第六章 空间几何和失量代数1-2

1、本学期内容本学期内容 第六章第六章 空间解析几何与矢量代数空间解析几何与矢量代数 第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 第八、九章第八、九章 多元函数积分学多元函数积分学 第十章第十章 级数级数 第六章第六章 空间解析几何和矢量代数空间解析几何和矢量代数 0本章的地位本章的地位: : 学习多元函数微积分的基础学习多元函数微积分的基础. . 0研究特点研究特点: : 通过代数运算解决几何问题通过代数运算解决几何问题. . 0采用的方法采用的方法: : 坐标法和矢量法坐标法和矢量法. . 给出了几何问题的统一给出了几何问题的统一 笛卡儿笛卡儿(1596 1650) 法国哲学家法国哲学家, 数

2、学家数学家, 物理学家物理学家, 他他 是解析几何奠基人之一是解析几何奠基人之一 . 1637年他发年他发 表的表的几何学几何学论文分析了几何学与论文分析了几何学与 代数学的优缺点代数学的优缺点, 进而提出了进而提出了 “ 另外另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点恩格斯把它称为数学中的转折点. 把几何问题化成代数问题把几何问题化成代数问题 , 作图法作图法, 在平面解析几何中，通过坐标把平面在平面解析几何中，通过坐标把平面 上的上的

3、与与对应起来，把平面对应起来，把平面 上的上的形形和和对应起来，从而可以用代对应起来，从而可以用代 数方法研究几何问题，空间解析几何也是数方法研究几何问题，空间解析几何也是 按照类似的方法建立起来的。按照类似的方法建立起来的。 第六章第六章 空间解析几何和矢量代数空间解析几何和矢量代数 数量关系数量关系 坐标坐标, ,方程（组）方程（组） 第一部分第一部分 矢量代数矢量代数 第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中在三维空间中: : 空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面 基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 矢量法矢量法 第六章第六章 空间解析几何和矢量代数空间解析几

4、何和矢量代数 6.1 6.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 x横轴横轴 y纵轴 纵轴 z竖轴竖轴 定点定点o 空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向 符合符合. 一、空间直角坐标系与点的坐标一、空间直角坐标系与点的坐标 x yo z xoy面面 yoz面面 zox面面 空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限 三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间 空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11 特殊点的表示特殊点的表示: )0 , 0 , 0(O M x y z o P Q R A B C 坐标轴上的点坐标轴上

5、的点 ,P ,Q,R 坐标面上的点坐标面上的点 ,A,B,C 设设M M是空间的一点是空间的一点, , 过点过点M M做平行于坐标面的三个平面做平行于坐标面的三个平面, , 该三个平面与坐标轴的三个截距值该三个平面与坐标轴的三个截距值x,y,zx,y,z就是点就是点M M的坐标的坐标. . ）（z ,y,x ）（0 ,y,x ）（z ,y,0 ）（z ,x 0 ）（00,x ）（00,y, ）（z ,00 过点过点M1 , M2 分别作平行于坐标面的平面分别作平行于坐标面的平面, 形成一个形成一个 六面体六面体. 设设),( 1111 zyxM、),( 2222 zyxM为为空空间间两两点点

6、x y z o 1 M PN Q R 2 M ? 21 MMd 在在直直角角 21NM M 及及 直直 角角PNM 1 中中，使使用用勾勾股股定定 理理知知 , 2 2 22 1 2 NMPNPMd 二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离 1 P 1 R 1 Q 2 P 2 R 2 Q , 121 xxPM , 12 yyPN , 122 zzNM 2 2 22 1 NMPNPMd . 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为 ,),(zyxM)0 , 0 , 0(O OMd . 222 zyx x y

7、 z o 1 M PN Q R 2 M 解解 设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为P在在x轴上，轴上， 1 PP 2 2 2 32 x ,11 2 x 2 PP 2 2 2 11 x, 2 2 x 1 PP,2 2 PP 11 2 x22 2 x , 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 6.26.2 矢量代数矢量代数 矢量：矢量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. . 矢量表示：矢量表示： 以以 1 M为起点，为起点， 2 M为终点的有向线段为终点的有向线段. 1 M 2 M a 21M M 模长为模长为1 1的矢量的矢量. . 21

