立体及其表面上的点和线

1、 立体及其表面上的点和线 一、立体的三视图及其投影规律一、立体的三视图及其投影规律 二、平面立体及其表面上的点和线二、平面立体及其表面上的点和线 三、回转体及其表面上的点和线三、回转体及其表面上的点和线 平面立体平面立体曲面立体曲面立体 一、立体的三视图及其投影规律 依据依据表面性质表面性质不同，立体可分为：不同，立体可分为：平面立体平面立体和和曲面立体曲面立体。 平面立体：表面全是平面的立体。平面立体：表面全是平面的立体。 曲面立体：表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体。曲面立体：表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体。 在工程上，将立体的三面投影称为在工程上，将立体的三面投影称为三视图三视图

2、。 V 一、立体的三视图及其投影规律 a b s b a c s b” s” a” (c”) 投影过程：投影过程： (1)建立坐标系建立坐标系; ; ( (一一) ) 三棱锥的三视图三棱锥的三视图 主视图：从前向后做正投射得到的图形。主视图：从前向后做正投射得到的图形。 俯视图：从上向下做正投射得到的图形。俯视图：从上向下做正投射得到的图形。 左视图：从左向右做正投射得到的图形。左视图：从左向右做正投射得到的图形。 (2)作正投影作正投影; ; (3)投影面展开投影面展开; ; 主视图主视图 左视图左视图 俯视图俯视图 各点投影符合各点投影符合 三面投影特性三面投影特性 S A C B O X

3、 Z Y V 一、立体的三视图及其投影规律 a b s b a c s b” s” a” (c”) 投影过程：投影过程： (1)建立坐标系建立坐标系; ; (2)作正投影作正投影; ; (3)投影面展开投影面展开; ; c ( (一一) ) 三棱锥的三视图三棱锥的三视图 O X Z Y a b s c b” s” a” (c”) 投影过程：投影过程： (1)建立坐标系建立坐标系; ; (2)作正投影作正投影; ; (3)投影面展开投影面展开; ; 一、立体的三视图及其投影规律 b a c s ( (一一) ) 三棱锥的三视图三棱锥的三视图 O XYW Z YH VW a b s c b” s”

4、 a” (c”) 投影过程：投影过程： (1)建立坐标系建立坐标系; ; (2)作正投影作正投影; ; (3)投影面展开投影面展开; ; 一、立体的三视图及其投影规律 a s b c ( (一一) ) 三棱锥的三视图三棱锥的三视图 O XYW Z YH V H W a b s c b” s” a” (c”) 投影过程：投影过程： (1)建立坐标系建立坐标系; ; (2)作正投影作正投影; ; (3)投影面展开投影面展开; ; 一、立体的三视图及其投影规律 b a c s XYW Z YH (4)整理图形。整理图形。 ( (一一) ) 三棱锥的三视图三棱锥的三视图 O a b s c b” s”

5、 a” (c”) 投影过程：投影过程： (1)建立坐标系建立坐标系; ; (2)作正投影作正投影; ; (3)投影面展开投影面展开; ; 一、立体的三视图及其投影规律 b a c s (4)整理图形。整理图形。 ( (一一) ) 三棱锥的三视图三棱锥的三视图 a b s c b” s” a” (c”) b a c s 上上 下下 上上 下下 左左右右后后前前 左左右右 后后 前前 一、立体的三视图及其投影规律 ( (二二) ) 三视图中的方位关系及投影规律三视图中的方位关系及投影规律 三视图投影规律：三视图投影规律： (1)主、俯视图长对正主、俯视图长对正; ; 一、立体的三视图及其投影规律

6、高平齐高平齐 长对正长对正 宽相等宽相等 (2)主、左视图高平齐主、左视图高平齐; ; (3)俯、左视图宽相等。俯、左视图宽相等。 三视图投影规律：三视图投影规律： a b s c b” s” a” (c”) b a c s ( (二二) ) 三视图中的方位关系及投影规律三视图中的方位关系及投影规律 ( (一一) ) 平面立体投影图的特点平面立体投影图的特点 二、平面立体及其表面上的点和线 步骤：步骤： 1.1.画图画图画出棱线和顶点的投影画出棱线和顶点的投影 (1)画底面画底面ABC 的三投影的三投影; ; (2)画顶点画顶点S 的三投影的三投影; ; (3)画左棱面画左棱面SAB 的三投影

