2.1.常系数非齐次线性微分方程ppt课件

1、 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 1 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 小结小结 思考题思考题 作业作业 xxPxf l x cos)(e)( 型型)(e)(xPxf m x 型型sin)(xxP n 非齐次非齐次 第第5 5章章 微分方程微分方程 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 2 方程方程 对应齐次方程对应齐次方程0 qyypy 通解结构通解结构 ),(xP m ,e )( x m xP ,cos)(exxP l x .sin)(exxP n x Yy )(xf 难点难点 方法方法 二阶二阶 常系数常系数非齐次非齐

2、次线性线性 的类型的类型)(xf y yY 次多项式次多项式是是mxP m )( qyypy 如何求非齐次方程特解如何求非齐次方程特解? 待定系数法待定系数法. ,e x ,sin)(cos)(exxPxxP nl x 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 3 )(xQy 求导代入原方程求导代入原方程 )()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m 不是特征方程的根不是特征方程的根若若 )1( 可可设设 是特征方程的单根是特征方程的单根若若 )2( )(xQ可可设设 x m xxQy e )( x m xQy e )( x e)(xQ m )(xQ )(xQmx

3、 )(xQ x m xPqyypy e)( m 0 )()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m 0 0 型型一一、)(e)(xPxf m x 设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为 特征方程特征方程 0 2 qprr 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 4 是特征方程的重根是特征方程的重根若若 )3( )(xQ可可设设 综上讨论设非齐次方程特解为综上讨论设非齐次方程特解为 , )(exQxy m xk k x m xQxy e )( 2 注注 )(xQm 2 x )()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m , 1 , 0 , 2 0 0 上述

4、结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性 微分方程微分方程(k是重根次数是重根次数). 不是特征方程根不是特征方程根 是特征方程的单根是特征方程的单根 是特征方程的二重根是特征方程的二重根 x m xPqyypy e)( 特征方程特征方程0 2 qprr 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 5 .e23 2 的通解的通解求方程求方程 x xyyy 解解 对应齐次方程通解对应齐次方程通解 特征方程特征方程 023 2 rr 特征根特征根2, 1 21 rr xx CCY 2 21 ee ,2 是是单单根根 y设设 例例 (1) 求对应齐次方程的通解

5、求对应齐次方程的通解 (2) 求非齐次方程的特解求非齐次方程的特解 此题此题.e )(e)( 2 型型属于属于 x m x xPxxf 其中其中, 1 m2 )(BAx 1 x x2 e ? 所以所以 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 6 代入方程代入方程, 得得 xABAx 22 , 1 2 1 B A ,e )1 2 1 ( 2x xxy 于是于是 原方程通解为原方程通解为 xx CC 2 21 ee .e23 2 的的通通解解求求方方程程 x xyyy x BAxxy 2 e )( yyy,将将 yYy.e )1 2 1 ( 2x xx 对应齐次方程通解对应齐次方

6、程通解 xx CCY 2 21 ee 所以所以 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 7 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解为的通解为 考研数学一考研数学一, 4分分 .e2ee 2 2 3 1 xxx CCY x Ay 2 e 设设 x Ay 2 e2 x Ay 2 e4 对应齐次方程通解对应齐次方程通解 特征方程特征方程034 2 rr 特征根特征根1, 3 21 rr xx CCYee 2 3 1 (1) 求对应齐次方程的通解求对应齐次方程的通解 )2(不不是是特特征征根根 (2) 求非齐次方程的特解求非齐次方程的特解 解解 代入方程代入

7、方程, 得得 x y 2 e2 原方程通解为原方程通解为.e2ee 2 2 3 1 xxx CC yYy x yyy 2 e234 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 8 baA x e.baxB x e. bxaC x e.bxaxD x e. 提示提示 根椐线性微分方程的性质根椐线性微分方程的性质, 可先求方程可先求方程 x yye 和和1 yy 的特解的特解, 两个解的和就是原方程的特解两个解的和就是原方程的特解. B x xaye 1 by 2 特解特解. . 考研数学一考研数学一, 3分分 的的一一个个是是微微分分方方程程1e)( x yy 5.8 常系数非齐次

8、线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 9 在在该该点点处处处处的的切切线线与与曲曲线线其其图图形形在在点点1)1 , 0( 2 xxy 解解 对应齐次方程通解对应齐次方程通解 特征方程特征方程, 023 2 rr 特征根特征根, 2, 1 21 rr xx CCY 2 21 ee (1) 求对应齐次方程的通解求对应齐次方程的通解 此题此题.e )(e2)(型型属属于于 x m x xPxf )1, 0( m 例例 考研数学考研数学(一一, 二二, 三三) 8分分 二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程 ,e223)( x yyyxyy 满满足足微微分分方方程程设设函函数数 的切线重合