8、M M 00 a 零矢量：零矢量：模长为模长为0 0的矢量的矢量. .0 |a 21M M | | 矢量的模：矢量的模：矢量的大小矢量的大小. . 单位矢量：单位矢量： 一、矢量的概念一、矢量的概念 或或 或或 或或 自由矢量：自由矢量： 不考虑起点位置的矢量不考虑起点位置的矢量. . 相等矢量：相等矢量： 大小相等且方向相同的矢量大小相等且方向相同的矢量. . 反矢量：反矢量： 大小相等但方向相反的矢量大小相等但方向相反的矢量. . a 矢径：矢径： a b a a 空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点 构成的矢量构成的矢量. . OM M 1 加法：加法：cba a

9、b c （平行四边形法则）（平行四边形法则） （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则） 二、矢量的运算二、矢量的运算 1 a 2 a n a n aaa 21 特殊地：若特殊地：若a b a b c |bac 分为同向和反向分为同向和反向 b a c |bac 矢量的加法符合下列运算规律：矢量的加法符合下列运算规律： （1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa a b c ba cb cba )( )(cba 2 减法减法)( baba a b b b c ba bac )( b

10、a ba a b 例例2 2 试用矢量方法证明：对角线互相平分的试用矢量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形. 证证 AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD 与与 平行且相等平行且相等, BC 结论得证结论得证. A B C D M a b , 0)1( a 与与a 同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a 反反向向，|aa a a 2 a 2 1 3 矢量与数的乘法矢量与数的乘法 同同方方向向的的单单位位矢矢量量，表表示示与与非非零零矢矢量量设设aa 0 按照矢量与数量的乘积的规定，按照矢量与数量的乘积的规定， 0 |

11、aaa . | 0 a a a 上式表明：一个非零矢量除以它的模的结果是上式表明：一个非零矢量除以它的模的结果是 一个与原矢量同方向的一个与原矢量同方向的单位矢量单位矢量. 数量与矢量的乘积符合下列运算规律：数量与矢量的乘积符合下列运算规律： （1 1）结合律：）结合律：)()(aa a )( （2 2）分配律：）分配律：aaa )( baba )( .ab aba ，使使一一的的实实数数分分必必要要条条件件是是：存存在在唯唯 的的充充平平行行于于，那那么么矢矢量量设设矢矢量量定定理理0 两个矢量的平行关系两个矢量的平行关系 证证必要性必要性 0, ,)1 000 00 a b a a b a

12、a a b abbbb abba 因因此此则则同同向向与与如如果果 0,)( ,)2 000 00 a b aaa a b abbbb abba 因因此此则则反反向向与与如如果果 .ab aba ，使使一一的的实实数数分分必必要要条条件件是是：存存在在唯唯 的的充充平平行行于于，那那么么矢矢量量设设矢矢量量定定理理0 两个矢量的平行关系两个矢量的平行关系 .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又又设设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a ，故故0 . 即即 充分性充分性: ,)( , )(:),0(0 倍倍的的长长度度的的长长度度是是 反反向向同同向向与与由由定定义义

13、知知如如果果 ab ba a b 故故知知 例例3 3 试用矢量方法证明：空间四边形相邻各试用矢量方法证明：空间四边形相邻各 边中点的连线构成平行四边形边中点的连线构成平行四边形. 证证: 只要证只要证 HGEF 结论得证结论得证. ACDCADDGHDHG 2 1 2 1 2 1 ACBCABBFEBEF 2 1 2 1 2 1 HGEF A B C D E F G H 三、三、 矢量的坐标矢量的坐标 1 空间两矢量的夹角的概念：空间两矢量的夹角的概念： , 0 a, 0 b a b ),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义矢量与一轴矢量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.

14、特殊地，当两个矢量中有一个零矢量时，规定特殊地，当两个矢量中有一个零矢量时，规定 它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 1 矢量的投影矢量的投影 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影 l A A 2 空间点与矢量在轴上的投影：空间点与矢量在轴上的投影： 空间一矢量在轴上的投影空间一矢量在轴上的投影 l A A B B 2 空间点与矢量在轴上的投影：空间点与矢量在轴上的投影： ABjuPr .BA 向量向量AB在轴在轴u上的投影记为上的投影记为 关于向量的关于向量的投影定理投影定理 ABjuPr cos| AB 证证 u A B A B B ABjuPrAB

