材料力学 第八章叠加法求变形(3,4,5)

1、努力学习，报效祖国！ 8-3 8-3 用叠加法计算梁的变形及用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算梁的刚度计算 一、用叠加法计算梁的变形一、用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下提下, ,载荷与它所引起的变形成线性关系。载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所 引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算 几个载荷几个载荷共同作用共同作用下在某截面上引起的变形，下在某截面上引起的变形， 则可则可分别计算分别计算各个载荷单独作用下的变形，然

2、各个载荷单独作用下的变形，然 后后叠加叠加。 例例8-38-3如图用叠加法求如图用叠加法求 C w 384EI 5qL 4 48EI PL 3 BAC w、 解：解： 1.求各载荷产生的位移求各载荷产生的位移 2.将同点的位移叠加将同点的位移叠加 16EI ML 2 A 24EI qL 3 16EI PL 2 3EI ML B 24EI qL3 16EI PL 2 6EI ML =+ 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面所示简支梁的跨中截面 的挠度的挠度 wC 和两端截面的转角和两端截面的转角 A 及及 B。已知。已知EI 为常量。为常量。 例题例题 5-4 为了能利用简单荷

3、载作用为了能利用简单荷载作用 下梁的挠度和转角公式，下梁的挠度和转角公式， 将图将图a所示荷载视为与跨所示荷载视为与跨 中截面中截面C正对称和反对称正对称和反对称 荷载的叠加荷载的叠加(图图b)。 例题例题 5-4 解解: 在集度为在集度为q/2的正对称均的正对称均 布荷载作用下，查有关梁的布荷载作用下，查有关梁的 挠度和转角的公式，得挠度和转角的公式，得 EI ql EI lq wC 768 5 384 2/5 44 1 4824 2/ 33 1 EI ql EI lq B 4824 2/ 33 1 EI ql EI lq A C A1 B1 wC 例题例题 5-4 注意到反对称荷载作用下跨

4、中截面不仅挠度为零，注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零， 而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零， 因此可将左半跨梁因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁和右半跨梁 CB分别视为分别视为 受集度为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简的简 支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得 38424 2/2/ 3 3 22 EI ql EI lq BA 在集度为在集度为q/2的反对称均布的反对称均布 荷载作用下，由于挠曲线也是荷载作用下，由于挠曲线也是 与跨中截面反对称的，故有与跨中截面反

5、对称的，故有 0 2 C w C A2 B2 例题例题 5-4 按叠加原理得按叠加原理得 EI ql EI ql www CCC 768 5 0 768 5 44 21 384 7 38448 333 21 EI ql EI ql EI ql BBB 128 3 38448 333 21 EI ql EI ql EI ql AAA 例题例题 5-4 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面所示外伸梁的截面B的转的转 角角 B，以及，以及A端和端和BC段中点段中点D的挠度的挠度wA和和wD。已。已 知知EI为常量。为常量。 例题例题 5-5 利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图利用

6、简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图 a所示外伸梁看作由悬臂梁所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图图b)和简支梁和简支梁BC(图图c) 所组成。所组成。 和弯矩和弯矩 应当作为外应当作为外 力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，截面处， 它们的指向和转向如图它们的指向和转向如图b及图及图c所示。所示。 22 2 2 1 qaaqM B qaF B 2 S 例题例题 5-5 解解: 图图c中所示简支梁中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况的受力情况以及约束情况 与原外伸梁与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁段完全相同，注意到简支梁B支座处支座处 的外力的外力2

7、qa将直接传递给支座将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。，而不会引起弯曲。 简支梁简支梁BC，由，由q产生的产生的 Bq 、wDq(图图d)，由，由MB产生产生 的的 BM 、wDM (图图e)。可查有关式，将它们分别叠。可查有关式，将它们分别叠 加后可得加后可得 B、wD，它们也是外伸梁的，它们也是外伸梁的 B和和wD。 例题例题 5-5 )( 24 1 16 22 384 5 4 2 2 4 EI qa EI aqa EI aq www DMDqD 3 1 3 2 24 2 32 3 EI qa EI aqa EI aq BMBqB 例题例题 5-5 图图b所示悬臂梁所示悬臂梁AB的受力情

