高考数学分类详解立体几何

1、2007年高考数学试题分类详解立体几何一、选择题1（全国1文理7）如图，正棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为a b c d解如图，连接bc1，a1c1，a1bc1是异面直线与所成的角，设ab=a，aa1=2a， a1b=c1b=a，a1c1=a，a1bc1的余弦值为，选d。2、（山东文理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）正方形圆锥三棱台正四棱锥abcd【答案】d【分析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为d。3、（天津理6） 设为两条直线，为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是( )a.若与所成的角相等，则b.若，则c.若则d.若则【答案

2、】d【分析】对于a当与均成时就不一定；对于b只需找个，且即可满足题设但不一定平行；对于c可参考直三棱柱模型排除，故选d4、（天津文6）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）a若与所成的角相等，则b若，则c若，则d若，则【解析】项中若与所成的角相等，则可以平行、相交、异面故错；项中若，则可以平行、异面故错；项中若则可以平行、相交；而d项是对，因为此时所成的角与所成的角是相等或是互补的，则5、（广东文6）若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 【解析】逐一判除,易得答案(d).6、（全国2理7）已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则

3、ab1与侧面acc1a1所成角的正弦等于(a) (b) (c) (d) 解已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等，取a1c1的中点d1，连接bd1，ad1，b1ad1是ab1与侧面acc1a1所成的角，选a。 7、（全国2文7）已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）abcd解已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角的余弦值等于，选a。8、(安徽文6)设均为直线,其中在平面内，则“l”是“”的(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充分必要条件(d)既不

4、充分也不必要条件解析：设均为直线,其中在平面内，若“l”则“”，反之若“”，当m/n时，无法判断“l”，所以“l”是“”的充分不必要条件，选a。9、(安徽文10)把边长为的正方形abcd沿对角线ac折成直二面角,折成直二面角后,在a,b,c,d四点所在的球面上,b与d两点之间的球面距离为(a)(b)(c)(d) 解析：把边长为的正方形abcd沿对角线ac折成直二面角,折成直二面角后,在a,b,c,d四点所在的球面上,球的半径为1，b与d两点恰好是两条垂直的半径的端点，它们之间的球面距离为个大圆周长，即，选c。10、(安徽理2)设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的（

5、a）充分不必要条件 （b）必要不充分条件(c)充分必要条件 （d）既不充分也不必要条件解析：设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m/n时，推不出“l”， “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选a。11、（安徽理8）半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为 （a）（b）（c）（d）解析：半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，设ab=a，p为bcd的中心，o为球心，则ob=1，op=，bp=a，由解得， 由余弦定理得aob=arcos()， 与两点间的球面距离为，选c。12、（北京文7理3）平面平面的一个充分条件是

6、（）存在一条直线存在一条直线存在两条平行直线存在两条异面直线解析：平面平面的一个充分条件是存在两条异面直线，选 13、（江苏4）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：（c） 其中正确命题的序号是a b c d解析：用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断 正确，中m,n可以平行或异面中n可以在内 选c14、（福建理8文9）已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是a.，n b.，mnc.m，mnnd.nm,nm解析：a中m、n少相交条件，不正确；b中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；c中n可以在内，不正确，选d15、（福建理10）顶点在同一球面上的正四棱

7、柱abcdabcd中，ab1，aa，则a、c两点间的球面距离为a b c d 解析：正四棱柱的对角线为球的直径，由4r2=1+1+2=4得r=1，ac=，所以aoc=（其中o为球心）a、c两点间的球面距离为，选b16、（福建文6）如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，e、f、g、h分别为aa1、ab、bb1、bc1的中点，则异面直线ef与gh所成的角等于a.45b.60 c.90d.120解析：连a1b、bc1、a1c1，则a1b=bc1=a1c1，且efa1b、ghbc1，所以异面直线ef与gh所成的角等于.60，选b17、（湖南理8）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱

8、，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）abcd【答案】d.【解析】正方体对角线为球直径，所以，在过点e、f、o的球的大圆中，由已知得d=，所以ef=2r=。18、（湖南文6）如图1，在正四棱柱 中，e、f分别是的中点，则以下结论中不成立的是a b. c. d. 【答案】d图1【解析】连b1c，则b1c交bc1于f且f为bc1中点，三角形b1ac中ef，所以ef平面abcd，而b1b面abcd，所以；又acbd，所以，。由ef，aca1c1得efa1c119、（江西理7）如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（）点是的垂心垂直平面的延长线经过点直线和所成角

