2.1.常数项级数ppt课件

1、无穷级数无穷级数 无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具 表示函数表示函数 研究性质研究性质 数值计算数值计算 数项级数数项级数 幂级数幂级数 Fourier级数级数 第四章第四章 无穷级数无穷级数 常数项级数 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 第一节 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 常数项级数的概念、性质与收敛原理常数项级数的概念、性质与收敛原理 四、四、CauchyCauchy收敛原理收敛原理 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆

2、面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 分析：分析： 依次作圆内接正依次作圆内接正),2, 1,0(23n n 边形边形, , 这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 A . 0 a 1 a 2 a n a 设设 a0 表表 示示 ,时n 即即 n aaaaA 210 内接正三角形面积内接正三角形面积, ak 表示边数表示边数 增加时增加的面积增加时增加的面积, 则圆内接正则圆内接正 边形面积为 n 23 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 引例引例2. 小球从小球从 1 米高处自由落下米高处自由落下, 每次跳起的高度减每次跳起的高度减 少一半少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动问小球是否

3、会在某时刻停止运动? 说明道理说明道理. 分析：由自由落体运动方程分析：由自由落体运动方程 2 g 2 1 ts 知知 g 2s t 则小球运动的时间为则小球运动的时间为 1 tT 2 2t 3 2t g 2 1 2 1 2 2 )2( 1 21 2 g 1263. 2 ( s ) 设设 tk 表示第表示第 k 次小球落地的时间次小球落地的时间, 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 引例引例3.3.（康托尔尘集）（康托尔尘集） 把把0,10,1区间三等分区间三等分, , 舍弃中舍弃中 间的开区间间的开区间),( 3 2 3 1 , 3 1 将剩下的两个子区间分别三等分将剩下的两个子区间分别三

4、等分, ,并舍弃并舍弃 在中间的开区间在中间的开区间, ,如此反复进行这种如此反复进行这种“弃中弃中操作操作, ,问丢弃 问丢弃 部分的总长和剩下部分的总长各是多少？部分的总长和剩下部分的总长各是多少？ 丢弃的各开区间长依次为丢弃的各开区间长依次为, 2 3 2 , 3 2 3 2 , 4 3 3 2 , 3 2 1 n n 故丢弃部分总长故丢弃部分总长 n n l 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 4 3 3 2 2丢 1 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 1 )()()(1 n 1 3 2 1 1 3 1 剩余部分总长剩余部分总长01 丢剩 ll 剩余部分总长虽然为0,

5、 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”, 它们象尘埃一样散落在0,1区间上, 人们称其为康托尔尘集. 0 01 1 3 1 3 2 9 1 9 2 9 7 9 8 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 给定一个数列给定一个数列, 321n uuuu将各项依将各项依 , 1 n n u即即 1n n u n uuuu 321 称上式为常数项无穷级数，称上式为常数项无穷级数， 其中第其中第 n 项项n u叫做级数的叫做级数的 一般项或通项一般项或通项,级数的前级数的前 n 项和项和 n k kn uS 1 称为级数的部分和称为级数的部分和. n uuuu 321 次相加次相加, 简记为简记为 ,l

6、im存在若SSn n 收敛收敛 , 则称无穷级数则称无穷级数 并称并称 S 为级数的和为级数的和, 记作记作 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 1n n uS 当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值 21nnnn uuSSr 为级数的余项为级数的余项. ,lim不存在若 n n S 则称无穷级数发散则称无穷级数发散 . 显然显然 0lim n n r 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 例例1. 讨论等比级数讨论等比级数 (又称几何级数又称几何级数) )0( 2 0 aqaqaqaaqa n n n ( q 称为公比称为公比 ) 的敛散性的敛散性. 解解: 1) 假假 设设 1,q 1

7、2 n n qaqaqaaS q qaa n 1 1q 当时，lim0, n n q 由于从而从而 q a n n S 1 lim 因此级数收敛因此级数收敛 , ; 1 q a 1,q 当时 lim, n n q 由于从而从而,lim n n S 则部分和则部分和 因此级数发散因此级数发散 . 其和为其和为 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 2). 假假 设设 1,q 1,q 当时 anSn因此级数发散因此级数发散 ; 1,q 当时 aaaaa n 1 ) 1( 因而因而 n S n 为奇数为奇数 n 为偶数为偶数 从而从而 n n S lim 综合综合 1)、2)可知可知,1q时时, 等