7、；的三投影； (4)画右棱面画右棱面SBC 的三投影；的三投影； (5)画后棱面画后棱面SAC 的三投影。的三投影。 X O YW YH Z a c b a b c b” a” (c”) s s s” A C B S S A C B S A C B S A C B X O YW YH Z a c b a b c b” a” (c”) s s s” 二、平面立体及其表面上的点和线 2.2.投影分析投影分析 (1)底面底面ABC ：一个三角形、：一个三角形、 两条直线。两条直线。( (水平面水平面) ) 注意：注意： 一个粗实线封闭的线框，表一个粗实线封闭的线框，表 示一个面的投影，通常又是两个示

8、一个面的投影，通常又是两个 表面的重影。表面的重影。 (2)左棱面左棱面SAB ：三个三角：三个三角 形。形。( (一般位置平面一般位置平面) ) (3)右棱面右棱面SBC ：三个三角：三个三角 形。形。( (一般位置平面一般位置平面) ) (4)后棱面后棱面SAC ：两个三角：两个三角 形、一条直线。形、一条直线。 ( (侧垂面侧垂面) ) ( (一一) ) 平面立体投影图的特点平面立体投影图的特点 X O YW YH Z a c b a b c b” a” (c”) s s s” X O YW YH Z a c b a b c b” a” (c”) s s s” X O YW YH Z a

9、 c b a b c b” a” (c”) s s s” V O X Z Y ( (二二) ) 立体的无轴投影图立体的无轴投影图 二、平面立体及其表面上的点和线 立体投影的形状以及投影之间的关系与轴无关，因此，可立体投影的形状以及投影之间的关系与轴无关，因此，可 以不必画出投影轴。以不必画出投影轴。 V O X Z Y 二、平面立体及其表面上的点和线 在立体是无轴三投影图上，可以假想选取立体的对称面、在立体是无轴三投影图上，可以假想选取立体的对称面、 端面、轴线或某一点的投影作为坐标轴或坐标原点。端面、轴线或某一点的投影作为坐标轴或坐标原点。 s” b a c b” a” c” a c b s

10、 s o”o o 以以S点的投影作为坐标原点点的投影作为坐标原点以底面对称中心作为坐标原点以底面对称中心作为坐标原点 ( (二二) ) 立体的无轴投影图立体的无轴投影图 ( (三三) ) 平面立体的画法平面立体的画法 二、平面立体及其表面上的点和线 棱线的可见投影画成粗实线，棱线的不可见投影画成细虚棱线的可见投影画成粗实线，棱线的不可见投影画成细虚 线。线。 注意：注意： 1.1.所有投影的边缘轮所有投影的边缘轮 廓线都是可见的，要用粗廓线都是可见的，要用粗 实线画出。实线画出。 2.2.边缘轮廓线内直线边缘轮廓线内直线 的可见性，要利用交叉两的可见性，要利用交叉两 直线上的重影点来判断。直线

11、上的重影点来判断。 1(2) 1 2 s” a c b” a”c” a c b s s b 二、平面立体及其表面上的点和线 棱线的可见投影画成粗实线，棱线的不可见投影画成细虚棱线的可见投影画成粗实线，棱线的不可见投影画成细虚 线。线。 注意：注意： 3.3.在每一个投影的在每一个投影的 封闭轮廓线内，如有相封闭轮廓线内，如有相 交于一点的三条直线，交于一点的三条直线， 如果交点可见，则直线如果交点可见，则直线 也可见；它们或者全部也可见；它们或者全部 都不可见，或者全部都都不可见，或者全部都 可见。可见。 c” b a”b” c a c1” c a b b1 c1 a1 c1 b1 a1 YH

12、 O X b1” a1” YW ( (三三) ) 平面立体的画法平面立体的画法 ( (四四) ) 平面立体表面上的点平面立体表面上的点 二、平面立体及其表面上的点和线 平面立体表面上取点的方法与平面内取点方法完全相同。平面立体表面上取点的方法与平面内取点方法完全相同。 点的可见性由点所属面的可见性决定。点的可见性由点所属面的可见性决定。 例例1 1 已知点已知点K及无名点的正面投影，求其余两面投影。及无名点的正面投影，求其余两面投影。 K S A C B 分析：分析：k 可见，则点可见，则点K 位于左棱位于左棱 面面SAB上；另一点未标注可见性，上；另一点未标注可见性， 则该点可能位于右棱面或