9、为解析：因为三棱锥a是正三棱锥，故顶点a在底面的射映是底面中心，a正确；面面，而ah垂直平面，所以ah垂直平面，b正确；根据对称性知c正确。选d20、（江西文9）四面体的外接球球心在上，且，在外接球面上两点间的球面距离是（）解析：由球心在上，且，得球的半径r=1，选c.abcda1b1c1d121、（湖北理4）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：；与相交与相交或重合；与平行与平行或重合其中不正确的命题个数是（）1234答案：选解析：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，可知均错, 具体可观察如图的正方体： 但不垂直，故错；但在底面上的射影都是 故错；相交，但异

10、面，故错；但异面，故错22、（湖北文5）在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为棱aa1、bb1的中点，g为棱a1b1上的一点，且a1g=（01），则点g到平面d1ef的距离为a.b.c.d.答案：选d解析：因为a1b1ef，g在 a1b1上，在所以g到平面d1ef的距离即是a1到面d1ef的距离，即是a1到d1e的距离，d1e=，由三角形面积可得所求距离为，故选d23、（浙江理6）若两条异面直线外的任意一点，则（）过点有且仅有一条直线与都平行过点有且仅有一条直线与都垂直过点有且仅有一条直线与都相交过点有且仅有一条直线与都异面【答案】：b【分析】：设过点p的直线为，若与l、m

11、都平行，则l、m平行，与已知矛盾，故选项a错误。由于l、m只有惟一的公垂线，而过点p与公垂线平行的直线只有一条，故b正确。对于选项c、d可参考右图的正方体，设ad为直线l，为直线m;若点p在p1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项c错误。若p在p2点，则由图中可知直线均与l、m异面，故选项d错误。24、(浙江文7)若p是两条异面直线l、m外的任意一点，则(a)过点p有且仅有一条直线与l、m都平行(b)过点p有且仅有一条直线与l、m都垂直(c)过点p有且仅有一条直线与l、m都相交(d)过点p有且仅有一条直线与l、m都异面【答案】：b【分析】：设过点p的直线为，若与l、m都平行，则l、m平

12、行，与已知矛盾，故选项a错误。由于l、m只有惟一的公垂线，而过点p与公垂线平行的直线只有一条，故b正确。对于选项c、d可参考右图的正方体，设ad为直线l，为直线m;若点p在p1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项c错误。若p在p2点，则由图中可知直线均与l、m异面，故选项d错误。25、（海、宁理文8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中2020正视图20侧视图101020俯视图标出 的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）【答案】：b【分析】：如图， 26、（海、宁理12）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三

13、棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（）【答案】：b【分析】：如图，设正三棱锥的各棱长为，则四棱锥的各棱长也为， 于是 27、（海、宁文11）已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，则球的体积与三棱锥体积之比是（） 【答案】：d【分析】：如图， 28、（重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）a5部分 b.6部分 c.7部分 d.8部分【答案】：c【分析】：可用三线表示三个平面，如图，将空间分成7个部分。29、（辽宁文6理7）若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）a若，则b若，

14、则c若，则d若，则解析：由有关性质排除a、b、d，选c30、（四川文理4）如图，为正方体，下面结论错误的是（）（a）平面（b）（c）平面（d）异面直线与所成的角为解析：选d显然异面直线与所成的角为31、（四川文理6）设球的半径是1，、是球面上三点，已知到、两点的球面距离都是，且二面角的大小是，则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是（）（a）（b）（c）（d）解析：选c本题考查球面距离32、（陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是zxxk.com （a） (b) (c) (d) zxxk.com解析：正三棱锥的高为1，由

15、平面几何知识知底面边长为，体积为，选c33、（陕西理10）已知平面平面，直线m，直线n，点am,点bn，记点a、b之间的距离为a,点a到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则zxxk.coma.bac b.acbc. cab d. cbazxxk.com解析：由图知c最小，a最大，选d34、（陕西文7）rtabc的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面abc的距离是（a）5（b）6（c）10（d）12解析：rtabc的斜边长为10，且斜边是rtabc所在截面的直径，球心到平面abc的距离是d=，选d35、（陕西文10）已知p为平面a外一点，直线la,点ql,记

16、点p到平面a的距离为a,点p到直线l的距离为b，点p、q之间的距离为c，则（a）（b）c(c) (d)解析：由图可知a最小，c最大，选a二、填空题1、（全国1理16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_。解一个等腰直角三角形def的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，edf=90，已知正三棱柱的底面边长为ab=2，则该三角形的斜边ef上的中线dg=， 斜边ef的长为2。2、（天津理12） 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为则此球的表面积为.【答案】【分析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，

17、即，由3、（天津文13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为 解.【解析】长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径，设球的直径为则：，由于球的表面积为:.4、（全国1文15）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点s、a、b、c、d都在同一个球面上，则该球的体积为_。解正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点s、a、b、c、d都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面abcd的中心，球的半径是1，体积为。5、（全国2文理15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm

18、2.解一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h， 2r=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2.6、(安徽理15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.解析：在正方体abcda1b1c1d1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是矩形如acc1a1；.

