-r .一二 2一；歹“故选c.10 .某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 3分，答错得-3分；选乙题答对得1分，答错得-1分.若4 位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是（）a. 24 b. 36 c. 40 d. 44【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类： 两人得3分，余下两人得-3 分，一人得3分，余下三人得-1分，一人得-3

16、分，余下三人得1分，一人得3 分，一人得-3分，一人得1分，一人得-1分，两人得1分，余下两人得-1分，根据 分类计数原理得到结果.【解答】解：由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：(1)两人得3分，余下两人得-3分，有c42=6种情况；(2) 一人得3分,余下三人得-1分，有4种情况；(3) 一人得-3分，余下三人得1分，有4种情况；(4) 一人得3分,一人得-3分,一人得1分，一人得-1分，有a43=24种情况;(5)两人得1分，余下两人得-1分，有c42=6种情况.根据分类计数原理得到共有6+4+4+24+6=44种情况.故选：d.11 .定义在 r 上的函数 f (x)满足：f

17、(x) +f (x) - 20, f (0) =3, f (x)是 f (x)的 导函数，则不等式 exf (x) 2ex+1 (其中e为自然对数的底数)的解集为()a.(一巴 0) u ( 3, +8)b. (0, +oo) c.(8, 0) u (1, +8)d. (3,+oo)【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性.【分析】令 f (x) =exf (x) - 2ex- 1,从而求导 f (x) =ex (f (x) +(x) - 2) 0,从 而由导数求解不等式.【解答】解：解：令f (x) =exf (x) - 2ex-1则 f (x) =exf (x) +f (x) 2 0,

18、故f (x)是r上的单调增函数，而 f (0) =e0f(0)- 2e-1=0,故不等式exf (x) 2ex+1 (其中e为自然对数的底数)的解集为(0, +国)故选：b.2212 .如图，已知椭圆 支彳+彳=1 (ab0),过原点的直线与椭圆交于 a、b两点，点f为 a b 一范围为()二,则椭圆离心率e的取值6椭圆的右焦点，且满足 afxbf,设/ abf= a,且延y|a. v3-1, 1 b. vs-1, - c. 2走,-1 d. 2-vs,夸【考点】椭圆的简单性质.【分析】通过设椭圆的左焦点为 f,连接af、bf构造矢i形afbf ；用a的三角函数值表 示| af|、| bf|

19、,进而利用离心率公式计算即得结论.【解答】 解：设椭圆的左焦点为 f,连接af ； bf,则四边形afbf为矩形.因此 | ab= | ff| =2c,. |af|+| bf| =2a, | af| =2csin % | bf| =2ccosa,/. 2csin a+2ccos a=2a,e= _tt ,sincl +cosciit it又衣2l, 2l, 12 6+于婴野sin （吟哼罕l工行sin （好二）c 近，上;络，e422 ”巾1- 1，故选：b.第11页（共16页）、填空题（每题 5分）2213.设a为双曲线 三-二1的实半轴长，则（43160 .【考点】 二项式定理；双曲线的简

20、单性质.【分析】求出a的值，利用二项展开式的通项公式进行求解即可.2/【解答】 解：: a为双曲线 三- 2-二1的实半轴长， 43 1.a=2,则附七入箸6，（1 - 2x） 6 开式中的 x3 项为 c, （一 2x）j- 160x3,则 5-左）6展开式中的常数项等于-160.故答案为：-160.14 .设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为士和合,且各次射击相互独立，若按甲、4 5乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两 次的概率是 -.一400一【考点】 古典概型及其概率计算公式.【分析】根据题意，分析可得：停止射击时甲射击了两次包括两种情况

21、： 第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中， 分别由相互独立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案.【解答】 解：设a表示甲命中目标，b表示乙命中目标，则 a、b相互独立， 停止射击时甲射击了两次包括两种情况：第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率 pi=p(7?1?a)=(i-色)x( 1-)*色=与，454 80第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中， q4q 41此时的概率 p2=p (p.?e?a?b) = (1-j) x(1 w)x ( 1-