8、比级数收敛等比级数收敛 ; 1q时时, 等比级数发散等比级数发散 . 那那 么么 , 级数成为级数成为 ,a ,0 不存在不存在 , 因此级数发散因此级数发散. 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 例例2. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: . ) 1( 1 )2( ; 1 ln) 1 ( 11 nn nnn n 解解: (1) 1 2 ln n S nnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln ) 1ln( n）n( 所以级数所以级数 (1) 发散发散 ; 技巧技巧: 利用利用 “拆项相消拆项相消” 求和求和 2 3 ln 3 4 ln n n1 ln 4.1 4.1

9、常数项级数常数项级数 (2) ) 1( 1 43 1 32 1 21 1 nn Sn 2 1 1 1 1 1 n ）n(1 所以级数所以级数 (2) 收敛收敛, 其和为其和为 1 . 3 1 2 1 4 1 3 1 1 11 nn 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 技巧技巧: 利用利用 “拆项相消拆项相消” 求和求和 例例3. 判别级数判别级数 2 2 1 ln 1 n n 的敛散性的敛散性 . 解解: 2 1 ln 1 n 2 2 1 ln n n nnnln2) 1ln() 1ln( 2 2 1 ln 1 n n k S k ln3ln12ln2ln4ln22ln3 ln(1)ln(1

10、)2ln nnn ln5 ln32ln4 ln2 ln(1)lnnn2ln)1ln( 1 n limln2, n n S 故原级数收敛故原级数收敛 , 其和为其和为 ln2. 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 1n n u 收敛于收敛于 S , 1 n n uS则各项则各项 乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数 1n n uc也收敛也收敛 , 证证: 令令, 1 n k kn uS那么那么 n k kn uc 1 , n Sc n n limSc 这说明这说明 1n n uc 收敛收敛 , 其和为其和为 c S . n n Sc lim 即即

11、 其和为其和为 c S . 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 , 1 n n uS 1n n v 则级数则级数)( 1 n n n vu 也收敛也收敛, 其和为其和为.S 证证: 令令, 1 n k kn uS, 1 n k kn v那那 么么 )( 1 k n k kn vu nn S)(nS 这说明级数这说明级数)( 1 n n n vu 也收敛也收敛, 其和为其和为.S 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 (2) 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 那那 么么 )( 1 n n n vu 必发散必发散 . 但若二级数都发散但若二级数都发散 ,)( 1 n n

12、n vu 不一定发散不一定发散. 例如例如, ,) 1( 2n n u取,) 1( 12 n n v 0 nn vu而 (1) 性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 . (用反证法可证用反证法可证) 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 nn uv 11 nn nn uv 在级数前面加上或去掉有限项在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数不会影响级数 的敛散性的敛散性. 证证: 将级数将级数 1n n u的前的前 k 项去掉项去掉, 1n nk u 的部分和为的部分和为 n l lkn u 1 knk SS nkn S 与,时由于n 数敛散性相同数敛散性相同. 当

13、级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为. k SS 类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况 . 极限状况相同极限状况相同, 故新旧两级故新旧两级 所得新级数所得新级数 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和的和. 证证: 设收敛级数设收敛级数, 1 n n uS若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧, )()( 54321 uuuuu 则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 ), 2 , 1(m m 为原级数部分和为原级数部分和 序列序列 ),2,1(nSn的一个子序列的一个子序

14、列, n n m m S limlimS 注意注意: 若级数加括弧后收敛，原级数不一定收敛若级数加括弧后收敛，原级数不一定收敛. ,0) 11 () 11 (但但1111发散发散. 因此必有因此必有 例如，例如， 用反证法可证用反证法可证 例如例如 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 级数收敛级数收敛 加括号后级数收敛加括号后级数收敛 级数发散级数发散 加括号后级数发散加括号后级数发散 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 设收敛级数设收敛级数 , 1 n n uS 则必有则必有.0lim n n u 证证: 1 nnn SSu 1 limlim

15、lim n n n n n n SSu0SS 可见可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 . 例如例如, 1 ) 1( 5 4 4 3 3 2 2 1 1 n n n 其一般项为其一般项为 1 ) 1( 1 n n u n n 不趋于不趋于0,因此这个级数发散因此这个级数发散. n un,时当 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 注意注意:0lim n n u并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件. 例如例如, 级数级数 nn n 1 3 1 2 1 1 1 1 虽然虽然，0 1 limlim n u n n n 但此级数发散但此级数发散 .

