人教A版高中数学必修2《一章空间几何体复习参考题》教案_5

1、多面体与球的切、接问题目标：理解空间几何体与球接、切问题，掌握这类问题的解题方法重点：空间几何体与球外接问题难点：求多面体外接球的半径一、真题再现1. 2016全国卷n 4体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()32a. 12兀 b. kc. 8兀 d. 4兀解析因为正方体的体积为 8,所以正方体的体对角线长为2= j3 3 2213a【规律方法】解决多面体的外接球问题，关键是确定球心位置，方法是先选择多面体中的一 面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根 据其他顶点确定球心的准确位置.【变式训练】正三角形abc的边长为2 日 将它沿高

2、ad翻折，使点b与点c间的距离为 g 此 时四面体abcd的外接球的体积为.解析外接球球心 o 一定在与底面垂直且过底面正三角形中心的直线与也在平面3 2.ado中ad的垂直平分线上，如图(oelad).易得oe = o d = 3xx = 1,23de=1ad = lx2 j3xa= 3,所以外接球的半径 2222所以外接球的体积【例题3】在三棱锥p-abc中，侧棱pa=pb = 2, pc = 46,则当三棱锥 p-abc的三个侧面 的面积之和最大时，三棱锥 p-abc的内切球的表面积是()a. (328 班)兀 b. (32 16g)兀 c. (40 8a)兀 d. (40 16 加)兀

3、 1【解析】二棱锥的侧面pab的面积$ pab= -xpaxpbxsinz apb= 2sinz apb,要使此面积最大，则/ apb =90,同理可知，当 pa, pb, pc两两垂直时，三棱锥 p-abc的三个侧面的 面积之和最大.如图，设内切球的球心为 。，则。到三棱锥的四个面的距离相等，均为球o的半径 r.因为 pa=pb = 2, pc= j6,所以 bc= ac= 丫而，ab = 2,可得 abc, apc ,11 apb, abpc 的面积分别为 4, 6, 2, 6,所以 vp-abc=-x(4+ .6+2 +、6)r=x2x,6, 33解得r=6 2,所以内切球的表面积 s=

4、 471r2=(40 16 6)兀.【规律方法】 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径.【变式】.已知三棱锥 p-abc中，若fa, pb, pc两两垂直，且 pa=2, pb=pc=1,则三 棱车b p-abc的内切球半径为 .解析易知 abc是两腰 长为45、底为、万的等腰三角 形，其 面积为-2x2x ln2： =3,三棱锥p-abc其余三个面的面积分别为 ：，1, 1,故三锥p-abc的表面积为4.设三棱锥p-abc的内切球半径为r,则三棱锥p-abc的体积为1x4 r,又三3棱车p p-

5、abc的体积为1x1x 1 x 2x 1 = 1,所以1x 4 - r = 1,所以r = 1.3 23334三、小结1 .有关几何体的外接球、内切球的计算问题的常见思路与球有关的组合体问题：一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关“元素”间的数量关系，并作出合适的截面图.(1)正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体. 它们的相应轴截面如图所示 (正方体的棱长为a,球的半径为r).(2)当球外接于长方体时，长方体的顶点均在球面上，长方体的体又角线长l等于球的直径长(2r),此时要用到公式l2=a2+

6、b2+c2=4r2(a, b, c为长方体的长、宽、高).(3)正四面体是棱长都相等的三棱锥，其外接球的半径为，内切球的半径为(a为正四面体的棱长).2 .球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题；球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点” “接点”)作出截面图解题.此类问题在计算时，经常用到截面圆的有关性质：如图所示，设球 。的半径为r,截面圆o的半彳仝为r, m为截面圆上任一点，球心。到截面圆o的距离为d,则在rtoom中，om2=oo 2+om2,即r2= d2+ r2.四、巩固练习1 .直三棱柱abcaibici的6个顶点都在球。的球面上，若ab=3,ac = 4,ab，

7、ac,aai=12,求球。的表面积.解 将直三棱柱补形为长方体 abec a1b1e1c1,则球。是长方体abec a1b1e1c1的外接球.体对角线bc1的长为球 o的直径.因此2r =)32+42+ 122 = 13.故 s 球=4 kr2 = 169 兀.2 .正四棱锥的顶点都在球 o的球面上”，若该棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的体积.解 如图，设球心为 o,半径为r,则在rtmof中，（4r）2+（2= r2,解得r=9, 则球 o 的体积 v 球=3 3= 3 ttx 4j = 246-.3 .如图8-16，边长为2的正方形 abcd中，点e, f分别是ab, bc的中点，将

8、ade , ebf, 4fcd分别沿de, ef, fd折起，使得a, b, c三点重合于点 a如图），若四 面体aefd的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为 . 图 8-16【解析】由题意可知 aef是等腰直角三角形，且ad,平面 aef.将三棱锥d-aef的底面三角形 aef扩展为边长为1的正方形，然后将三棱锥 d-aef扩展为正四棱 柱，则三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的体对角线的长就是外接球的直径，即为,12+12+22 =工6, 球的半径为 ：64 .已知三棱锥 p-abc中，pa=6, ab=ac=23 ,bc=6, pa- 平面abc则此三棱锥的外接球

9、的半径为后c bc有 2r =， r =2.3设aabc外接圆半径为r,由正弦定理sin a sin120设球心到平面abc的距离为d,22222则 r = d r = (6 - d) r解得 d=3, r2 = d2 r2 = 9 12 = 21， r = 215 .若三棱锥s-abc的底面是以ab为斜边的等腰直角三角形，ab=sa=sb= sc= 2,则该三棱锥的外接球的表面积为（）a. 3兀b. 433 兀 c. 3 兀16d. tt3解析如图，sa= sb= sc,可知点s在底面上的射影为 abc的外心，由于底面是直角三角形，故其外心为斜边的中点o易知三棱锥外接球的球心在so上，设该三

10、棱锥外接球的球心为 o,半径为r,则oo =、豆一r,在 ooa 中,r2=(3-r)2+12,即 r=急所以外接球的表面积为4兀r2 =16兀6 .已知三棱锥 a-bcd中，ab=ac=bc=2, bd = cd =血，点e是bc的中点，点 a在平面bcd上的射影恰好为 de的中点，则该三棱锥外接球的表面积为s= 4兀 r2=60 兀.7 .已知三棱锥p-abc的四个顶点均在同一个球面上，底面三角形abc满足ba=bc=/6, /abc = j若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为（）a. 8兀b. 16兀c. ?兀d.竽兀 33 1_【解析】因为 abc是等腰直角三角形，所以其外接圆的半径r=1x,12 = #.设三棱锥外接球的半径是 r,球心o到底面abc的距离为d,如图,则 $ abc=； r 6x,6=3, bd = j3,由题设知 v =；字 abc h = 1x3h=h, 23332兀所以最大体积3对应的高为pd = hmax= 3,故r2=d2+3,即r2=(3r)2+3,解得r= 2,所以外接球的体积是 4欣3=3内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于d.底面abcd是正方形且球心 o在此平面8.已知四棱锥s-abcd的所有顶点在同一球面上,16+16 则球。的体积等于(【解析】