2.1.多元函数的极值与最值ppt课件

1、 第八章 8.5 8.5.1、多元函数的极值、多元函数的极值 8.5.2、最值应用问题、最值应用问题 8.5.3、条件极值、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 多元函数的极值多元函数的极值 x y z 8.5.1、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. ),(),( 00 yxfyxf),(),( 00 yxfyxf或 22 43yxz 22 yxz yxz ),()

2、,( 00 yxyxfz在点的某邻域内有 x y z x y z 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明: 使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为驻点的点称为驻点 . 例如, 定理定理1 (必要条件必要条件) 函数 偏导数, 证证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 0),(,0),( 0000 yxfyxf yx 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 ),(),( 00 yxyxfz在点存在 ),(),( 00 yxyxfz在点因 在),( 0 yxfz 0 xx 故 在),( 0

3、yxfz 0 yy yxz 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 驻点驻点 极值点极值点 时, 具有极值 定理定理2 (充分条件充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 那么: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当(证略) 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数的在点),(),( 00 yxyxfz 0),(,0),( 0000 yxfyxf yx ),(, ),(, ),( 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx 0 2 BAC 0 2 BAC 0 2 BAC 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1.1. 求函数 解解: : 第

4、一步第一步 求驻求驻 点点. . 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) . 第二步第二步 判别判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C ),(yxf x 0963 2 xx ),(yxf y 063 2 yy 的极值. 求二阶偏导数 ,66),( xyxf xx ,0),(yxf yx 66),(yyxf yy ,12A,0B,6C ,0612 2 BAC 5)0, 1 ( f ,0A xyxyxyxf933),( 2233 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 在点(3,0) 处 不是极值; 在点(3,2) 处 为极大值. ,66),

5、( xyxf xx ,0),(yxf yx 66),(yyxf yy ,12A,0B,6C ,0612 2 BAC )0,3( f 6,0,12CBA 31)2,3( f ,0)6(12 2 BAC,0A 在点(1,2) 处 不是极值; 6,0,12CBA )2, 1 (f,0)6(12 2 BAC ABC 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 8.5.2、最值应用问题、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且只有一个极值点且只有一个极值点P 时时, )(Pf为极小 值)(Pf 为

6、最小 值( (大大) )( (大大) ) 根据 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 在实际问题中，往往根据问在实际问题中，往往根据问 题的性质就可以断定函数在区域题的性质就可以断定函数在区域 内部确有最大值最小值），这内部确有最大值最小值），这 时如果函数在区域内只有一个驻时如果函数在区域内只有一个驻 点，则可以断定该点处的函数值点，则可以断定该点处的函数值 就是函数在区域上的最大值最就是函数在区域上的最大值最 小值）小值） 例例2.2. 解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高为则高为 则水箱所用材料的面积为 令得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最

7、小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? ,m 2 yx 2A yx yx y 2 yx x 2 yx yx 22 2 0 0 y x 0)(2 2 2 x x yA 0)(2 2 2 y y xA 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为时, 水箱所用材料最省. 3 m )2,2( 33 3 2 3 22 2 2 33 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 某工厂生产两种产品甲与乙某工厂生产两种产品甲与乙,出售单价分别为出售单价分别为10元元 解解: 与9元,生产x单位的产品甲与y单位的产品乙的总费用是: 因为利

8、润=收益本钱 ,求取得最大利润时, 两 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 元）)(33(01. 032400 22 yxyxyx 种产品的产量是多少? 所以)910(),(yxyxL 33(01. 032400 22 yxyxyx 400)33(01. 068 22 yxyxyx )6(01. 08),(yxyxLx )6(01. 06),(yxyxLy , 0 , 0 得惟一驻点)80,120( 再由, 006. 0 xx L,01. 0 xy L,06. 0 yy L 222 01. 006. 0BAC , 0故)80,120(为极大值点. 所以当甲产品为120件,乙产品为80件时利润最

9、大. 8.5.3、条件极值与拉格朗日乘数法、条件极值与拉格朗日乘数法. 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法. 求一元函数的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转化 ,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件 )(,(xxfz 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,0),(下在条件yx 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 .),(的极值求函数yx

10、fz 0),(yx, )(xy )(,(xxfz 例如例如, 故 0 d d d d x y ff x z yx , d d y x x y 因0 y x yx ff y y x x f f 故有 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 0 xxx fF 0 yyy fF 0 F 利用拉格 极值点必满足 0 xx f 0 yy f 0),(yx 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. ),(),(yxyxfF 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 推广推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.

11、 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数 下的极值. 在条件),(zyxfu ,0),(zyx 0),(zyx ),(),(),( 21 zyxzyxzyxfF 0 21 xxxx fF 0 21 yyyy fF 0 21 zzzz fF 0 1 F 0 1 F 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 要设计一个容量为 0 V 则问题为求x , y , 令 解方程组 解解: 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 x F02zyyz y F02zxxz z F0)(2yxyx F0 0 Vzyx 水

12、箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 的长方体开口水箱, 试问 0 VzyxyxzyzxS)(2 )()(2 0 VzyxyxzyzxF x y z 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 得唯一驻点,22 3 0 Vzyx 3 0 2 4 V 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因而 , 当高为 , 3 4 0 V x y z 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 考虑考虑: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示提示: 利用对称性可知利用对称性可知, 3 0 Vzyx 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函

13、数? 长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(2 0 VzyxyxzyzxF2 长、宽、高尺寸相等 . 例例5. 设销售收入设销售收入R(单位单位:万元万元)与花费在两种广告宣传的与花费在两种广告宣传的 解解: 费用x , y(单位:万元)之间的关系为 利润额 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 , 10 100 5 200 y y x x R 相当于五分之一的销售收入,并要扣除广告费用.已知广告费 yxRyxL 5 1 ),( 用总预算金为25万元,问如何分配两种广告费用利润最大? yx y y x x ) 10 100 5 200 ( 5 1 条件为条件为,25 yx 于是设拉氏函数为:

14、),(yxLyx y y x x 10 25 5 40 )25(yx x L 1 )5( 200 2 x , 0 y L 1 )10( 200 2 y , 0 L 25 yx, 0 x L 1 )5( 200 2 x , 0 y L 1 )10( 200 2 y , 0 L25 yx, 0 由上两个方程 2 )5(x 2 )10(y 得方程的解为.10,15yx 根据该问题本身的意义,有惟一驻点, 故两种广告费用分别 15万元和10万元时,利润最大. 内容小结内容小结 1. 函数的极值问题函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 , ),(yxfz 0),( 0),( yxf yxf y x 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 设拉格朗日函数 如求二元函数下的极值, 解方程组 第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 3. 函数的最值问题函数的最值问题 在条件 求驻点 . ),(yxfz 0),(yx ),(),(yxyxfF