13、后棱面上。则该点可能位于右棱面或后棱面上。 k b” s” a” (c”) a b c s b a c s b” s” a” (c”) a b c s b a c s k 例例1 1 已知点已知点K及无名点的正面投影，求其余两面投影。及无名点的正面投影，求其余两面投影。 二、平面立体及其表面上的点和线 作图：作图： (1)求取过求取过K 直线直线SM 的投影的投影 ; ; m m (2)按投影规律找到按投影规律找到k 和和k” ; ; k k” (3)过无名点正面投影做一过无名点正面投影做一 平行线，并求取其水平投影；平行线，并求取其水平投影； n n ( ) (5)第二种可能性。第二种可能性

14、。 (4)根据投影规律找到无名根据投影规律找到无名 点的水平投影和侧面投影；点的水平投影和侧面投影； S A B C 二、平面立体及其表面上的点和线 ( (五五) ) 平面立体表面上的线平面立体表面上的线 作图方法：与立体表面取点相同。作图方法：与立体表面取点相同。 注意：注意： 只有在同一表面内的相邻两点的同面投影才可以相连！只有在同一表面内的相邻两点的同面投影才可以相连！ 1 2 空间为空间为 一折线一折线 组成折线的两条线段的组成折线的两条线段的 共有点（转折点）在两个面共有点（转折点）在两个面 的交线（棱线）上。的交线（棱线）上。 转折点转折点 s a b(d) c a d c b s

15、 s a b(d) c a d c b s 例例2 2 已知四棱锥表面上线段的正面投影，求其水平投影。已知四棱锥表面上线段的正面投影，求其水平投影。 二、平面立体及其表面上的点和线 1 2 3 3 f f h g g h 1 2 作图：作图： (1)求取过求取过的直线的直线F 的投影的投影 ; ; (2)延长延长12，分别分别交交sa、sc于于g、h ; ; (3)作作G与与H 的水平投影；的水平投影； (4)求点求点和点和点的水平投影；的水平投影； (5)判断可见性并连线。判断可见性并连线。 三、回转体及其表面上的点和线 在工程上，回转体应用较为广泛。常见的回转体包括：在工程上，回转体应用较

16、为广泛。常见的回转体包括： 圆柱体圆柱体圆锥体圆锥体 回转面是一类特殊的曲面，是由母线绕固定轴线旋转得到回转面是一类特殊的曲面，是由母线绕固定轴线旋转得到 的。表面是回转面或回转面和平面的立体，称为回转体。的。表面是回转面或回转面和平面的立体，称为回转体。 圆球体圆球体圆环体圆环体 三、回转体及其表面上的点和线 ( (一一) ) 回转体的形成方法回转体的形成方法 母线上任意一点的轨迹是一个圆周母线上任意一点的轨迹是一个圆周(纬圆纬圆)；其圆心是轨迹平面和轴线；其圆心是轨迹平面和轴线 的交点，半径是点到轴线的距离。的交点，半径是点到轴线的距离。 名称名称 回回 转转 面面 形形 成成 方方 法法

17、 和和 简简 图图 一般一般 性质性质 直母线绕和直母线绕和 它相交的轴线回它相交的轴线回 转而成圆锥面转而成圆锥面 圆锥体圆锥体 直母线绕和直母线绕和 它平行的轴线回它平行的轴线回 转而成圆柱面转而成圆柱面 圆柱体圆柱体 由圆锥面和一个圆由圆锥面和一个圆 平面围成的实体平面围成的实体 由圆柱面和两个圆由圆柱面和两个圆 平面围成的实体平面围成的实体 O O A A1 形体形体 构成构成 O O 圆母线绕以圆母线绕以 它的直径为轴线它的直径为轴线 回转而成圆球面回转而成圆球面 圆球体圆球体 由圆球面围成的由圆球面围成的 实体实体 圆环体圆环体 O O S A O O 圆母线绕和圆母线绕和 它的共

18、面但不过它的共面但不过 圆心的轴线回转圆心的轴线回转 而成圆环面而成圆环面 由圆环面围成的由圆环面围成的 实体实体 ( (二二) ) 圆柱体圆柱体 三、回转体及其表面上的点和线 圆柱面最左、圆柱面最左、 最右素线投影最右素线投影 左右分界线左右分界线 前后分界线前后分界线 以轴线为铅垂线的圆柱体为例以轴线为铅垂线的圆柱体为例 投影图：投影图：空间分析：空间分析： 圆柱面最前、圆柱面最前、 最后素线投影最后素线投影 各面投影特点：各面投影特点： (1)圆柱面：一个圆柱面：一个 圆周与两个矩形；圆周与两个矩形； (2)上下底面：一上下底面：一 个圆与两条直线。个圆与两条直线。 Y Z X V 三、

