2.18平面及其方程ppt课件

1、第五节第五节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程二、平面的一般方程 三、两平面的夹角三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 平面及其方程平面及其方程 第七章第七章 z y x o 0 M n 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程 ),( 0000 zyxM设一平面通过已知点设一平面通过已知点且垂直于非零向且垂直于非零向 0)()()( 000 zzCyyBxxA M 称称式为平面式为平面的点法式方程的点法式方程, , 求该平面求该平面的方程的方程. . ,),( zyxM任任取取点点 ),( 000 zzyyxx 法向量法向量. . 量量 , ),(CBAn nMM 0

2、 0 0 nMM MM0 则有则有 故故 的的为为平平面面称称 n 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 . )3 , 2, 1()0 , 3, 2( 的的平平面面的的方方程程 为为法法线线向向量量且且以以求求过过点点 n 所所求求平平面面为为根根据据平平面面的的点点法法式式方方程程 , , 03)3(2)2( 1 zyx . 0832 zyx即即 例例1.1. 解解: 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 kji 例例2. 2. 求过三求过三 点点 , 1 M又又 kji 9 14 0)4()1(9)2(14 zyx 015914 zyx即即 1

3、M 2 M 3 M 解解: 取该平面取该平面 的法向量为的法向量为 ),2,3,1(),4,1,2( 21 MM)3,2,0( 3 M 的平面的平面 的方程的方程. 利用点法式得平面利用点法式得平面 的方程的方程 3 4 6 2 31 n 3121 MMMMn 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ) 1, 3 , 2( ) 6, 4 , 3( 31 21 MM MM 此平面的三点式方程也可写成此平面的三点式方程也可写成 0 132 643 412 zyx 0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 一般情况一般情况 : 过三点过三点

4、 )3,2,1(),( kzyxM kkkk 的平面方程为的平面方程为 说明说明: : 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ( (平面的三点式方程平面的三点式方程) ) 1 M 2 M 3 M M(x,y,z) 特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程此式称为平面的截距式方程. . ), 0 , 0(,)0 , 0(,)0 , 0 ,(cRbQaP 1 c z b y a x 时时, , )0,( cba 0)()( zabcaybcax abcbzaacybcx 平面方程为平面方程为 P o z y x R Q

5、分析分析: :利用三点式利用三点式 按第一行展开得按第一行展开得 即即 0 ax yz a b0 a 0 c 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 二、平面的一般方程二、平面的一般方程 设有三元一次方程设有三元一次方程 以上两式相减以上两式相减 , 得平面的点法式方程得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般此方程称为平面的一般 0 DzCyBxA 任取一组满足上述方程的数任取一组满足上述方程的数 , 000 zyx那那 么么 0)()()( 000 zzCyyBxxA 0 000 DzCyBxA 显然方程显然方程与此点法式方程等价与此点法式方程等价, , )0( 222

6、CBA ),(CBAn 的平面的平面, , 因此方程因此方程的图形是的图形是 法向量为法向量为 方程方程. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 特殊情形特殊情形 当当 D = 0 D = 0 时时, A x + B y + C z , A x + B y + C z = 0 = 0 表示表示 通过原点的平面通过原点的平面; 当当 A = 0 时时, B y + C z + D = 0 的法向量的法向量 平面平行于平面平行于 x 轴轴; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示表示 A x + D =0

7、表示表示 B y + D =0 表示表示 0 DCzByAx)0( 222 CBA 平行于平行于 y 轴的平面轴的平面; 平行于平行于 z 轴的平面轴的平面; 平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面; 平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面； 平行于平行于 zox 面面 的平面的平面. ,), 0(iCBn 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 例例3. 求通过求通过 x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程. 解解: : 平面通过平面通过 x x 轴轴 . 0 DA 故所求平面方程为故所求平面方程为 . 0 zCyB 代入已知点代入已知点),1,

8、3,4( 于是于是.3BC 以此代入平面方程并化简以此代入平面方程并化简, ,得所求平面方程得所求平面方程 . 03 zy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 . 0 DCzByAx为为设设所所求求平平面面的的一一般般方方程程 , 03 CB得得 三、两平面的夹角三、两平面的夹角 设平面设平面1的法向量为的法向量为 平面平面2的法向量为的法向量为 故两平面夹角故两平面夹角 的余弦的余弦 为为 两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角( (常指锐角常指锐角) )称为两平面的夹角称为两平面的夹角. . 1 2 2 n 1 n ),( 1111 CBAn ),( 2222 CBA

