第五讲MATLAB的符号计算功能

1、MATLABMATLAB第五讲第五讲 MATLABMATLAB的符号计算功能的符号计算功能 一、符号表达式和符号矩阵的创建一、符号表达式和符号矩阵的创建 1、 符号变量的赋值符号变量的赋值 2、符号常量、符号常量 3、符号矩阵的创建、符号矩阵的创建 4、符号方程的创建、符号方程的创建 5、将数字矩阵转化为符号矩阵、将数字矩阵转化为符号矩阵 6、符号表达式的升幂、符号表达式的升幂 7、符号表达式的合并、符号表达式的合并 8、变量代换、变量代换 二、符号函数的微积分二、符号函数的微积分 1、求导数、求导数 2、求积分、求积分 3、 求泰勒级数求泰勒级数taylortool(f) 三、求符号方程的精

2、确解和近似解三、求符号方程的精确解和近似解 1、求解单个符号方程、求解单个符号方程 2 、对代数方程组求解、对代数方程组求解 四、符号矩阵的基本运算四、符号矩阵的基本运算 1、加、减、乘、加、减、乘 2、求逆运算、求逆运算 3、求符号矩阵的除法、求符号矩阵的除法 4、求矩阵的特征值和特征向量、求矩阵的特征值和特征向量 5、求符号矩阵的行列式、求符号矩阵的行列式 6、求符号矩阵的约当矩阵、求符号矩阵的约当矩阵 7、求符号矩阵的奇异值、求符号矩阵的奇异值 五、符号函数画图五、符号函数画图 六、求符号函数的零点六、求符号函数的零点 七、求微分方程的解七、求微分方程的解 一、入门 Symbolic工具

3、包 MATLAB有一个符号计算工具包叫作 Symbolic Math Toolbox 其中有60多个专用函数。包括微积分、线性代数、 方程求解、多项式的简约与展开、特殊数学函 数等。 sym的指令在C:MATLAB6p1toolboxsymbolic， 如果在搜索路境中没有设定则要添加。 符号表达式和符号矩阵的创建符号表达式和符号矩阵的创建 符号表达式是数字、函数、变量的MATLAB字 符串，或字符串数组。 符号运算是指使用已知的规则和给定的符号恆 等式求解符号方程。 生成符号表达式用引号或sym函数 例 M=a,b;c,d ? Undefined function or variable a

4、. M=sym(a,b;c,d) M=sym(a,b;c,d) M = a, b c, d 1、符号变量的赋值、符号变量的赋值 f1=sin(x)2；f2=exp(-x2/2)；f3=1/(1+x2)； f1 = sin(x)2 f2 = exp(-x2/2) f3 = 1/(1+x2) 符号常量符号常量 没有变量的符号表达式叫作符号常量 a2=3 a2 = 3 a2+1 ans = 52 a2是一个符号常量，它是用ASCII码来存储的，3的 ASCII码是51因此a2+1得到的是52而不是4 （1）sym命令命令 M1=sym(sin(x),cos(x);-cos(x),sin(x) M1

5、= sin(x), cos(x) -cos(x), sin(x) （2）直接输入法直接输入法 M2=1+x+x2,sin(x); cos(x), x2 M2 = 1+x+x2,sin(x) cos(x), x2 2、符号矩阵的创建、符号矩阵的创建 3、符号方程的创建、符号方程的创建 EQF=a*x2+b*x+c=0 EQF = a*x2+b*x+c=0 M=2/3,sqrt(3)/3,0.333;2.5,1/0.7,log(3) M = 0.6667 0.5774 0.3330 2.5000 1.4286 1.0986 fuhaoM=sym(M) fuhaoM = 2/3, sqrt(1/3)

6、, 333/1000 5/2, 10/7 , 4947709893870346*2(-52) 4、将数字矩阵转化为符号矩阵、将数字矩阵转化为符号矩阵 5、isstr( )用来检测变量是否符号变量 例 a2=3 a2 = 3 isstr(a2) ans = 1 a3=3 a3 = 3 isstr(a3) ans = 0 用引号定义的a2是符号 变量 用普通的赋值定义的变量 不是符号变量 6、符号表达式的升幂、符号表达式的升幂 f=2*x2+3*x-5; sympow(f,3) ans = (2*x2+3*x-5)3 7、符号表达式的合并、符号表达式的合并 f1=sin(x); f2=sin(2*

7、x); f3=symop(f1,/,f2,+,3) f3 = sin(x)/sin(2*x)+3 8、变量代换、变量代换 f1=1/(1+x2); f2=sin(x); subs(f1,s,x) ans = 1/(1+(s)2) subs(f2,alpha,x) ans = sin(alpha) 例例1计算符号函数的导数计算符号函数的导数 f=sin(x)2 %定义函数的符号表达式定义函数的符号表达式 f = sin(x)2 diff(f) ans = 2*sin(x)*cos(x) diff(f,2) ans = 2*cos(x)2-2*sin(x)2 二、符号函数的微积分 1、求导 dif

8、f(f) f=sin(x)2 ； int(f,x) ans = -1/2*sin(x)*cos(x)+1/2*x int(1/(1+x2) ans = atan(x) 2、符号函数求积分 inf(f) 例例 f=sin(x)2; taylortool(f) 3、求泰勒级数taylortool(f) 在框中可以交互作用，给出所需的阶 数，立即返回表达式和图形。 几个常用命令几个常用命令 Solve(方程方程）%求精确解求精确解 vpa(S,n) %求求n位有效数字的近似解位有效数字的近似解 numeric(S) %将不含自由自变量的近似解转将不含自由自变量的近似解转 化为数值解化为数值解 dig