22、) *忑=0，故停止射击时甲射击了两次的概率p=p1+p2= 1 =80 100 400故答案为:1940015 .如果p1,p2,，pn是抛物线c：y2=8x上的点，它们的横坐标依次为x1,x2,，xn,f 是抛物线 c 的焦点，若 x1+x2+- +xn=10,则 |p1f|+| p2fi+ -+| pnf| = 10+2n.【考点】抛物线的简单性质.【分析】根据抛物线的定义得出| pf|=x1+2, | p2f| =x2+2,| pnf| =xn+2将各式相加即可 得出答案.【解答】 解：抛物线的焦点为 f (2,0),准线方程为x= -2. | p1f| =x1+2, | p2f| =

23、x2+2| , |pnf|=xn+2.-i pf|+| p2f|+ -+| pnf| =x1+x2+- +xn+2n=10+2n.故答案为：10+2n.16.对于三次函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (aw 0),定义f(x)是函数y=f (x)的导函数y=f (x)的导数，若方程f (x) =0有实数解xq,则称点(xq, f (xo)为函数y=f (x)的图 象的 拐点”，可以证明，任何三次函数的图象都有拐点”，任何三次函数的图象都有对称中心，且 拐点”就是对称中心.请你根据这一结论判断下列命题：b b 任意三次函数都关于点(- 丁，f (-=)对称； ja 存在三次函数y=f

24、(x), f (x) =0有实数解xo,则称点(xq, f (xq)为函数y=f (x)的 图象的对称中心； 存在三次函数的图象不止一个对称中心； 若函数g (x) =x3-2x2j 士+ - +g () 2017,贝u g+g+g ()12201720172017=-1008其中正确命题的序号为 【考点】导数的运算; 【分析】根据函数(写出所有正确命题的序号)函数的值.f (x)的解析式求出f (x)和f (x),令f (x) =0,求得x的值,第13页(共16页)由此求得三次函数 f (x) =ax3+bx2+cx+d (aw0)的对称中心; 利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断；由函

25、数g (x)的对称中心是(，-，)，得 g (x) + (g (1 -x) =- 1,由此能求出答案.【解答】f (x)任意三次函数都关于点(-x3a任何三次函数都有对称中心，且f(-4)对称，即正确;3a拐点”就是对称中心，解：f (x) =ax3+bx2+cx+d (aw 0),一 2 一=3ax +2bx+c, f (x) =6ax+2b,=6a x (-匕)+2b=0, 3a存在三次函数f(x)=0有实数解x,点(xo,f(x。)为y=f(x)的对称中心，即正确；任何三次函数都有且只有一个对称中心，故 不正确；, ,gz (x) =x2- x, g (x) =2x - 1 ,令 g (

26、x) =0,可得 x=l . . g (争=-i1.1,g(x) =x3 - ix232对称中心为(-i-, - -j-),g(x) +g (1 -x) =- 1 ,g(g) +g+g () +-+g=- = - 1 x1008=- 1008,故 正确.2017201720172017故答案为：三、解答题若 若 【考点】 【分析】17.已知 fn (x) = (1+x) nf2016 (x) =a0+a1x+a2x2+a2015x2015+a2016x2016,求 a1+a2+.,+a2015+a2016 的值;g (x) =f6 (x) +2f7 (x) +3f8 (x),求 g (x)中含

27、 x6项的系数.二项式系数的性质.(1)分别令x=1和x=0,即可求出，(2)根据二项式的通项公式即可求出.【解答】 解：(1) f2016 (x) = ( 1+x) 2016=a0+a1x+a2x2+ ,+a2016x2016令 x=1 , 22016=a0+a1+a2+.+a2016；令 x=0 ,则 a0=1, a1+a2+.-+a2015+a2016=22016 - 1 .(2) g (x) =f6 (x) +2f7 (x) +3f8 (x) = (1+x) 6+2 (1+x) 7+3 (1+x) 8, 1- x6 项的系数为：c66+2c76+3c86=1 +14+84=99 .18