16、证明：反证法：证明：反证法： 假设级数收敛于假设级数收敛于 S , 那那 么么 0)(lim 2 nn n SS n n 2 nnnn2 1 3 1 2 1 1 1 但但 nn SS2 矛盾矛盾! ! 所以假设不真所以假设不真 . 2 1 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 （调和级数（调和级数 例例1.41.4） 考虑考虑. 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和: ; ! ) 1 ( 1 n n n n ne ; 23 1 )2( 1 23 n nnn . 2 12 )3( 1 n n n 解解: (1) 令令, ! n n n n ne u 那那 么么 n

17、 n u u 1 n n e )1 ( 1 ),2, 1(1n 故故euuu nn 11 从而从而 ,0lim n n u 这说明级数这说明级数(1) 发散发散. 1 11 )1 ()1 ( n n n n e 1 1 ) 1( ! ) 1( n n n ne n n n ne! 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 1 23 23 1 )2( n nnn 因因 nnn23 1 23 )2)(1( )2( 2 1 nnn nn )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 nnnn ),2, 1(n n k n kkk S 1 23 23 1 n k kkkk 1 )2)(1( 1 ) 1( 1 2

18、 1 进行拆项相消进行拆项相消 , 4 1 lim n n S这说明原级数收敛这说明原级数收敛 ,. 4 1 )2)(1( 1 nnn 其和为其和为 )2)(1( 1 21 1 2 1 nn (2) 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 1 2 12 )3( n n n 32 2 5 2 3 2 1 n S n n 2 12 nn SS 2 1 1432 2 12 2 5 2 3 2 1 n n 2 1 2 1 2 2 1 13 2 1 2 1 n 1 2 12 n n 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 n 1 2 12 n n 1 2 1 1 2 1 n1 2 12 n n , 2

19、 12 2 1 3 2nn n n S n n 2 12 2 5 2 3 2 1 32 这说明原级数收敛这说明原级数收敛, 其和为其和为 3 . , 3lim n n S故 (3) 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 四、四、Cauchy收敛原理收敛原理 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 1 n n a lim, n n S 存在 收敛收敛 ,0, mn m nNSNS 有 mnp ,0,0 npn nN pSSN 有 1 ,00, np k k n nNN pa 有 内容小结内容小结 1. 数项级数收敛的定义数项级数收敛的定义 2. 数项级数收敛的性质数项级数收敛的性质 必要条件必要条

20、件0lim n n u 不满足不满足 发发 散散 满足满足 判定敛散性判定敛散性 3. 数项级数收敛的必要条件数项级数收敛的必要条件 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 4. 数项级数收敛的充要条件数项级数收敛的充要条件Cauchy收敛原理收敛原理 二、正项级数收敛的判别方法二、正项级数收敛的判别方法 一、正项级数定义及收敛条件一、正项级数定义及收敛条件 常数项级数第一节 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 正项级数的审敛准则正项级数的审敛准则 一、正项级数定义及收敛条件一、正项级数定义及收敛条件 定义定义 1：假：假 设设 ,0 n u 1n n u 定理定理 1. 正项级数正项级数 1

21、n n u收敛收敛部分和序列部分和序列 n S ),2, 1(n有界有界 . 假设假设 1n n u收敛收敛 , ,收敛则 n S ,0 n u部分和数列部分和数列 n S n S 有界有界, 故故 n S 1n n u从而从而 又已知又已知 故有界故有界. 则称则称为正项级数为正项级数 . 单调递增单调递增, 收敛收敛 , 也收敛也收敛. 证证: “ ” “ ” 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 定理定理2设设 1 , n n u 1n n v 且存在且存在 , ZN 对一切对一切 ,Nn 有有 (1) 若强级数若强级数 1n n v则弱级数则弱级数 1 n n u (2) 若弱级数若弱

22、级数 1 n n u 则强级数则强级数 1n n v 则有则有 收敛收敛 ,也收敛也收敛 ; 发散发散 ,也发散也发散 . nn uv 是两个正项级数是两个正项级数, 二、正项级数收敛的判别方法二、正项级数收敛的判别方法 比较判别法比较判别法 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 例例1. 讨论讨论 p 级数级数 ppp n 1 3 1 2 1 1(常数常数 p 0) 的敛散性的敛散性. 解解: 1) 假假 设设 , 1p因为对一切因为对一切, Zn 而调和级数而调和级数 1 1 n n 由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数 1 1 n p n n 1 发散发散 . 发散发散 , p