19、回转体及其表面上的点和线 圆柱体的投影特点：圆柱体的投影特点： 1.在与轴线垂直的投影面上，在与轴线垂直的投影面上， 圆柱体的投影为圆。圆柱体的投影为圆。 2.在与轴线平行的两个投影面在与轴线平行的两个投影面 上，圆柱体的投影为全等的矩形。上，圆柱体的投影为全等的矩形。 注意：注意： 1.圆与矩形需要用细点画线画出对称中心线；矩形的对称圆与矩形需要用细点画线画出对称中心线；矩形的对称 中心线是轴线的投影，圆的圆心是轴线的积聚性投影。中心线是轴线的投影，圆的圆心是轴线的积聚性投影。 2.圆柱面有积聚性，在其有积聚性的投影（圆周）上，任圆柱面有积聚性，在其有积聚性的投影（圆周）上，任 何一点都是相

20、应位置直素线的投影。何一点都是相应位置直素线的投影。 ( (二二) ) 圆柱体圆柱体 三、回转体及其表面上的点和线 例例3 3 已知圆柱面上的点已知圆柱面上的点A的正面投影，求其余两面投影。的正面投影，求其余两面投影。 (a) a a” 作图：作图： (1)过过(a )作投影线，找到作投影线，找到 直线与圆周的交点直线与圆周的交点; ; 分析：分析： 由于圆柱面的水平投影有积由于圆柱面的水平投影有积 聚性，则聚性，则a必在圆周上必在圆周上; ;而而(a )不不 可见，则点可见，则点A必在后半个圆柱面必在后半个圆柱面 上；上；A点在左半个圆柱面上，故点在左半个圆柱面上，故a” 可见。可见。 (2

21、)根据投影规律求出根据投影规律求出a”。 ( (二二) ) 圆柱体圆柱体 三、回转体及其表面上的点和线 例例4 4 已知圆柱面上线段的水平投影，求其余两面投影。已知圆柱面上线段的水平投影，求其余两面投影。 a”a c c” b”(b) d”f” d d ACBACB的侧面投影的侧面投影 a c b f f 分析：分析： 线段的侧面投影随圆柱线段的侧面投影随圆柱 面积聚为一段圆弧，可利用面积聚为一段圆弧，可利用 积聚性作图。积聚性作图。 作图：作图： (1)取特殊点取特殊点; ; (2)取一般点；取一般点； (3)判断可见性，光滑连线。判断可见性，光滑连线。 ( (二二) ) 圆柱体圆柱体 三、

22、回转体及其表面上的点和线 ( (三三) ) 圆锥体圆锥体 以轴线为铅垂线的圆锥体为例以轴线为铅垂线的圆锥体为例 投影图：投影图：空间分析：空间分析： 各面投影特点：各面投影特点： 圆锥面最左、圆锥面最左、 最右素线投影最右素线投影 圆锥面最前、圆锥面最前、 最后素线投影最后素线投影 前后分界线前后分界线 左右分界线左右分界线 (1)圆锥面：一个圆锥面：一个 圆与两个等腰三角形；圆与两个等腰三角形； (2)底面：一个圆底面：一个圆 与两条直线。与两条直线。 Y Z X V 三、回转体及其表面上的点和线 圆锥体的投影特点：圆锥体的投影特点： 1.在与轴线垂直的投影面上，圆在与轴线垂直的投影面上，圆

23、 锥体的投影为圆。锥体的投影为圆。 2.在与轴线平行的两个投影面上，在与轴线平行的两个投影面上， 圆锥体的投影为全等的等腰三角形。圆锥体的投影为全等的等腰三角形。 注意：注意： 1.圆与等腰三角形需要用细点画线画出对称中心线，等腰圆与等腰三角形需要用细点画线画出对称中心线，等腰 三角形的对称中心线是轴线的投影。三角形的对称中心线是轴线的投影。 2.圆是锥面的投影，也是底面的投影；圆的圆心既是轴线圆是锥面的投影，也是底面的投影；圆的圆心既是轴线 的积聚性投影，也是锥顶的投影。的积聚性投影，也是锥顶的投影。 ( (三三) ) 圆锥体圆锥体 三、回转体及其表面上的点和线 例例5 5 已知圆锥面上的点