8、况与原外伸梁的受力情况与原外伸梁AB 段相同，但要注意原外伸梁的段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，截面是可以转动的， 其转角就是上面求得的其转角就是上面求得的 B，由此引起的，由此引起的A端挠度端挠度 w1=| B|a，应叠加到图，应叠加到图b所示悬臂梁的所示悬臂梁的A端挠度端挠度w2 上去上去, ,才是原外伸梁的才是原外伸梁的A端挠度端挠度wA EI qa EI aq a EI qa wwwA 4 43 21 12 7 8 2 3 1 例题例题 5-5 逐段刚化法：逐段刚化法： 变形后：AB AB BC BC 变形后变形后AB部分为曲线，部分为曲线， BC部分为直线。部分为直线。

9、 C点的位移为：wc 2 L w www BB cBc 例：求外伸梁例：求外伸梁C点的位移。点的位移。 L a C A B P 解： 将梁各部分分别将梁各部分分别 引起的位移叠加引起的位移叠加 A B C P 刚化 EI= P C fc1 1）BC部分引起的位移fc1、 c1 c1 EI pa fc 3 3 1 EI pa c 2 2 1 2）AB部分引起的位移fc2、 c2 C A B P 刚化 EI= fc2 B2 P Pa B2 a EI PaL af Bc 3 22 EI PaL B 3 2 21ccc fff 21Bcc EI Pa c 2 2 EI PaL 3 EI pa fc 3

10、 3 a EI PaL 3 例例8-4 欲使欲使AD梁梁C点挠度为零，求点挠度为零，求P与与q的关系。的关系。 解：解： EI aq wC 384 )2(5 4 EI aPa 16 )2( 2 0 Pqa 5 6 例例8-5 用叠加法求图示梁端的转角和挠度。用叠加法求图示梁端的转角和挠度。 CB qa EI qa EI 33 64 顺时针 B qa a EI qaa EI 2 2 2 2 3 2 16 () qa EI 3 12 顺时针 EI qa EI qa aw BC 24 5 8 44 解解: 例例8-6求图示梁求图示梁B、D 两处的挠度两处的挠度 wB、 wD 。 解：解： EI qa

11、 EI aqa EI aq wB 3 14 3 )2( 8 )2( 434 EI qa EI aqaw w B D 3 8 48 )2(2 2 43 例例8-78-7求图示梁求图示梁C C点的挠度点的挠度 w wC C。 解：解： 三三. . 梁的刚度条件梁的刚度条件 例例8-88-8图示工字钢梁，图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ， w/l = 1500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷的刚度条件，确定梁的许可载荷 PP，并校核强度。，并校核强度。 刚度条件：刚度条件： ; max l w l w w、是构件

12、的许可挠度和转角，它们决定于构是构件的许可挠度和转角，它们决定于构 件正常工作时的要求。件正常工作时的要求。 max 机械：1/50001/10000, 土木：1/2501/1000 机械：0.0050.001rad P 解：由刚度条件解：由刚度条件 500 48 3 max l w EI Pl w 2 500 48 l EI P 得 所以 .P 711kN max max M Wz 所以满足强度条件。 Pl Wz4 60MPa 711.kN 图图a所示简支梁由两根槽钢组成所示简支梁由两根槽钢组成( (图图b) )，试按，试按 强度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知强度条件和刚度条件选择槽钢型号

13、。已知 =170 MPa， =100 MPa，E=210 GPa， 。 400 1 l w 例题例题 5-7 一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁 横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺 寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度 条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚 度条件不满足，应适当增加横截面尺寸。度条件不满足，应适当增加横截面尺寸。 例题例题 5-7 解解: 1. 按正应力强度条件选择槽钢型号按正