9、n . ),(),( ),( 2121 2121 两两者者中中的的锐锐角角 和和是是的的夹夹角角和和则则平平面面 nnnn nn ),cos( cos 21 nn | | 21 21 nn nn 212121 CCBBAA 2 2 2 2 2 2 CBA 2 1 2 1 2 1 CBA 2 特别有下列结论：特别有下列结论： 21 )1( 0 212121 CCBBAA 21 /)2( 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ),(: ),(: 22222 11111 CBAn CBAn 1 1 2 21 21 cos nn nn 21 nn 21 / nn 2 n 1 n 2 n 1

10、n 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .052062 的的夹夹角角和和 求求两两平平面面 zyxzyx | | cos 21 21 nn nn . 3 因此所求的夹角为因此所求的夹角为 222222 1122)1(1 121)1(21 例例4.4. 解解: , 2 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 两平面的法向量分别为两平面的法向量分别为 ).1 ,1 ,2( ),2,1,1( 21 nn 因此有因此有 例例5. 一平面通过两点一平面通过两点 垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程. 解解: : 设所求平面

11、的法向量为设所求平面的法向量为 ,020 CBA 即即 CA2 的法向量的法向量(1,1,1)(1,1,1) ,0 CBA CCAB )( )0(0)1()1()1(2 CzCyCxC 约去约去C , C , 得得0)1()1()1(2 zyx 即即 02 zyx 0)1()1()1( zCyBxA )1,1,1( 1 M, )1,1,0( 2 M和和 则所求平面则所求平面 故故 , ),(CBAn 方程为方程为 n 21M Mn 且且 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .051223 7),1 , 1 , 1( 的的平平面面方方程程 和和且且垂垂直直于于平平面面求求

12、过过点点 zyx zyx )12, 2 , 3(),1 , 1, 1( 21 nn 21 nnn 1223 111 kji 故所求平面方程为故所求平面方程为 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx 化简得化简得. 0632 zyx 例例6.6. 解解: ),5 ,15,10( 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 由已知条件所求平面法向量可取为由已知条件所求平面法向量可取为 0 P 点到平面的距离点到平面的距离 1 P n d .0 :),( 0000 外一点外一点 是平面是平面设设 DCzByAx zyxP . ),( 01 1111 PP zyxP 作作向向量量

13、上上一一点点任任取取 cos 01 PPd )( 01 的的夹夹角角与与法法向向量量是是其其中中nPP n nPP 01 ),(),( 10101001 CBAzzyyxxnPP 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ,),( 1111 上上在平面在平面且且zyxP , 0 111 DCzByAx即即 , 00001 DCzByAxnPP 0),( 0000 的的距距离离为为到到平平面面故故点点 DCzByAxzyxP . 222 000 CBA DCzByAx d )( 11100021 CzByAxCzByAxnPP 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

14、完毕完毕 nnPPd 01 例例7. 01 )1 , 1 , 2( 的的距距离离平平面面求求点点 zyx 解解: : 由点到平面的距离公式由点到平面的距离公式 , 222 000 CBA DCzByAx d ),1 , 1 , 2(),( , 1 , 1 000 zyx CDBA 点点 且且 222 ) 1(11 |1111121| d 故所求距离为故所求距离为 . 3 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 内容小结内容小结 1.平面基本方程平面基本方程: 一般式一般式 点法式点法式 截距式截距式 0 DCzByAx)0( 222 CBA 1 c z b y a x 三点

15、式三点式 0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 0)()()( 000 zzCyyBxxA )0( abc 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 0 212121 CCBBAA 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 2.平面与平面之间的关系平面与平面之间的关系 平面平面 平面平面 垂直垂直: 平行平行: 夹角公式夹角公式: 21 21 cos nn nn 0 21 nn 0 21 nn , 0: 22222 DzCyBxA),( 2222 CBAn , 0: 11111 DzCyBxA 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ),( 1111 CBAn , 024 CBA即即 . 0322 zyx即即 .,82 4),2 , 3, 6( 求此平面方程求此平面方程垂直垂直 且与平面且与平面设平面过原点及点设平面过原点及点 z yx , 0 DCzByAx设平面方程为设平面方程为 ,因为平面过原点因为平面过原点