用傅里叶变换分析连续系统和抽样定理

1、1 4-1 周期信号通过线性系统周期信号通过线性系统 第四章第四章 连续系统频域分析连续系统频域分析 对于周期信号对于周期信号f(t)=f(t+nT) ，当其满足狄氏条件时，可展成：，当其满足狄氏条件时，可展成： 1 0 )cos()( n nn tnAAtf tjn n ne F 一、基本信号一、基本信号 ： tj etf )()(ty )(*)()(tfthty tj ejH )( 可见，可见，ej t通过线性系统后响应随时间变化服从通过线性系统后响应随时间变化服从ej t ， H(j )相当相当 加权函数。加权函数。 H(j )为为h(t)的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。的傅

2、立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。 deh tj)( )( dehe jtj )( 2 正正弦弦量量。激激励励与与响响应应为为同同频频率率的的 二、基本信号二、基本信号 ： tAtfcos)()(ty tjtj ejHe )( 2 cos tjtj ee AtA )()( 2 )( tjtj ejHejH A ty )(cos)(tjHA )()( 2 )()(tjjtjj eejHeejH A )()(jHjH )()( )( 2 )( )()( tjtj eejH A ty 3 号号。激激励励与与响响应应均均为为周周期期信信 三、任意周期信号：三、任意周期信号： )(ty tjtj

3、ejHe )( tAcos )(cos)(tjHA 1 0 )cos()( n nn tnAAtf )(cos)( 1 0 n nn ntnBBty )()()()(jHjHth )0( 00 HAB 其中：其中： )(jnHAB nn 1 )cos( n nn tnA )(cos 1 n nn ntnB 1 0 )cos()( n nn tnAAtf 4 对于周期信号对于周期信号 )()(jHth )()(jFtf )(*)()(thtfty)()()(jHjFjY n tjn ne FnTtftf)()()(2)( nFjF n n )()(2)( nFjnHjY n n 结论：结论： 周

4、期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号；周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号； 周期激励信号的频谱为冲激序列，其响应频谱也为冲激序列。周期激励信号的频谱为冲激序列，其响应频谱也为冲激序列。 5 (a)(b) 【解】【解】 j jH 1 1 )( n jnt e n n tu) 2 sin( 1 )( (n为奇数为奇数) tttttu7cos 7 2 5cos 5 2 3cos 3 2 cos2)(即即： )69.785cos(08. 0)56.713cos(21. 0)45cos(2)(tttti j jH 1 1 )(45 2 1 31 1 )3( j jH 56.71 10 1 5

5、1 1 )5( j jH 69.78 26 1 6 j jH 1 1 )( n jnt e n n tu) 2 sin( 1 )( (n为奇数为奇数) )()()(jUjHjI n n n n jU)(2) 2 sin( 1 )( n n j n n )(2 1 1 ) 2 sin( 1 n n jn n n )(2 1 1 ) 2 sin( 1 (n为奇数为奇数) )69.785cos(08. 0)56.713cos(21. 0)45cos(2)(tttti tttttu7cos 7 2 5cos 5 2 3cos 3 2 cos2)( 7 频率特性频率特性 (a) (b) 【解】【解】 2

6、 2 )5(4)( n njF 2 2 5 2)( n ntj etf tttf10cos45cos42)( tjtj eety 55 2)( 1) 0(jH 2 1 ) 5(jH )()()(jHjFjY )5(2)(4)5(2n 0)10(jH tty5cos22)( t 5cos22 方法方法1： 方法方法2： 8 一、系统函数一、系统函数 4-2 非周期信号通过线性系统非周期信号通过线性系统 系统函数定义系统函数定义： )(tf )(ty dtethjH tj )()() 1 )( )( )( jF jY jH （1）h(t)的傅立叶变换；的傅立叶变换； （2）描述系统频率特性。）描述

7、系统频率特性。 )(*)()(thtfty )()(jFtf )()(jHth )()()(jHjFjY 系统函数计算：系统函数计算： )( )( )()2 jF jY jH jp pHjH )()() 3 激激励励相相量量 响响应应相相量量 )()4jH 9 )()()(tytyty fx )(*)()(thtftyf dejYty tj f )( 2 1 )( 练习：练习：求系统函数求系统函数H(j )。 )()()(jHjFjY 二、系统响应：二、系统响应： yx(t)系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值；系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值； yf(t)系统零状态响应，取决

8、于系统函数和激励。系统零状态响应，取决于系统函数和激励。 )()( 2 tUeth t 2 1 )( j jH )()1 ()( 2 tUeth t 2 11 )()( jj jH 三、系统频率特性：三、系统频率特性： )( )()( j ejHjH )( )( )( jF jY jH : )( )( )( jF jY jH : )( 系统幅频特性：响应与激励信号幅度比系统幅频特性：响应与激励信号幅度比 系统相频特性：响应与激励信号相位差系统相频特性：响应与激励信号相位差 10 )()()( 2 2 tUetUtu t 解：解： )()()( 2 jHjUjU 例例1：求图示电路的单位阶跃响应