28、.设函数 f (x) =-x3- x2+2x+a32(1)当a=-士时，求函数y=f (x)图象上在点(3, f (3)处的切线方程；2(2)若方程f (x) =0有三个不等实根，求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求得f (x)的导数，运用导数的几何意义，可得切线的斜率，求得切点坐标，运用点斜式方程可得切线的方程；(2)求得f (x)的导数，可得单调区间和极值，由题意可得f (x)的极大值大于 0,极小值小于0,解不等式即可得到所求 a的范围.【解答】 解：(1)当a=卫时，f (x)=工*3 上x?+2x 色，2322导数 f

29、 (x) =x2-3x+2,可得在点(3, f (3)处的切线斜率为 k=9-9+2=2,切点为(3, 0),可得函数y=f (x)图象上在点(3, f (3)处的切线方程为 y=2 (x-3), 即为 2x - y - 6=0 ；(2)函数 f (x) =lx3 2x2+2x+a 的导数为 f(x) =x2- 3x+2,32当 1vxv2 时，f (x) v 0, f (x)递减；当 x2 或 xv 1 时，f (x) 0, f (x)递增.可得f (x)在x=1处取得极大值，且为 g+a；62f (x)在x=2处取得极小值，且为7；+a.由方程f (x) =0有三个不等实根，59可得+a0

30、,且+a0, 6359解得一万v a0)上的一点m (2, y0)到焦点f的距离等于3.(1)求抛物线c的方程；(2)若过点d (3, 0)的直线l与抛物线c相交于a, b两点，求 abf面积的最小值.【考点】抛物线的简单性质.【分析】(1)根据抛物线的定义得出m到准线的距离为3,列方程解出p；(2)设ab方程为x=my+3,与抛物线方程联立方程组得出a, b两点纵坐标的关系，得出 abf的面积关于 m的函数，求出最小值即可.【解答】解：(1)抛物线的准线方程为 x=-,.m (2, y)到焦点的距离为 2+史=,2. p=2 .，抛物线方程为y2=4x.(2)设ab的方程为x=my+3.联立

31、方程组* v 算，得y2 - 4my - 12=0 .x=ny+3设 a (xi, yi), b (x2, y2),则 y1+y2=4m, yiy2=- 12.| yi - y2| =4 (巧 + 产2)2 l 4tly 广 ji6m2+4、saabf=|fd i | 巧 i+y|fd | | |=|yi|+| y2l=lyi- y2| = j 16nl2+4e m=0时，$ abf取得最小值 4后.20. 20i6年4月i5日晚中国诗词大会第一季在中央电视台圆满落幕，冠军由来自华东政法大学的殷怡航获得， 为了丰富学生的业余生活， 某学校以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背

32、诵正确加i0分，背诵错误减i0分，只有 正确和 错误”两种结果，其中某班级背诵某首诗的正确率为名，背诵错误率为现记 该班完成n首背诵33后总得分”为sn（i）求s6=20的概率；（2）记=|s5 ,求e的分布列及数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.【分析】（i） s6=20表示正确4首，错误2首，由此利用n次独立重复试验中事件 a恰好发生k次的概率计算公式能求出 琵=20的概率.（2） f|s5|, e的可能取值为i0, 30, 50,分别求出相应的概率，由此能求出e的分布列和ee.【解答】解：（i）=20表示正确4首，错误2首， -s6=20的概率 p=c

33、：/）=（y） 2=.(2) f|s5|, e的可能取值为 i0, 30, 50,p5）=研给吗/+建际产专）3=翳p-120 e=10x-30x50 x33 185024331p（斤5。）=（/ 5+ 0）5=品,一. e的分布列为:i03050p1202439。2433324321.已知椭圆c经过点（-1,2返）和（2,正）,求33（1）椭圆c的标准方程；（2）过椭圆c的上顶点b作两条互相垂直的直线分别与椭圆c相交于点p、q,试问直线pq是否经过定点，若经过定点请求出定点并说明理由.【考点】椭圆的简单性质.【分析】（1）将两点坐标代入椭圆的标准方程解方程组得出a, b;（2）设两条直线方程分别为 y=kx+1, y=-lx+1,分别与椭圆方程联立解出p, q坐标得出直线pq的方程，即可得出定点坐标.22【解答】解：（1）设椭圆方程为（a0，b0且aw b）.a2 b2解得a2=9,b2=1,第15页（共16页）椭圆方程为：-+y2=l.9 v 1（2）椭圆的