23、 n 1 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 , 1p因为当因为当nxn1, 11 pp xn 故故 n n pp x nn 1 d 11 n n p x x 1 d 1 11 1 ) 1( 1 1 1 pp nn p 考虑强级数考虑强级数 11 2 1 ) 1( 1 pp n nn 的部分和的部分和 n 11 1 ) 1( 11 pp n k kk n 故强级数收敛故强级数收敛 , 由比较审敛法知由比较审敛法知 p 级数收敛级数收敛 . 时时, 1 ) 1( 1 1 p n 11111 ) 1( 11 3 1 2 1 2 1 1 ppppp nn 1 2) 假假 设设 4.1 4.1 常数

24、项级数常数项级数 调和级数与调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数级数是两个常用的比较级数. 若存在若存在 , ZN 对一切对一切,Nn , 1 ) 1( n un , ) 1( 1 )2(p n u p n . 1 收敛则 n n u ; 1 发散则 n n u 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 证明级数证明级数 1 ) 1( 1 n nn 发散发散 . 证证: 因为因为 2 ) 1( 1 ) 1( 1 n nn ),2, 1( 1 1 n n 而级数而级数 1 1 1 n n 2 1 k k 发散发散 根据比较审敛法可知根据比较审敛法可知, 所给级数发散所给级数发散 . 例例2.2.

25、 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 定理定理3. (比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式) 1 , n n u 1n n v ,liml v u n n n 则有则有 两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当当 l = 0 , 1 收敛时且 n n v 1 ; n n u 也收敛 (3) 当当 l = , 1 发散时且 n n v 1 . n n u 也发散 证证: 据极限定义据极限定义, 0对, ZN存在 l n n v u )(l 设两正项级数设两正项级数 满足满足 (1) 当当 0 l 时时, ,时当Nn 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 nnn vluv

26、l)()( , l取由定理由定理 2 可知可知 1 n n u 与 1n n v 同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散 ; )(Nn ),()(Nnvlu nn 利用 (3) 当当l = 时时, , ZN存在,时当Nn ,1 n n v u 即即 nn vu 由定理由定理2可知可知, 假假 设设 1n n v 发散发散 , 1 ; n n u 则也收敛 (1) 当当0 l 时时, (2) 当当l = 0时时, 由定理由定理2 知知 1n n v收敛收敛 , 假设假设 1 . n n u 则也发散 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 n n n 1 lim 例例3. 判别级数判别级数 1 1

27、sin n n 的敛散性的敛散性 . 解解: n lim sin 1 nn 1 1 根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知 . 1 sin 1 发散 n n n n 1 sin 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 P267 例例1.6 定理定理4 . 4 . 设设 n u为正项级数为正项级数, 且且 ,lim 1 n n nu u 那那 么么 (1) 当当1 (2) 当当1 时时, 级数收敛级数收敛 ; 或或时时, 级数发散级数发散 . 比值判别法比值判别法dAlembert准则）准则） 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 1lim 1 n n nu u 说明说明: : 当当

28、时时, ,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散. . 例如例如, p , p 级数级数: 1 1 n p n n n nu u 1 lim p p n n n 1 ) 1( 1 lim 1 但但 , 1p级数收敛级数收敛 ; , 1p级数发散级数发散 . 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 n n nu u 1 lim由 证证: (1),1时当 1 1 n n u u nn uu)( 1 1 2 )( n u 1 )( N Nn u , 1使取 收敛收敛 ,.收敛 n u , ZN知存在,时当Nn k )( 由比较审敛法可知由比较审敛法可知 ,1时或 , 0, N uZN必存在 ,

29、1 1 n n u u ,0lim Nn n uu因而因而所以级数发散所以级数发散. Nn 当 时时 (2) 当当 nn uu 11 n u N u 从而从而 lim n 例例4. 讨论级数讨论级数 )0( 1 1 xxn n n 的敛散性的敛散性 . 解解: n n nu u 1 lim n xn) 1( 1n xn x 根据定理根据定理4可知可知: ,10时当 x级数收敛级数收敛 ; ,1时当 x 级数发散级数发散 ; . 1 发散级数 n n,1时当 x 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 定理定理5. 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别法判别法)设设 1n n u为正项级为正

30、项级 ,lim n n n u那那 么么 ;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 数数, 且且 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 时时 , 级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 . 1 例如例如 , p 级数级数 : 1 1 p n n p n n n n u 1 )(1n 说明说明 : , 1 p n n u 但但 , 1p级数收敛级数收敛 ; , 1p级数发散级数发散 . 对任意给定的正数对任意给定的正数 ,lim n n n u证明提示证明提示: , ZN存在 n n u 有时当,Nn 即即 n n n u)()( 分别利用上述不等式的左分别利用上述不等式的左,