14、应力强度条件选择槽钢型号 梁的剪力图和弯矩梁的剪力图和弯矩 图分别如图图分别如图c和图和图e所所 示。最大弯矩为示。最大弯矩为 Mmax=62.4 kNm。梁。梁 所需的弯曲截面系数所需的弯曲截面系数 为为 36 6 3 max m10367 Pa10170 mN104 .62 M Wz 例题例题 5-7 而每根槽钢所需的弯曲截面系数而每根槽钢所需的弯曲截面系数 Wz36710-6 m3/2=183.510-6 m3=183.5 cm3。由。由 型钢表查得型钢表查得20a号槽钢其号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所，虽略小于所 需的需的Wz= 183.5 cm3，但，但 所以可取所以可取2

15、0a号槽钢。号槽钢。 %5%9 . 2%100 178 1785 .183 例题例题 5-7 2. 按切应力强度条件校核按切应力强度条件校核 图图c最大剪力最大剪力FS,max=138 kN。每根槽钢承受的最。每根槽钢承受的最 大剪力为大剪力为 N1069 2 kN138 2 3max,S F 例题例题 5-7 Sz,max 为为20a号槽钢的中性轴号槽钢的中性轴z以下以下 半个横截面的面积对中性轴半个横截面的面积对中性轴z的静的静 矩。根据该号槽钢的简化尺寸矩。根据该号槽钢的简化尺寸(图图 d)可计算如下：可计算如下： 3 * max, mm000104 2 mm11100 mm773 mm

16、11100mm50mm100mm73 z S z 例题例题 5-7 当然，当然， 的值也可按下式得出：的值也可按下式得出： * max, z S 3 * max, mm104000 mm 2 11100 mm7 mm11100mm 2 11 100mm11mm73 z S 每根每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查 得为得为 Iz =1780.4 cm4 1780cm4 例题例题 5-7 故故20a号槽钢满足切应力强度条件。号槽钢满足切应力强度条件。 于是于是 MPa57.6Pa106 .57 m)107)(m10(1780 m10104N)1069()2/

17、( 6 348- 36-3 max,max,S max dI SF z z 例题例题 5-7 3. 校核梁的刚度条件校核梁的刚度条件 如图如图a，跨中点，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度处的挠度为梁的最大挠度wmax。 由叠加原理可得由叠加原理可得 m1066. 4 )m101780Pa)(21048(210 mN101671 )m6 . 04m4 . 23()m6 . 0)(N1012( )m9 . 04m4 . 23()m9 . 0)(N1040( )m8 . 04m4 . 23()m8 . 0)(N1030( )m4 . 04m4 . 23()m4 . 0)(N10120( 48 1 )4

18、3( 48 3 489 3 2223 2223 2223 22223 4 1 2 2 max EI bl EI bF ww i i ii C 例题例题 5-7 梁的许可挠度为梁的许可挠度为 6mmm106m4 . 2 400 1 3 l l w w 由于由于 mm66. 4 max ww 因此，所选用的槽钢满足刚度条件。因此，所选用的槽钢满足刚度条件。 例题例题 5-7 四四. . 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷 情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和 梁的

19、跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从 上述各种因素入手。上述各种因素入手。 一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EIEI； EI Ml w 二、减小跨度二、减小跨度L或增加支承降低弯矩或增加支承降低弯矩M； 三、改变加载方式和支承方式、位置等。三、改变加载方式和支承方式、位置等。 8-5 8-5 梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能 一一. .梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能 WV 1.纯弯曲：纯弯曲： 2.横力弯曲：横力弯曲： l x xIE xM Vd )(2 )( 2 MW 2 1 IE lM MV 2 1 IE lM 2 2 cxM)( cxM)

20、( EI xxM xMV 2 d d )( 2 1 d 2 W 二二. .小结小结： 1 1、杆件变形能在数值上等于变形过程中、杆件变形能在数值上等于变形过程中 外力所做的功。外力所做的功。V=W 2 2、线弹性范围内，若外力从、线弹性范围内，若外力从0 0缓慢的增加到缓慢的增加到 最终值：最终值： PWV 2 1 则： 其中：其中：P- P-广义力广义力 -广义位移广义位移 拉、压：拉、压： 轴力 N N FP EA LF L 扭矩TP EI TL P 扭转：扭转： 弯矩MP EI ML z 弯曲：弯曲： 例例8-128-12试求图示悬臂梁的变形能，并试求图示悬臂梁的变形能，并 利用功能原理

