附录 平面几何性质

1、 1、介绍与截面形状和尺寸有关的几何量 -静矩、惯性矩、惯性积的概念； 2、计算这些量所用的平行移轴公式，转轴 公式等； 3 3、主惯性轴主惯性轴及及主惯性矩主惯性矩的概念 重点了解这些量的定义及计算方法. 附录附录1 1平面图形的几何性质平面图形的几何性质 拉压正应力拉压正应力 A N dAA 扭转切应力扭转切应力 p I T A p dAI 2 应力的计算通常用要到构件应力的计算通常用要到构件 截面的几何参数截面的几何参数，例如：，例如： 1 静矩和形心静矩和形心 此式为确定平面图形的形心坐标公式此式为确定平面图形的形心坐标公式 1静矩静矩 A z ydASdAzS A y 称为图形对称为

2、图形对y和和z轴的静矩或一次矩。轴的静矩或一次矩。 A ydA y A A zdA z A 2形心形心 A S y z A S z y Z SA yy SA z 1 1、截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，故静矩与坐标轴有、截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，故静矩与坐标轴有 关；关；静矩可以是正、可以是负或零；静矩可以是正、可以是负或零； 2 2、若截面对某一轴的静矩为零，则该轴必然通过图形的形心，、若截面对某一轴的静矩为零，则该轴必然通过图形的形心， 反之，若某一轴通过形心，则图形对该轴的静距为反之，若某一轴通过形心，则图形对该轴的静距为0 0 3 3、静矩单位：长度的三次方、静矩单位：长

3、度的三次方 对称图形形心的位置对称图形形心的位置 有一个对称轴：有一个对称轴： 形心形心C位于该轴上位于该轴上 z C y y z C 有两个对称轴：有两个对称轴： 两个对称轴的交点两个对称轴的交点 就是形心就是形心C的位置的位置 C y z 对某点对称对某点对称 （中心对称）：（中心对称）： 形心形心C位于对称中心位于对称中心 三、组合图形（截面）的静矩与形心 n i iiy n i iiZ zAS yAS 1 1 n i i n i ii n i i n i ii A zA z A yA y 1 1 1 1 （1）组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆）组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆

4、形、三角形）组成平面图形。形、三角形）组成平面图形。 （2）静矩定理：整个图形对某轴之静矩等于组）静矩定理：整个图形对某轴之静矩等于组 合图形各组成部分面积对该轴之矩的代数和。合图形各组成部分面积对该轴之矩的代数和。 , i Ai i 第 个分图形的面积； y z第 个分图形的形心坐标 n-表示图形由n部分组成 2 惯性矩、惯性半径和惯性积惯性矩、惯性半径和惯性积 1惯性矩惯性矩 A y dAzI 2 A z dAyI 2 2惯性半径惯性半径 A I i y y A I i z z 4惯性积惯性积 A yz yzdAI 2 2 zz yy iAI iAI 3惯性矩与极惯性矩的关系惯性矩与极惯性

5、矩的关系 A p dAI 2 22 zy A yz dAII 性 质： 1、惯性矩和惯性积是对一定轴而惯性矩和惯性积是对一定轴而 定义的，而极惯矩是对点定义的。定义的，而极惯矩是对点定义的。 2、惯性矩和极惯性矩恒为正，惯性惯性矩和极惯性矩恒为正，惯性 积可能为正、为负、为零。积可能为正、为负、为零。 3、任何平面图形对于通过其形任何平面图形对于通过其形 心的对称轴和与此对称轴垂直的轴心的对称轴和与此对称轴垂直的轴 的的惯性积惯性积为零。为零。 A zy zydAIdAzyzydA AA 22 0 4、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴 分布的越远，其惯性

6、矩越大。分布的越远，其惯性矩越大。 z dA y z dA y 5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积 n i PiP II 1 n i yiy II 1 n i ziz II 1 n i zyizy II 1 矩形截面对其对称轴的惯性矩 64 4 D II yz 3 1 12 y Ibh 3 1 12 z Ihb 圆环外径为D，内径为d yz II ）（ 44 1 32 1 22DIIIII yzyzp 圆截面直径为D y z 4 32 1 22DIIIII yzyzp D d ）（ 4 4 1 64 D 32322 1

7、44 dD o 3 平行移轴公式平行移轴公式 图形对形心轴yc和zc的惯性矩和惯性惯性矩和惯性 dAzI A cyc 2 dAzyI A cczy cc 图形对轴y ,z和的惯性距和惯性积惯性距和惯性积分别为 dAyI A czc 2 dA O yc y zc y b yc a z zc 积积分别为 z A yz A z A y yzdAI dAyI dAzI 2 2 byy azz c c abAII AbII AaII yczcyz zcz ycy 2 2 证明abAII zcyczy dAaybzzydAI ccAzy dAyz ccA ccy z I 结论： 在所有相互平行的坐标轴中，

8、图 形对形心轴的惯性矩为最小，但图形 对形心轴的惯性积不一定是最小 AbII zcz 2 AaII ycy 2 dAbyadAz cAcA dAab A 00AbaabAI zcyc 注意：a和b是图形的形心在0yz坐标系中的坐 标，是有正负的。 平行移轴定理：平行移轴定理： 截面对平行于形心轴的其它任意轴的惯性矩截面对平行于形心轴的其它任意轴的惯性矩 等于该截面对形心轴的惯性矩加上其面积乘以等于该截面对形心轴的惯性矩加上其面积乘以 两轴之间距离的平方，惯性积两轴之间距离的平方，惯性积-。 意义: 提供了计算平面图形（如组合图形）对平行于 形心轴的任意轴惯性矩和惯性积的计算方法,也可 反算对形

9、心轴的惯性矩及惯性积。 n i PiP II 1 n i yiy II 1 n i ziz II 1 n i zyizy II 1 组合截面 主惯性轴主惯性轴: 图形对某对坐标轴惯性积为零, 这对坐标轴称为该图形的主惯性轴。简称为主轴。 主惯性矩主惯性矩: 图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩 形心主轴形心主轴: 过形心的主轴称为形心主轴 形心主矩形心主矩: 图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩 4 4 截面的主惯性轴及主惯性矩截面的主惯性轴及主惯性矩 2cos2sin 2 11zy yz yz I II I y1 z1 y z q O 形心主惯性平面形心主惯性平面: 杆件横截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面 截面几何性质小结截面几何性质小结 1. 静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系 中的数值有一定的关系中的数值有一定的关系 2. Iz、Iy 恒为正，恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位置可正可负，与坐标轴位置 有关有关 3. 对形心轴静矩为对形心轴静矩为0，对称轴，对