19、有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如aa1bd；每个面都是等边三角形的四面体，如acb1d1；每个面都是直角三角形的四面体，如aa1dc，所以填。7、（江苏14）正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是.解析：设p在 底面abc上的射影为o，则po=2，且o是三角形abc的中心，设底面边长为a,则 设侧棱为b则 斜高 。由面积法求 到侧面的距离 8、（上海理10）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件 【答案】 ，并且与相交（，并且与相交）

20、【解析】 作图易得“能成为是异面直线的充分条件”的是“，并且与相交”或“，并且与相交”。a9、（上海文7）如图，在直三棱柱中， ，则异面直线与所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示）【答案】【解析】异面直线与所成角为，易求，。10、（湖南文15）棱长为1的正方形的8个顶点都在球o的表面上，则球o的表面积是 ；设分别是该正方形的棱的中点，则直线被球o截得的线段长为 .【答案】，【解析】正方体对角线为球直径，所以，所以球的表面积为；由已知所求ef是正方体在球中其中一个截面的直径，d=，所以，所以ef=2r=。11、（江西文16）如图，正方体的棱长为1，过点a作平面的垂线，垂足为点有下列四个命题

21、点是的垂心垂直平面二面角的正切值为点到平面的距离为其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）解析：因为三棱锥a是正三棱锥，故顶点a在底面的射映是底面中心，a正确；面面，而ah垂直平面，所以ah垂直平面，b正确；连接即为二面角的平面角, c正确; 对于d, 连接面,故点是的三等分点,故点到平面的距离为从而d错.则应填a，b，c.12、（浙江理16）已知点在二面角的棱上，点在内，且若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是【答案】： 【分析】：设直线op与平面所成的角为,由最小角原理及恒成立知,只有作于h, 则面,故为.13、(浙江文17)已知点o在二面角ab的棱上，点p在内，且pob45若对

22、于内异于o的任意一点q，都有poq45，则二面角ab的取值范围是_【答案】： 【分析】：若二面角ab的大小为锐角，则过点p向平面作垂线,设垂足为h.过h作ab的垂线交于c,连pc、ch、oh，则就是所求二面角的平面角. 根据题意得，由于对于内异于o的任意一点q，都有poq45，设po=，则又pob45，oc=pc=，而在中应有pcph ,显然矛盾，故二面角ab的大小不可能为锐角。即二面角的范围是。若二面角ab的大小为直角或钝角，则由于pob45，结合图形容易判断对于内异于o的任意一点q，都有poq45。即二面角的范围是。14、（辽宁文理15）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个

23、平面上，则此球的体积为 解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由得r=，球体积为15、（四川文理14）在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是_解析：，点到平面的距离为， 三、解答题：1（全国理19）四棱锥sabcd中，底面abcd为平行四边形，侧面sbc底面abcd。已知abc45，ab2，bc=2，sasb。()证明：sabc；()求直线sd与平面sab所成角的大小；解答：解法一：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得dbcas（）由（）知，依题设，故，由，得，的面积连结，得的面积设到平面的距离为，由于

24、，得，解得设与平面所成角为，则所以，直线与平面所成的我为解法二：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面因为，所以又，为等腰直角三角形，dbcas如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，所以（）取中点，连结，取中点，连结，与平面内两条相交直线，垂直所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余，所以，直线与平面所成的角为2、（全国理19）如图，在四棱锥s-abcd中，底面abcd为正方形，侧棱sd底面abcd，e、f分别是ab、sc的中点。abcdpef第38题图第39题图()求证：ef平面sad；()设sd = 2cd，求二面角aefd的大小；解法一：（1）作交于点，则为的中点连

25、结，又，故为平行四边形，又平面平面所以平面（2）不妨设，则为等腰直角三角形取中点，连结，则又平面，所以，而，aaebcfsdgmyzx所以面取中点，连结，则连结，则故为二面角的平面角所以二面角的大小为解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系设，则，取的中点，则平面平面，所以平面（2）不妨设，则中点又，所以向量和的夹角等于二面角的平面角所以二面角的大小为3、（北京理16）如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点的斜边上（i）求证：平面平面；（ii）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（iii）求与平面所成角的最大值解法一：（i）由题意，是二面角是直二面角，又二面角是直

26、二面角，又，平面，又平面平面平面（ii）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角在中，又在中，异面直线与所成角的大小为（iii）由（i）知，平面，是与平面所成的角，且当最小时，最大，这时，垂足为，与平面所成角的最大值为解法二：（i）同解法一（ii）建立空间直角坐标系，如图，则，异面直线与所成角的大小为（iii）同解法一4、（安徽理17）如图，在六面体abcda1b1c1d1中，四边形abcd是边长为2的正方形，四边形a1b1c1d1是边长为1的正方形，dd1平面a1b1c1d1，dd1平面abcd，dd12。（）求证：a1c1与ac共面，b1d1与bd共面；（）求证：平面a1acc1