9、。求图示电路的单位阶跃响应。 j jUtU 1 )()()( (a)(b) (a) 2 2 )( j jH 2 11 )( jj (b) 2 )( j j jH )()()( 2 jHjUjU 2 1 j2 1 )( j j j )()( 2 2 tUetu t 11 h(t)=(e-2t-e-3t)U(t), f (t)=e-tU(t), 求系统零状态响应求系统零状态响应 y(t) 。 解：解： jj jH 3 1 2 1 )( j jF 1 1 )( )()()(jFjHjY jjj 3 2/1 2 1 1 2/1 )() 2 1 2 1 ()( 32 tUeeety ttt ).(),(

10、10)(titUetu t s 求求 j jH 2 2/1 )( j jUs 1 10 )( 解：解： )()()(jUjHjI s )()55()( 2 tUeeti tt jj2 5 1 5 12 例例4：图示系统，激励图示系统，激励f(t)和系统的频率特性如图所示，求零状态响应和系统的频率特性如图所示，求零状态响应 y(t)。 )()()(jHjFjY 解：解： tjn n ne Ftf )( 2 2 T2 1 o F n j Fn 2 )(2)( nFjF n n )2()(2j )3( 3 1 )2( 2 1 )()()(jjjjF tjtj e j e j ty 22 22 1)(

11、 tt2sin 1 1 13 图示系统，图示系统， 求零状态响应求零状态响应 y(t) 。已知：。已知： 解：解： )()()(jXjHjY ttS1000cos)( )( 4 1 jH x(t) , 2 2sin )( t t tf )1000()1000()(jS ) 2 ()( SatG)(2) 2 ( G t Sa )()()(tstftx )(*)( 2 1 )( jSjFjX 2 1 )1000()1000(*)( 4 2 2 G )( 2 1 )( 4 GjF )1000()1000( 4 1 44 GG t t t ty1000cos sin 2 1 )( 14 4-3 信号通

12、过线性系统不失真条件信号通过线性系统不失真条件 一、时域：一、时域： )(tf)(ty )(*)()(thtfty )( 0 ttAf )()( 0 ttAth 二、频域：二、频域： 0 )( tj AejH 0 )( tj ejAF 0 )(t )()()(jHjFjY 信号失真信号失真 线性失真：幅度失真、相位失真线性失真：幅度失真、相位失真 非线性失真：非线性失真： 产生新的频率成分产生新的频率成分 AjH)( 全通幅频特性全通幅频特性 线性相移特性线性相移特性 )()(ttf 0 )( tj AejH 15 例例1：图示电路，图示电路， ，求响应，求响应y(t) 。 RCj jH 1

13、1 )( 2 ) 2 ) ()( Tj e T TSajF 解：解： )()()(jHjFjY RCj e T TSa Tj 1 1 ) 2 ) ( 2 )()()(TtUtUtf )()1 ()()1 ()(TtUetUety RC Tt RC t )()1 ()()()(tUetytUtf RC t ) 2 ()( T tGtf T 信号失真原因信号失真原因: 16 例例2: 图示系统，若要求不失真传输，（图示系统，若要求不失真传输，（1）求）求R1和和R2；（；（2）求电阻）求电阻 与电容参数关系与电容参数关系. （1） （2） 解：解： ) 1 ()( )() 1( )( 21 1 2

14、21 jRR R RjRR jH AjH)( 若要求不失真传输若要求不失真传输 22 2 11 1 22 2 11 1 )()2( RCj R RCj R RCj R jH 若要求不失真传输，则若要求不失真传输，则 2211 11RCjRCj 2211 RCRC 1 21 RR )( ) 1 ()( ) 1 )( )() 1 ( 21 21 jF j RjR j RjR jY 17 若能无失真传输，其条件为什么？若能无失真传输，其条件为什么？ ，能能否否无无失失真真传传输输？图图示示电电路路中中， C L R 例例3： 解：解： )( 2)1 ( )1 ( 2 2 jF LjRLC RLC L

15、jRLC RLC jH 2)1 ( )1 ( )( 2 2 222 2 4)1 ( )1 ( )( LRLC RLC jH 1 C L R RLC L acrtg )1 ( 2 )( 2 故该网络可以在一定频率范围无失真传输，其频率范围为：故该网络可以在一定频率范围无失真传输，其频率范围为： LC 1 )( 1 1 )( 2 2 jF LC LC jUo LC Lj jZ 2 0 1 2 )( )()( 0 jU ZR R jY o 18 c c tj e jH 0 1 0 0 t C 为截止频率，称为理想低通滤波器通频带。为截止频率，称为理想低通滤波器通频带。 在在0 C 的低频段内，传输信