21、求自由端利用功能原理求自由端B B的挠度。的挠度。 B w 解：解： PxxM)( l x IE xM Vd 2 )( 2 l x IE Px 0 2 d 2 )( P l EI 2 3 6 B PwW 2 1 得由WV EI Pl wB 3 3 8-4 8-4 用比较变形用比较变形 法解超静定梁法解超静定梁 一一. . 静不定梁的基本概静不定梁的基本概 念念 二二. .变形比较法解静不定梁变形比较法解静不定梁 用多余反力代替多余约用多余反力代替多余约 束，就得到一个形式上束，就得到一个形式上 的静定梁，该梁称为原的静定梁，该梁称为原 静不定梁的静不定梁的相当系统相当系统， 又称又称静定基静定

22、基。 梁的约束个数多于独立梁的约束个数多于独立 静力平衡方程的个数。静力平衡方程的个数。 解：将支座解：将支座B B看成多看成多 余约束，变形协调条件余约束，变形协调条件 为：为： 0 B w 0 38 34 EI lR EI ql w www B B BRBqB Rql B 3 8 EI lR w B BR 3 3 EI ql w Bq 8 4 三三. .用变形比较法解静不定梁的步骤用变形比较法解静不定梁的步骤 （1 1）选取基本静定结构（静定基如图），）选取基本静定结构（静定基如图），B端端 解除多余约束，代之以约束反力；解除多余约束，代之以约束反力； （2 2）求静定基仅在原有外力作用下

23、于解除约）求静定基仅在原有外力作用下于解除约 束处产生的位移；束处产生的位移； （4 4）比较两次计算的变形量，其值应该满足）比较两次计算的变形量，其值应该满足 变形相容条件，建立方程求解。变形相容条件，建立方程求解。 （3 3）求仅在代替约束的约束反力作用下于解除）求仅在代替约束的约束反力作用下于解除 约束处的位移；约束处的位移； 6-4 简单超静定梁简单超静定梁 .超静定梁的解法超静定梁的解法 解超静定梁的基本解超静定梁的基本 思路与解拉压超静定问思路与解拉压超静定问 题相同。求解图题相同。求解图a所示所示 一次超静定梁时可以铰一次超静定梁时可以铰 支座支座B为为“多余多余”约束，约束，

24、以以约束力约束力FB为为“多余多余” 未知力。解除未知力。解除“多余多余” 约束后的基本静定系为约束后的基本静定系为 A端固定的悬臂梁。端固定的悬臂梁。 基本静定系基本静定系 基本静定系在原有均基本静定系在原有均 布荷载布荷载q和和“多余多余”未未 知力知力FB作用下作用下( (图图b) )当当 满足位移相容条件满足位移相容条件( (参参 见图见图c、d) ) 时该系统即为原超静时该系统即为原超静 定梁的相当系统。定梁的相当系统。 0 BBBq ww 若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理 关系关系(参见教材中的附录参见教材中的附录)所得的补充方程

25、为所得的补充方程为 0 38 34 EI lF EI ql B 从而解得从而解得“多余多余”未知力未知力 qlFB 8 3 所得所得FB为正值表示原来为正值表示原来 假设的指向假设的指向( (向上向上) )正确。正确。 固定端的两个固定端的两个约束力约束力利利 用相当系统由静力平衡用相当系统由静力平衡 条件求得为条件求得为 2 8 1 8 5 qlMqlF AA ， 该超静定梁的剪力图和该超静定梁的剪力图和 弯矩图亦可利用相当系弯矩图亦可利用相当系 统求得，如图统求得，如图所示所示。 思考思考 1. . 该梁的反该梁的反 弯点弯点( (弯矩变换正负弯矩变换正负 号的点号的点) )距梁的左端距梁