27、平面b1bdd1；（）求二面角abb1c的大小（用反三角函数值圾示）；5、（福建理18）如图，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1中点。（）求证：ab1面a1bd；（）求二面角aa1db的大小；（）求点c到平面a1bd的距离；分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力满分12分解答：解法一：（）取中点，连结为正三角形，abcdof正三棱柱中，平面平面，平面连结，在正方形中，分别为的中点，在正方形中，平面（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面，为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又，所以

28、二面角的大小为（）中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由得，点到平面的距离为解法二：（）取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，xzabcdofy，平面（）设平面的法向量为，令得为平面的一个法向量由（）知平面，为平面的法向量，二面角的大小为（）由（），为平面法向量，点到平面的距离6、（广东理19）如图6所示，等腰abc的底边ab=6，高cd=3，点b是线段bd上异于点b、d的动点.点f在bc边上，且efab.现沿ef将bef折起到pef的位置，使peae。记bex，v(x)表示四棱锥pacfe的体积。（）求v

29、(x)的表达式；（）当x为何值时，v(x)取得最大值？（）当v(x)取得最大值时，求异面直线ac与pf所成角的余弦值；33（湖北理18题）如图，在三棱锥v-abc中，vc底面abc，acbc，d是ab的中点，且ac=bc=a，vdc=。（）求证：平面vab平面vcd ；（）当角变化时，求直线bc与平面vab所成的角的取值范围；分析：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力解答：解法1：（），是等腰三角形，又是的中点，又底面于是平面又平面，平面平面（） 过点在平面内作于，则由（）知平面连接，于是就是直线与平面所成的角ad

30、bchv在中，；设，在中，又，即直线与平面所成角的取值范围为解法2：（）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即同理，即又，平面又平面平面平面（）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，adbcvxyz则由得可取，又，于是，又，即直线与平面所成角的取值范围为解法3：（）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即同理，即又，平面又平面，平面平面（）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，adbcvxy则由，得可取，又，于是，又，即直线与平面所成角的取值范围为解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的

31、空间直角坐标系，则设adbcvxyz（），即，即又，平面又平面，平面平面（）设直线与平面所成的角为，设是平面的一个非零法向量，则取，得可取，又，于是，关于递增，即直线与平面所成角的取值范围为aebgdfcaebcfdg1g2图1图27、（湖南理18）如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，并连结，使得平面平面，且连结，如图2（i）证明：平面平面；（ii）当，时，求直线和平面所成的角；解：解法一：（）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（ii）过点作于点，连结由（i）的结论可知，平面，所以是和平面所成的角因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，故因为，

32、所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形由题设，则所以，因为平面，所以平面，从而故，又，由得故即直线与平面所成的角是解法二：（i）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，从而又，所以平面因为平面，所以平面平面（ii）由（i）可知，平面故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），由题设，则，相关各点的坐标分别是，所以，设是平面的一个法向量，由得故可取过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上因为，所以，设（），由，解得，所以设和平面所成的角是，则故直线与平面所成的角是abcda1d1c1b1gmhfe8、（江苏理18）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且。（i

33、）求证：四点共面；（4分）（ii）若点在上，点在上，垂足为，求证：面；（）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。9、（江西理20）右图是一个直三棱柱（以a1b1c1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为abc已知a1b1b1c1l，alblc190，aal4，bbl2，ccl3。（i）设点o是ab的中点，证明：oc平面a1b1c1；（ii）求二面角baca1的大小；（）求此几何体的体积；解法一：（1）证明：作交于，连则因为是的中点，所以则是平行四边形，因此有平面且平面，则面（2）如图，过作截面面，分别交，于，作于，连因为面，所以，则平面又因为，所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角

34、因为，所以，故，即：所求二面角的大小为（3）因为，所以所求几何体体积为解法二：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，因为是的中点，所以，易知，是平面的一个法向量因为，平面，所以平面（2），设是平面的一个法向量，则则，得：取，显然，为平面的一个法向量则，结合图形可知所求二面角为锐角所以二面角的大小是（3）同解法一10、（辽宁理18）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为。（i）证明：；（ii）求的长，并求点到平面的距离。11、（海南、宁夏理19）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值证明：（）由题设，连结，为等腰直角三角形，

35、所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解法一：取中点，连结，由（）知，得为二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值为解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为12、（陕西理19）如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，,bc=6。()求证：；()求二面角的大小；解法一：（）平面，平面又，即又平面（）过作，垂足为，连接平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知，为二面角的平面角aedpcbf又，又，由得在中，二面角的大小为解法二：（）如图，建立坐标系，则，aedpcbyzx，又，平面（）设平面的法向量为，则，又，解得