9、的切线重合,求函数求函数y的解析表达式的解析表达式. 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 10 )1(是是单单根根 y设设 (2) 求非齐次方程的特解求非齐次方程的特解 A x ex 1 解得解得2 A 所以所以 x xye2 xx CCy 2 21 ee (3) 求原方程的特解求原方程的特解 得得由由, 1 2 xxy , 1)0( y 且且 21 1CC 即即 1 1 r 1 特征根特征根 原方程通解为原方程通解为 (求函数求函数y的解析表达式的解析表达式) 在在处处的的切切线线与与曲曲线线其其图图形形在在点点1)1 , 0( 2 xxy ,该该点点处处的的切切线线重

10、重合合.的的解解析析表表达达式式求求函函数数y x xe2 将点将点(0,1)的坐标代入通解的坐标代入通解, 得得 ,e223)( x yyyxyy 满满足足微微分分方方程程设设函函数数 , 12 xy 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 11 xxxx xCCye2e2e2e 2 21 由题意由题意, 得得 )0(y 即即12 21 CC 联立联立 12 1 21 21 CC CC 0 1 2 1 C C 将之代入通解得将之代入通解得 xx xye2e 21 1CC 1)0( y 22 21 CC1 所以所以, 函数函数y的解析表达式为的解析表达式为 得得求求导导将将通

11、通解解,e2ee 2 21 xxx xCCy .e )21( x xy 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 12 若二阶常系数线性齐次微分方程若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为的通解为 考研数学一考研数学一, 填空填空, 4分分 2e xx x ,BAxy 所以所以, 故故特征根特征根, 1 21 rr 的解为的解为 设特解为设特解为 解解 所以所以,2 xy 所求所求 . 2e xxy x 则非齐则非齐 次方程次方程 满足条件满足条件 0)0(, 2)0( yy y 特征方程特征方程, 0 2 barr , 1, 2 ba 微分方程为微分方程为 2, 1 BA得得

12、特解特解 ,0)0(, 2)0(代入代入把把 yy, 1, 0 21 CC得得 所以所以, 0 byyay ,e )( 21 x xCCy xbyyay xyyy 2 2e )( 21 xxCCy x 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 13 型型二二、sin)(cos)(e)(xxPxxPxf nl x sincose)(xPxPxf nl x 2 ee e xixi l x P xi nl i PP )( e ) 22 ( xi xP )( e )( ,e )( )(xi xPqyypy 设设 xi m kQ xy )( 1 e 欧拉公式欧拉公式 2 ee i P x

13、ixi n xi nl i PP )( e ) 22 ( xi xP )( e )( 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 不是特征方程的根不是特征方程的根 i 是特征方程的单根是特征方程的单根 i 14 ,e )( )(xi xPqyypy 设设 xi m kQ xy )( 2 e y sin)(cos)(e )2()1( xxRxxRx mm xk 是是其其中中)(),( )2()1( xRxR mm nlm,max k eee xi m xi m xk QQx 欧拉公式欧拉公式 )sin(cosexixQx m xk )sin(cosxixQm 型型sin)(cos)

14、(e)(xxPxxPxf nl x , 0 , 1 所以所以, m次多项式次多项式, 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次阶常系数非齐次 线性微分方程线性微分方程. 注注 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 15 .sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解 .sincos 21 xCxCY 例例 (1) 求对应齐次方程求对应齐次方程 0 yy 01 2 r 特征根特征根ir 其通解其通解 这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程. 且且 .sin)(cos)(e)(型型属属于于xxPxxPxf nl x , 0( 其中其中 特征方程特征方程

15、 , 1 , 0)( xP l )4)( xP n 0 0 14 的通解的通解 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 16 xCxCysincos 21 (2) 求非齐次方程求非齐次方程 xyysin4 i故设故设 代入方程代入方程, 比较系数比较系数. 得得 xxycos2 这里这里i 0 Asin x ? 1 yx .cos2xx , 0 1 特征根特征根ir 非齐次方程特解为非齐次方程特解为 是特征根是特征根. 原方程通解为原方程通解为 B xcos 的特解的特解. 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 17 考研考研(数学一数学一, 二二, 三三

16、)7分分 x ttftxxxf 0 ,d)()(sin)(设设 解解 )(xf xcos x ttfx 0 d)(cos 两端再对两端再对x求导求导,得得 )(xf 积分方程积分方程 微分方程微分方程 x ttftxxxf 0 d)()(sin)( x 积分方程积分方程 xcos x tttf 0 d)( x ( )(xxf x ttf 0 d)( )(xxf ) x ttfx 0 d)( 即即xxfxfsin)()( 即即xyysin 这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程. )(sinxfx 其中其中 f 为连续函数为连续函数, 求求f (x). 5.8 常系数非齐次线性