26、的左端 的距离为多少？的距离为多少？ 2. . 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求 解？如何求解？解？如何求解？ 例例8-108-10为了提高悬臂梁为了提高悬臂梁ABAB的强度和刚度，用短梁的强度和刚度，用短梁 CD加固。设二梁加固。设二梁EI相同，试求：相同，试求：二梁接触处的压力二梁接触处的压力 解：解除约束代之以解：解除约束代之以 约束反力约束反力 DCDDAB ww EI aR EI aR EI Pa DD 336 5 333 即 RP D 5 4 变形协调条件为：变形协调条件为： 例例8-118-11梁梁ABC由由AB、BC两段组成，两段梁的两段

27、组成，两段梁的EI相同相同 。试绘制剪力图与弯矩图。试绘制剪力图与弯矩图。 解：变形协调解：变形协调 条件为：条件为： BBCBAB ww EI aR EI aR EI qa BB 338 334 即qaRB 16 3 试求图试求图a所示结构中所示结构中AD杆内的拉力杆内的拉力FN。梁。梁AC 和杆和杆AD的材料相同，弹性模量为的材料相同，弹性模量为E； AD杆的横截杆的横截 面积为面积为A，AC梁的横截面对中性轴的惯性矩为梁的横截面对中性轴的惯性矩为I 。 例题例题 6-7 1.梁梁AC共有三个未知力共有三个未知力( (图图b) )FN，FB，FC ，但平面，但平面 仅有两个平衡方程，故为一

28、次超静定问题。仅有两个平衡方程，故为一次超静定问题。 例题例题 6-7 解：解： 2. 把把AD杆视为梁杆视为梁AC的的“多余多余”约束，相应的约束，相应的 “多余多余”未知力为未知力为FN。位移。位移(变形变形)相容条件为梁的相容条件为梁的 A截面的挠度截面的挠度wA等于杆的伸长量等于杆的伸长量 lDA(图图b)，即，即 wA= lDA。 例题例题 6-7 3. 求求wA和和 lDA wA是由荷载产生的是由荷载产生的wAq(图图c)和和FN产生的产生的wAF (图图d)两部分组成，两部分组成， EI qa wAq 12 7 4 例题例题 6-7 把图把图d所示外伸梁，所示外伸梁， 视为由悬臂

29、梁视为由悬臂梁AB(图图 e)和简支梁和简支梁BC(图图f) 两部分组成。两部分组成。 )( 33 2 ,)( 3 )( 3 2 , 3 2 3 )2)( 3 N 3 N 3 N 3 N 2 3 N 1 2 NN EI aF EI aF EI aF w EI aF w EI aF aw EI aF EI aaF AFA BABM EA lF l EI aF EI qa www DAAFAqA N 3 N 4 12 7 ， 例题例题 6-7 4. 把把wA和和 lDA代入代入位移位移( (变形变形) )相容条件得补充方程：相容条件得补充方程： 由此求得由此求得 EA lF EI aF EI qa

30、 N 3 N 4 12 7 3 4 N 12 7 AalI Aqa F 例题例题 6-7 试求图试求图a所示等截面连续梁的所示等截面连续梁的约束反力约束反力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯 曲刚度曲刚度EI=5106 Nm2。 例题例题 6-8 1. 该梁有三个未知力该梁有三个未知力FA、 FB 、 FC ，仅有两个平，仅有两个平 衡方程。故为一次超静定问题。衡方程。故为一次超静定问题。 例题例题 6-8 解：解： 2. 若取中间支座若取中间支座B处阻止其左、右两侧截面相对处阻止其左、右两侧截面相对 转动的约束为转动的约束为

31、“多余多余”约束，则约束，则B截面上的一对弯截面上的一对弯 矩矩MB为为“多余多余”未知力，相当系统如图未知力，相当系统如图b。 例题例题 6-8 BB 相当系统的位移条件是相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角处两侧截面的相对转角 等于零，即等于零，即 例题例题 6-8 3. 查关于梁位移公式的附录查关于梁位移公式的附录可得可得 EI M EI B B 3 m4 24 m4N/m1020 3 3 EI M EI B B 3 m5 m56 m2m5m2m3N1030 3 4. 将将 B B代入位移相容条件补充方程，从代入位移相容条件补充方程，从 而解得而解得 这里的负号表示这里的负号表示M