16、号无失真。（有时延）的低频段内，传输信号无失真。（有时延） 4-4 理想低通滤波器理想低通滤波器 滤波器：滤波器： c c jH 0 1 分类：分类： o c tj eG )( 2 )( 2 c G 19 dejHth tj )( 2 1 )( c c dee tjtj 0 1 2 1 00 2 111 0 ttjttj CC ee jtt 0 0 sin tt tt c cc 0 ttSa c c ) t ( t 0 ttSath c c 或或 o c tj eGjH )( 2 )()( 2 tSaG c c c )()( 2oc c tj ttSaeG o c 20 1 1、h(t)h(t

17、)与与 (t)(t)比较，严重失真；比较，严重失真； 2 2、h(t)h(t)为抽样函数，最大值为为抽样函数，最大值为 3 3、滤波器限制输入信号高频成分；、滤波器限制输入信号高频成分； 4、 t2 m） s T 1 有限带宽信号有限带宽信号 jSjFjF s * 2 1 )( )( 1 )( n s S njF T jF n ss njS)()( 26 1) 当当 s 2 m时，时，Fs(j )是是F(j )在在 不同不同 s倍数上的重复与再现，幅值为原值倍数上的重复与再现，幅值为原值 的的1/Ts 。 s s T 2 ms 2) 1 ms 2)2 ms 2) 3 2) 当当 s2 m） 2

18、8 即：从即：从 fs(t)中恢复中恢复f(t) 要求理想低通滤波器要求理想低通滤波器： s TA 2 s cm 四、信号恢复四、信号恢复 (Signal Reconstruction) 信号信号f(t)的恢复的恢复实现实现：理想低通滤波器：理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters) 当当 s 2 m时，时，Fs(j )含有含有F(j )完整频谱完整频谱 （ s 2 m） 理想冲激序列抽样理想冲激序列抽样： 29 一个最高频率为一个最高频率为 m的的有限带宽信号有限带宽信号f(t)，可用均匀抽样间隔，可用均匀抽样间隔 的抽样值的抽样值fs(t)唯一确定。唯一确定。 若从若从

19、fs(t) 恢复恢复f(t),可用一个理想低通滤波器实现，滤波器增益为可用一个理想低通滤波器实现，滤波器增益为Ts，截，截 止频率止频率: 说明：说明： 1) f(t)为有限带宽信号，即：为有限带宽信号，即： | | m时时,F(j )=0 2) 抽样间隔抽样间隔 m s f T 2 1 ms ff2 或或: 抽样频率抽样频率 ms 2 ms ff2 min ms 2 min 奈奎斯特抽样间隔奈奎斯特抽样间隔 (Nyquist Sampling Interval) m s f T 2 1 max 奈奎斯特抽样频率奈奎斯特抽样频率 (Nyquist Sampling Frequency 2 s

20、cm 五、时域抽样定理五、时域抽样定理 m s f T 2 1 （t-domain Sampling theorem) 30 1、实现连续信号离散化，为、实现连续信号离散化，为 信号的数字处理奠定基础；信号的数字处理奠定基础； 2、实现信号的时分复用，为、实现信号的时分复用，为 多路信号传输提供理论基础。多路信号传输提供理论基础。 六、抽样定理意义六、抽样定理意义 31 例：例：图图(a)所示系统，其所示系统，其H1 (j )和和f1(t) 如图如图(b) 、(c) 所示。所示。 解：解：)()() 1 1 tSatf m m )()( 21 m GjF m s f T 2 1 )2 m m

21、s T jSjFjF s * 2 1 )( jHjFjF 11 )() 3 )( 1 n s S njF T 4）若若y(t)=f(t)，H2 (j )应如图所示。应如图所示。 1) 求求F1(j )的频谱图；的频谱图； 3）求）求 s=2 m时时Fs(j )频谱图；频谱图； 2）求抽样间隔）求抽样间隔Ts的最大值；的最大值； 4）若）若y(t)=f(t)，求，求H2 (j )。 32 一个持续时间有限信号一个持续时间有限信号f(t)的频谱的频谱F (j ) ，可用均匀的抽样值，可用均匀的抽样值 F (jn s)唯一确定，其抽样间隔唯一确定，其抽样间隔 这样可得到这样可得到f(t)在时域中重复

22、形成周期信号在时域中重复形成周期信号fs(t) ，不会产生混叠。，不会产生混叠。 若从若从fs(t) 恢复恢复f(t), 可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出单个脉冲可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出单个脉冲 就可无失真地恢复原信号。就可无失真地恢复原信号。 说明：说明： 1) f(t)为为持续时间有限信号持续时间有限信号，即：，即： | t | tm时时, f(t)=0 2) 抽样间隔抽样间隔 m s t f 2 1 七、频域抽样定理七、频域抽样定理 m s t m s t （ -domain Sampling theorem) 33 1、画出画出f1(t)、y(t) 的频谱函数图；的频谱函数图； 2、欲使、欲使y(t)= f (t) ， H1(j )应满足什么条件？应满足什么条件？ 3、画出、画出H1(j )图形图形. ),200( 200 )( 1 t