17、微分方程常系数非齐次线性微分方程 18 即即xxfxfsin)()( 即即xyysin .)(为为未未知知函函数数其其中中xfy 初始条件初始条件 , 0)0( f 得得又又由由,d)(cos)( 0 x ttfxxf 初始条件初始条件 , 1)0( f .sin)(cos)(e型型自由项属于自由项属于xxPxxP nl x , 0( 其中其中, 1 , 0)( xP l )1)( xP n 0 0 1 11 0 00 ; 0)0( y即即 00 0 . 1)0( y 即即 x ttftxxxf 0 ,d)()(sin)(设设,为为连连续续函函数数其其中中f ).(xf求求 得得由由 x tt

18、ftxxxf 0 ,d)()(sin)( 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 19 .sincos 21 xCxCY 其通解其通解 (1)对应齐次方程对应齐次方程 0 yy01 2 r 特征方程特征方程 特征根特征根 ir xyysin ii 0 (2)设原方程的特解为设原方程的特解为 xAcossin xB yx 0, 2 1 BA 解得解得 xxycos 2 1 那那 么么 方程的通解为方程的通解为xCxCysincos 21 xxcos 2 1 由初始条件由初始条件,得得 2 1 , 0 21 CC 所以所以, , 0( , 1 , 0)( xP l )1)( xP

19、 n 初始条件初始条件, 0)0( y. 1)0( y 是特征根是特征根. .cos 2 sin 2 1 )(x x xxfy 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 20 xxyysin1 2 考研数学二考研数学二, 4分分 微分方程微分方程的特解形式可设为的特解形式可设为 ).cossin()A( 2 xBxAxcbxaxy ).cossin()B( 2 xBxAbxaxxy .sin)C( 2 xAcbxaxy .cos)D( 2 xAcbxaxy 01 2 r 特征根特征根ir 特征方程特征方程解解 1 y 2 y , 2 cbxax ).cossin(xBxAx 5

20、.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 21 例例 求物体的运动规律求物体的运动规律. 解解 )(sin d d 2 2 2 tphxk t x 齐次方程齐次方程 tkCtkCXcossin 21 ).(sin tkA 在第在第5.6节节“二阶线性微分方程举例的二阶线性微分方程举例的 ,sin的的作作用用ptHF x o x 若设物体只受弹性恢复力若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力和铅直干扰力例子中例子中, 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 ,)1(时时当当kp 令令,sin 1 AC ,cos 2 AC 的通解为的通解为 0 d d 2

21、2 2 xk t x 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 22 tpbtpaxcossin 非齐次特解形式为非齐次特解形式为 0, 22 b pk h a 因此原方程因此原方程()的通解为的通解为 代入代入()可得可得 )(sin d d 2 2 2 tphxk t x 于是于是 tp pk h xsin 22 )(sin tkAtp pk h sin 22 自由振动自由振动强迫振动强迫振动 xXx )(sin tkAX x o x 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 23 当干扰力的角频率当干扰力的角频率 p 固有频率固有频率 k 时时, )(si

22、n tkAxtp pk h sin 22 自由振动自由振动强迫振动强迫振动 . 22 可以很大可以很大振幅振幅 pk h )cossin(tkbtkatx 非齐次方程特解形式非齐次方程特解形式 代入代入()可得可得 , 2 , 0 k h ba 方程方程()的解为的解为 ,)2(时时当当kp )(sin tkA.cos 2 tkt k h xXx )(sin tkAX tk k h xcos 2 则则 )(sin d d 2 2 2 tphxk t x 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 24 与与k 尽量靠近尽量靠近, )(sin tkAxtkt k h cos 2 随

23、着随着 t 的增大的增大, 强迫振动的振幅强迫振动的振幅 t k h 2 这就发生所谓共振现象这就发生所谓共振现象. 可无可无 若要避免共振现象若要避免共振现象, 应使干扰力的角频率应使干扰力的角频率p 自由振动自由振动强迫振动强迫振动 x o x 对机械来说对机械来说, 共振可能共振可能 如桥梁被破坏如桥梁被破坏, 电机机座被破坏等电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用共振可能起有利作用, 机的调频放大即是利用共振原理机的调频放大即是利用共振原理. .kp 远离固有频率远离固有频率 k; 反之反之, 若要利用共振现象若要利用共振现象, 应使应使 p 或使或

24、使 引起破坏作用引起破坏作用, 如收音如收音 限增大限增大, 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 25 三、小结三、小结 )(e)()1(xPxf m x )(exQxy m xk sin)(cos)(e)()2(xxPxxPxf nl x sin)(cos)(e )2()1( xxRxxRxy mm xk 待定系数法待定系数法 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 26 思考题思考题 考研考研(数学一数学一, 二二) 5分分 ,e44的的通通解解求求微微分分方方程程 ax yyy 解解 对应齐次方程通解对应齐次方程通解 特征方程特征方程 044 2 rr 特征根特征根 2 r (1) 求对应齐次方