15、j u Pr cos| AB u 定理定理1 1 定理定理1 1的说明：的说明： 投影为正；投影为正； 投影为负；投影为负； 投影为零；投影为零； u a b c (4) 相等矢量在同一轴上投影相等；相等矢量在同一轴上投影相等； 0)1(, 2 2 )2(, )3(, 2 关于矢量的关于矢量的投影定理投影定理 .ajPrajPr)aa(jPr uuu2121 A A B B C C （可推广到有限多个）（可推广到有限多个） u 1 a 2 a 定理定理2 2 在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下, 设点设点 M , ),(zyxM则则 沿三个坐标轴方向的沿三个坐标轴方向的分矢量分矢量. kzj

16、yixr ),(zyx x o y z M N B C i j k A ,z ,y,xk,j ,i轴轴上上的的单单位位矢矢量量分分别别表表示示以以 的坐标为的坐标为 此式称为矢量 r 的坐标分解式坐标分解式 , rkz ,jy,ix 称为矢量称为矢量 r 任意矢量任意矢量 r 可用矢径可用矢径 OM 表示表示. NMONOMOCOBOA , ixOA , jyOB kzOC 2 矢量的分解与矢量的坐矢量的分解与矢量的坐 标标 矢量的矢量的坐标分解式坐标分解式： 在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分矢量分矢量： ,kz, j y, i x 矢量的矢量的坐标表达式坐标表达式： )z, y,x(r 矢

17、量的矢量的坐标坐标：, z, y,x )z ,y,x( kzjyixr 矢量的矢量的投影投影：, z, y,x M1 M2 o x y z .,: 2121 如如图图作作三三个个向向量量解解MMOMOM .MM),z ,y,x(M),z ,y,x(M的坐标表达式的坐标表达式求求设已知设已知例例 2122221111 4 .),zz ,yy,xx(OMOMMM ),z ,y,x(OM),z ,y,x(OM 1212121221 22221111 设 ),( zyx aaaa , ),( zyx bbbb 则 ba ),( zzyyxx bababa a ),( zyx aaa ab ,0 时当

18、a ab xx ab yy ab zz ab x x a b y y a b z z a b 平行矢量对应坐标成比例平行矢量对应坐标成比例: ，为实数 矢量的加减法、矢量与数的乘法运算的坐标表达式矢量的加减法、矢量与数的乘法运算的坐标表达式 .B,AB AB),(a,A 点点的的坐坐标标求求使使 的的方方向向取取线线段段沿沿矢矢量量从从点点例例 34 ,21987125 ）（则则设点设点解解712 z ,y,xAB),z ,y,x(B .17,17,18, 2 ,171298,34, 222 Bk aakABakAB 而而 3 矢量的模与方向余弦的坐标表示式矢量的模与方向余弦的坐标表示式 22

19、2 zyx ),(zyxr 设则有 OMr 222 OROQOP x o y z M N Q R P 由勾股定理得 ),( 111 zyxA因 A B 得两点间的距离公式得两点间的距离公式: ),( 121212 zzyyxx 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxx 对两点与, ),( 222 zyxB , rOM 作 OMr OROQOP BABA OAOBBA 矢量模长的坐标表示式矢量模长的坐标表示式 o y z x ,)z , y,x(r0给定 r 方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. . 非零矢量与三条坐标轴的正向的夹角非零矢量与三条坐标轴的正向的夹角

20、 , , 称为称为 方向角方向角. . 3 矢量的模与方向余弦的坐标表示式矢量的模与方向余弦的坐标表示式 ,0 ,0 .0 o y z x r cos r y 222 zyx y cos r z 222 zyx z 1coscoscos 222 方向余弦的性质方向余弦的性质: :r 的单位矢量的单位矢量矢量矢量 r r r )cos,cos,(cos 方向余弦通常用来表示矢量的方向方向余弦通常用来表示矢量的方向. . 矢量方向余弦的坐标表示式矢量方向余弦的坐标表示式 cos r x 222 zyx x M Q P R 解解所求矢量有两个，一个与所求矢量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向 a 222 )6(76| a ,11 |a a 0 a, 11 6 11 7 11 6 kji 或或 0 a |a a . 11 6 11 7 11 6 kji 例例7. 已知两点)2,2,2( 1 M和 , )0,3, 1( 2 M 的模 、方向余弦和方向角 . 解解: ,21,23)