24、已知圆锥面上的点A的正面投影，求其余两面投影。的正面投影，求其余两面投影。 a” (a) a m m m” s s s” 作图：作图： (1)过过(a )作直素线作直素线sm ; 分析：分析： 圆锥面的投影没有积聚性，圆锥面的投影没有积聚性，a在在 圆内的某点处，但圆内的某点处，但A必过圆锥面内的必过圆锥面内的 一条素线一条素线; ;(a )不可见，则点不可见，则点A必在必在 后半个圆锥面上；后半个圆锥面上；A点在左半个圆锥点在左半个圆锥 面上，故面上，故a”可见。可见。 (2)求出求出sm和和s”m”； (3)在在sm和和s”m”上求得上求得a和和a”。 ( (三三) ) 圆锥体圆锥体 例例

25、6 6 已知圆锥面上的点已知圆锥面上的点A的水平投影，求其余两面投影。的水平投影，求其余两面投影。 三、回转体及其表面上的点和线 a m (a”) m PV a PW 作图：作图： (1)以以s为圆心，为圆心，sa 的距离为半的距离为半 径作纬圆，找到纬圆与圆锥最左素径作纬圆，找到纬圆与圆锥最左素 线的交点线的交点m，并求其正面投影，并求其正面投影m ; ; 分析：分析： A在圆锥面上，则过在圆锥面上，则过A必存在圆必存在圆 锥面内的一个纬圆锥面内的一个纬圆; ;A在前半个圆锥在前半个圆锥 面上，则面上，则a 可见；可见；A点在右半个圆锥点在右半个圆锥 面上，故面上，故a”不可见。不可见。 s

26、 ss” (2)作过作过M点的水平面点的水平面P 的迹线；的迹线； (3)在平面在平面P的迹线上求得的迹线上求得a与与a” 。 ( (三三) ) 圆锥体圆锥体 三、回转体及其表面上的点和线 例例7 7 已知圆锥面上曲线的侧面投影，求其余两面投影。已知圆锥面上曲线的侧面投影，求其余两面投影。 a b c (d) a b c d e s s s” (e) k m” n” n k” b” d” k m a” c” e” 分析：分析： 可用纬圆法或直素线可用纬圆法或直素线 法求解法求解; ;水平投影水平投影ac可可 见见, ,ce不可见；线段正面不可见；线段正面 投影全可见。投影全可见。 作图：作图：

27、 (1)特殊点；特殊点； (2)一般点；一般点； (3)判断可见性，连线。判断可见性，连线。 ( (三三) ) 圆锥体圆锥体 三、回转体及其表面上的点和线 ( (四四) ) 圆球体圆球体 投影图：投影图：空间分析：空间分析： 圆球面平行圆球面平行V面面 的圆素线投影的圆素线投影 圆球面平行圆球面平行W面面 的圆素线投影的圆素线投影 上下分界线上下分界线 左右分界线左右分界线 圆球面平行圆球面平行H面面 的圆素线投影的圆素线投影 圆球面：圆球面： 前后分界线前后分界线 三个全等的圆三个全等的圆 Y Z X V 例例8 8 已知圆球面上点的正面投影，求其余两面投影。已知圆球面上点的正面投影，求其余

28、两面投影。 三、回转体及其表面上的点和线 a(b) m m a b n” n a” b” 作图：作图： (1)过过a(b)作正面纬圆的水作正面纬圆的水 平投影，并求其另两面投影；平投影，并求其另两面投影； 分析：分析： 点在圆球面上，则过点必存点在圆球面上，则过点必存 在圆球面内的一个纬圆在圆球面内的一个纬圆; ;点在前点在前 左半圆球面上，则其正面投影和左半圆球面上，则其正面投影和 侧面投影都是可见的。侧面投影都是可见的。 (2)在纬圆的投影在纬圆的投影( (圆与直圆与直 线线) )上求得点的两面投影。上求得点的两面投影。 ( (四四) ) 圆球体圆球体 例例9 9 已知圆球面上曲线的正面投

29、影，求其余两面投影。已知圆球面上曲线的正面投影，求其余两面投影。 三、回转体及其表面上的点和线 b c a c (c”) a a” b b” e e (e”) d d d” 分析：分析： 只能用纬圆法作图；只能用纬圆法作图； 线段在上半圆球面上，则线段在上半圆球面上，则 其水平投影可见；其水平投影可见； 点点A在与在与W面平行的圆素线面平行的圆素线 上，它将线段的侧面投影分为上，它将线段的侧面投影分为 可见和不可见的两部分。可见和不可见的两部分。 作图：作图： (1)求特殊点求特殊点A、B、C ； (2)求线段上的一般点求线段上的一般点D、E ； (3)判断可见性，连线。判断可见性，连线。 ( (四四) )