31、右部分右部分, 可推出结论正确可推出结论正确. , )1( 11 1 1 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 使使 ，则级数，则级数 与无穷积分与无穷积分 的敛的敛 散性相同散性相同 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 定理定理6 . 6 . 设设 n u为正项级数为正项级数,若存在一单减的非负函数若存在一单减的非负函数f () n f nu 1 ()f x dx 积分准则积分准则 n u 例例5. 讨论级数讨论级数 2 1 (0 ) (ln) p n p nn 的敛散性的敛散性 . P270 P270 例例1.101.10 内容小结内容小结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用

32、部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法利用正项级数审敛法 必要条件必要条件0lim n n u 不满足不满足 发发 散散 满足满足 比值审敛法比值审敛法 lim n 1n u n u 根值审敛法根值审敛法 n n n ulim 1 收收 敛敛发发 散散 1 不定不定 比较审敛法比较审敛法 用它法判别用它法判别 积分判别法积分判别法 部分和极限部分和极限 1 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 思考与练习思考与练习 1. 设正项级数设正项级数 1n n u收敛收敛, 能否推出能否推出 1 2 n n u收敛收敛 ? ; ) 1ln( 1

33、 ) 1 ( 1 n n 2. 判别级数的敛散性判别级数的敛散性: . 1 )2( 1 n n nn 思考与练习答案思考与练习答案 1.设正项级数设正项级数 1n n u收敛收敛, 能否推出能否推出 1 2 n n u收敛收敛 ? 提示提示: n n nu u 2 lim n n u lim0 由比较判敛法可知由比较判敛法可知 1 2 n n u收敛收敛 . 注意注意: 反之不成立反之不成立. 例如例如, 1 2 1 n n 收敛收敛 , 1 1 n n 发散发散 . 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 ; ) 1ln( 1 ) 1 ( 1 n n 2. 判别级数的敛散性判别级数的敛散性:

34、. 1 )2( 1 n n nn 解解: (1),) 1ln(nn nn 1 ) 1ln( 1 1 1 n n 发散发散 , 故原级数发散故原级数发散 . 1 1 n p n p:级数 不是不是 p级数级数 (2) n lim n nn 1 lim 1 1 1 n n 发散发散 , 故原级数发散故原级数发散 . n nn 1 n 1 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 三、内容小结三、内容小结 常数项级数第一节 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 变号级数的审敛准则变号级数的审敛准则 一一 、交错级

35、数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数 n n uuuu 1 321 ) 1( 称为交错级数称为交错级数 . 定理定理1 . ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件若交错级数满足条件: 则级数则级数 ; ),2, 1() 1 1 nuu nn ,0lim)2 n n u n n n u 1 1 ) 1(收敛收敛 , 且其和且其和 , 1 uS 其余项满足其余项满足 . 1 nn ur ,2, 1,0nun设 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 证证: )()()( 21243212nnn uuuuuuS )()()( 12225

36、43212 nnn uuuuuuuS 1 u 是单调递增有界数列是单调递增有界数列, n S2 12 limuSS n n 又又)(limlim 12212 nn n n n uSS n n S2lim 故级数收敛于故级数收敛于S, 且且 , 1 uS :的余项 n S 0 n u2 nn SSr)( 21 nn uu 21nnn uur 1 n u 故故 S 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 收敛收敛 收敛收敛 n n 1 ) 1( 4 1 3 1 2 1 1) 1 1 ! 1 ) 1( !4 1 !3 1 !2 1 1)2 1 n n 例例1：用：用Leibnitz 判别法判别下列级数

37、的敛散性判别法判别下列级数的敛散性: n n n 10 ) 1( 10 4 10 3 10 2 10 1 )3 1 432 收敛收敛 考虑：上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛考虑：上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? ; 1 ) 1 1 n n ; ! 1 )2 1 n n . 10 )3 1 n n n 发散发散收敛收敛收敛收敛 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数对任意项级数 , 1 n n u 假假 设设 若原级数收敛若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 则称原级则称原级 1 1 1 ) 1( n n n , ! ) 1( 1 ) 1( 1 1 n n n 1 1 10 ) 1( n n n n 1n n u收敛收敛 , 1n n u 数数 1n n u 为条件收敛为条件收敛 . 均为绝对收敛均为绝对收敛. 例如例如 ： 则称原级则称原级 数数 4.1 4.1 常数项级数常数项级数 定理定理2. 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛 . 证证: 设设 1n n u n v ),2,1(n 根据比较审敛法根据比较审敛法 显然显然 ,0 n v 1n n v收敛收敛, 收敛收敛 1 2 n n v nnn uvu 2 , 1 n n