9、its(n) % 设定近似解的有效位数设定近似解的有效位数 subs(S,Dsym,Fsym) %将数值将数值Fsym带入自变带入自变 量量Dsym 三、求符号方程的精确解和近似解三、求符号方程的精确解和近似解 R1=solve(x2-x-1=0) R1 = 1/2*5(1/2)+1/2 1/2-1/2*5(1/2) RV=vpa(R1) RV = 1.6180339887498948482045868343657 -.61803398874989484820458683436570 RV4=vpa(R1,4) RV4 = 1.618 -.6180 例例 对符号方程求解对符号方程求解 RV30

10、=vpa(R1,16) RV30 = 1.618033988749895 -.6180339887498950 numeric(R1) ans = 1.6180 -0.6180 1、求解单个符号方程、求解单个符号方程 solve(a*x2+b*x+c=0)%默认对缺省变量默认对缺省变量x求求 解解 ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2) solve(a*x2+b*x+c,b)%对对b求解求解 ans = -(a*x2+c)/x 2、对代数方程组求解、对代数方程组求解 equ1=d+(n+p)/2=q; equ2=p=n

11、+d+q-10; equ3=q+d=p+n/4; equ4=q+p=n+8*d-1; r1,r2,r3,r3=solve(equ1,equ2,equ3,equ4,p,n,d,q) r1 = 3 r2 =8 r3 =15 r3 =15 1、 加、减、乘加、减、乘 symadd(A,B) %符号加符号加 symsub(A,B） %符号减符号减 symmul(A,B) %符号乘符号乘 四、符号矩阵的基本运算 例例 format compact A=sym(a11,a12;a21,a22) B=sym(b11,b12;b21,b22) C=symadd(A,B) C = a11+b11, a12+b1

12、2 a21+b21, a22+b22 D=symsub(A,B) D = a11-b11, a12-b12 a21-b21, a22-b22 E=symmul(A,B) E = a11*b11+a12*b21, a11*b12+a12*b22 a21*b11+a22*b21, a21*b12+a22*b22 例例 求二阶符号矩阵的逆求二阶符号矩阵的逆 M=sym(a,b;c,d) M = a, b c, d inv(M) ans = d/(a*d-b*c), -b/(a*d-b*c) -c/(a*d-b*c), a/(a*d-b*c) 2、求逆运算、求逆运算 3、求符号矩阵的除法、求符号矩阵的

13、除法 symdiv(A,B) ans = -1/(-b11*b22+b12*b21)*(b22*a11-b21*a12), (- b11*a12+a11*b12)/(-b11*b22+b12*b21) -1/(-b11*b22+b12*b21)*(-b21*a22+b22*a21), (- b11*a22+a21*b12)/(-b11*b22+b12*b21) 4、求矩阵的特征值和特征向量 V,a=eigensys(A) V = -(1/2*a22-1/2*a11-1/2*(a222 -2*a11*a22+a112+4*a12*a21)(1/2)/a21, -(1/2*a22-1/2*a11+

14、1/2*(a222- 2*a11*a22+a112+4*a12*a21)(1/2)/a21 1, 1 a = 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2), 0 0,1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2) 5、求符号矩阵的行列式 例例 A=sym(a11,a12;a21,a22)%定义符号矩阵定义符号矩阵 A = a11, a12 a21, a22 detA=determ(A) detA = a11*a22-a12*a21 f=sym(1/2,1/4;1

15、/4,1/2) f = 1/2, 1/4 1/4, 1/2 V,J=jordan(f) V = 1/2, 1/2 -1/2, 1/2 J = 1/4, 0 0, 3/4 6、求符号矩阵的约当矩阵 inv(V)AV 7、求符号矩阵的奇异值 M=sym(magic(3) %构造3阶魔方阵 M = 8, 1, 6 3, 5, 7 4, 9, 2 singvals(M) %求奇异值 ans = 15 2*3(1/2) 4*3(1/2) fplot(function,a,b) %画出函数f(x)在 a,b上的图形 例 画出函数在0，8上的图形 f=2*exp(-x)*sin(x); %定义函数 fplo

16、t(f,0,8) 五、符号函数画图 fzero(fun,a,b, ,options) 在求零点之前先要确定一个根的隔离区间，也在求零点之前先要确定一个根的隔离区间，也 就是说，就是说，a,b区间内有且仅有函数的一个零点，区间内有且仅有函数的一个零点， 这里采用的是对分法求零点。这里采用的是对分法求零点。 fzero(fun,x0) %用牛顿法求零点。用牛顿法求零点。 例例 求函数的零点求函数的零点 fx=x3-x+1; a=fzero(fx,-1) 六、求符号函数的零点 七、求微分方程的解 dsolve(Dy=1+y2) %求通解 ans = tan(t+C1) dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1)%求特解 ans = tan(t+1/4*pi) 求二阶微分方程的解 y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0) y = C1*exp(3*t)+C2*exp(-t) y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,y(0)=0,y(1)=1) y = 1/(exp(3)-exp(-1)*exp(3*t)-1/(exp(3)-exp(-1)*exp(-t) y=simple(y) %化简表达式化简表达式 y = (exp(3*t)-exp(-t)/(exp(3)-exp(-1) ezplot(y,-6,2) 画出二阶微分