32、B的实际转向与图的实际转向与图b中所设相中所设相 反，即为反，即为MB负弯矩。负弯矩。 mkN80.31 B M 例题例题 6-8 5. 利用图利用图b可得可得约束力分别为约束力分别为 kN64.11 kN66 kN05.32 C B A F F F 例题例题 6-8 绘出剪力图和弯矩图分别如图绘出剪力图和弯矩图分别如图c,d所示。所示。 (c) (d) FS 例题例题 6-8 超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如， 若以支座若以支座B为多余约束，为多余约束，FB为多余未知力，位移条件为多余未知力，位移条件 为为wB=0，相当系统如图，相当系统如图

33、(e)所示。有如以支座所示。有如以支座C为多为多 余约束，余约束，FC为多余未知，位移条件为为多余未知，位移条件为wC=0，相当系，相当系 统如图统如图(f)所示。所示。 位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。 (f) FC (e) FB 例题例题 6-8 * *II. II. 支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响 超静定梁由于有超静定梁由于有“多余多余”约束存在，因而支约束存在，因而支 座的不均匀沉陷和梁的上座的不均匀沉陷和梁的上, ,下表面温度的差异会下表面温度的差异会 对梁的对梁的约束力约束力和内力产生明显影响，在

34、工程实践和内力产生明显影响，在工程实践 中这是一个重要问题。中这是一个重要问题。 (1) (1) 支座不均匀沉陷的影响支座不均匀沉陷的影响 图图a所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支 座若发生沉陷座若发生沉陷 A 、 B 、 C，而沉陷后的支点，而沉陷后的支点A1 、 B1 、C1不在同一直线上时不在同一直线上时( (即沉陷不均匀时即沉陷不均匀时) )，支座，支座 约束力约束力和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。 2 10 CA BB BBw 现按如图现按如图a中所示各支点沉陷中所示各支点沉陷 B C A的情的情 况进

35、行分析。此时，支座况进行分析。此时，支座B相对于支座相对于支座A 、C 沉陷沉陷 后的点后的点A1 、C1 的连线有位移的连线有位移 于是，如以支座于是，如以支座B1作为作为“多余多余”约束，以约束力约束，以约束力 FB为为“多余多余”未知力，则作为基本静定系的简支未知力，则作为基本静定系的简支 梁梁A1C1(参见图参见图b)在荷载在荷载 q 和和“多余多余”未知力未知力FB共共 同作用下应满足的位移相容条件就是同作用下应满足的位移相容条件就是 2 10 CA BB BBw 于是得补充方程于是得补充方程 由此解得由此解得 EI lF EI ql EI lF EI lq www B B BFBq

36、B B 624 5 48 2 384 25 34 34 2624 5 34 CA B B EI lF EI ql 2 24 5 4 1 3 CA BB l EI qlF 其中的其中的wB按叠加原理有按叠加原理有( (参见图参见图c、d):): 再由静力平衡方程可得再由静力平衡方程可得 2 3 8 3 3 CA BCA l EIql FF (2) (2) 梁的上梁的上, ,下表面温度差异的影响下表面温度差异的影响 图图a所示两端固定的梁所示两端固定的梁AB在温度为在温度为 t0 时时安装安装 就位，其后，由于梁的就位，其后，由于梁的顶顶面温度升高至面温度升高至 t1，底，底面面 温度升高至温度升高至 t2，且，且 t2t1，从而产生，从而产生约束力约束力如图如图 中所示。中所示。 由于未知的由于未知的约束力约束力有有6个，而独立的平衡方个，而独立的平衡方 程只有程只有3个，故为三次超静定问题。个，故为三次超静定问题。 l 现将右边的固定端现将右边的固定端B处的处的3个约束作为个约束作为“多余多余” 约束，则解除约束，则解除“多余多余”约束后的基本静定系为左约束后的基本静定系为左 端固定的悬臂梁。端固定的悬臂梁。 它在上它在上, ,下表面有温差的情况下，右端产生转角下表面有温差