1-2极限概念-1ppt课件

1、微积分微积分 绪论绪论 数学是什么？ 微积分与中学数学的主要区别 数学的感觉 几点注意几点注意 课前预习课前预习课上学习课上学习课后复习课后复习 听什么听什么记什么记什么 练什么练什么 时间时间 注意力注意力 上课上课 下课下课 第一章 二、函数的极限二、函数的极限 第二节 极限的概念极限的概念 一、数列的极限一、数列的极限 一、数列的极限一、数列的极限 ,nf,f,f,f,f)()4()3()2()1( 定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大，定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大， 将其对应的函数值排成一列，将其对应的函数值排成一列， 一些数列的例子一些数列的例子 1. 1.

2、数列极限的定义数列极限的定义 n, y,y,y,y,y 4321 习惯记作习惯记作这样的一列数这样的一列数 称为一个数列，称为一个数列，数列中的每一个数称为数列的项，数列中的每一个数称为数列的项， .yn项项）称称为为数数列列的的一一般般项项（通通. n y数数列列可可简简记记为为 例如例如 ;, n 2842 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 1 n ;, n 1 1111 )()( 1 1 n ;, )1( , 3 4 , 2 1 , 2 1 n n n )1( 1 n n n , n , 1 4 1 3 1 , 2 1 1, n 1 , n , 1 5 1

3、 4 1 3 1 , 2 1 1, 随着随着n的增大，的增大， 0 n y越来越小，越来越小， 且当且当n无限增大时，无限增大时，0 n y可以任意小可以任意小! .yn n 成成立立充充分分大大时时，有有当当，即即任任给给正正数数0 n y, n n 11 0要使要使，任给正数任给正数对于数列对于数列检验：检验： . n即即可可只只要要 1 ,n, n 的的增增大大随随着着对对于于数数列列 1 有有什什么么样样的的变变化化 n y 趋势趋势? 问：问： .xn n n 0, 1 无无限限接接近近于于的的无无限限增增大大，随随着着则则对对于于数数列列 .n n 趋趋于于无无穷穷时时的的极极限限

4、当当是是数数列列称称 1 0 如果不存在这样的常数如果不存在这样的常数A, Ayn n lim 其中其中;: 每每一一个个或或任任给给的的 .: 存在存在 ,Ayn n lim.nAyn)( 或或 定定义义N , n y 的的正正数数 ,N Nn ,yn Ayn A数数 n y n y,A收收敛敛于于 定义定义1 设数列设数列 A是一常数，是一常数， (不论它多么小不论它多么小), 使得对于使得对于 时的一切时的一切 都成立都成立, 是数列是数列的极限的极限, 记为记为 如果对于任意给定如果对于任意给定 总存在正整数总存在正整数 那么就称常那么就称常 或者称数列或者称数列 是发散的是发散的.

5、就说数列没有极限就说数列没有极限,称数列称数列 .Ay,Nn,N, n 恒恒有有时时使使正正整整数数0 的的几几何何解解释释是是axn n lim x 1 x 2 x 2 N x 1 N x 3 x a a a 2 .a,aN,外外落在落在个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个任取任取)()(0 利用定义证明数列极限利用定义证明数列极限 例例1 . n n 0 1 lim利利用用定定义义证证明明 证证0 n y0 1 n n 1 1),(取取任给任给0,yn0要使要使, 1 n 只要只要,n 1 即即 所以所以, , 1 N取取,时时则则当当Nn 0 1 n 就就有有 . n n 0 1 l

6、im即即 习题习题 . n n 199990 个个 利利用用定定义义证证明明 lim 用定义证明数列极限时用定义证明数列极限时, 0 去证满足条件的正整数去证满足条件的正整数N 如果找到了这样如果找到了这样 ,N也就证明了也就证明了N 的存在性，的存在性， 那么也就证明了数列极那么也就证明了数列极 关键是对于任意给定的关键是对于任意给定的 的的 的存在性，的存在性， 限的存在限的存在. 例例2.Cy,CCy n n n lim)(证证明明为为常常数数设设 证证 CynCC ,成立成立 ,0 任任给给 所以所以, 0 ,n对于一切自然数对于一切自然数 .Cyn n lim 说明说明:常数列的极限

7、等于同一常数常数列的极限等于同一常数. 2. 2. 数列极限与子列极限的关系数列极限与子列极限的关系 nnn y,y,y,y,y 1 21 ,yn 1 ,yn 2 ,yn 3 ,y k n k n y)(knk显显然然 保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并定定义义：在在数数列列 n y 中中的的先先后后次次序序，这这些些项项在在原原数数列列 n y 的的子子数数列列（或或子子列列）的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列 n y 这样得到这样得到 定理定理1(1(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列收敛数列与其子数列间的关系收敛数列 的的 证证 的的任任一一子子数数列列是是数数列列设

8、设数数列列 nn yy k ,Ayn n lim .Ay,Nn,N, n 恒有恒有时时使使00 ,NK 取取 ,时时则当则当Kk .Nnnn NKk .Ay k n .Ay k n k lim证毕证毕 任一子数列也收敛且极限相同任一子数列也收敛且极限相同 定理定理 ( (收敛子数列与数列间的关系对于收敛子数列与数列间的关系对于 数列数列 ),(),( kAykAy kk212 , n y 假假 设设 证证 明：明： ).(nAyn 证证Ay,Ay k k k k 212 limlim .Ay,Kk,NK ,Ay,Kk,NK, k k 222 1211 0 有有时时使当使当 有有时时当当使使 ,

9、K,KKmax 21 取取 Ay,Ay,Kk kk 212 有有时时则则当当 . AyNn,KN n 时时有有则则当当取取2 .Ayn k lim 证毕证毕 二、函数的极限二、函数的极限 1.1.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限 、x、x自变量趋向无穷大的三种情况自变量趋向无穷大的三种情况 : :x 定义定义2.2.设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义, ,假假 设设 ,0X,)(,AxfXx有时当则称则称 时的极限时的极限, , )()(xAxf当或 记作记作 ,0 xxf当)(常数常数A 为函数为函数 Axf x )(lim xxfA当当

10、是函数是函数就称就称)( 趋趋于于无无穷穷大大如如果果 x,x时时无无限限增增大大 )(对应的函数值对应的函数值)(xf 无限接近于某个确定的数无限接近于某个确定的数,A 趋于无穷大时的极限趋于无穷大时的极限. . 定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axf x )(lim :.10情情形形 x .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 :.2 0 情形情形x Axf x )(lim .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axf x )(lim 自变量趋向无穷大的其余两种情况自变量趋向无穷大的其余两种情况 : : .AxfxfAxf:

11、xxx )(lim)(lim)(lim2定定理理 .2, )(, 的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线 图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 Ay xfyXxXx 的几何意义的几何意义Axf x )(lim XX A A ox y )(xfy A 例例3 3 用定义证明用定义证明. 0 1 lim xx 证证: :0 1 xx 1 取取 , 1 X ,时当Xx 0 1 x 因而因而0 1 lim xx 就有就有 故故,0欲使欲使,0 1 x 即即 , 1 x ox y x y 1 2.2.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限 0 xx )(x

12、f ,A 若函数若函数)(xf在点在点 0 x 的某个去心邻域内有定义的某个去心邻域内有定义, , 当当 自变量自变量时时, ,若对应的函数值若对应的函数值无限接近于无限接近于 某个确定的常数某个确定的常数A 0 xx 则称则称为函数为函数)(xf在在 时的极限时的极限. . 定义定义5.5.设函数设函数)(xf 在点在点 0 x的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 , , ,0,0使得当使得当 0 0 xx 时时, , 有有 Axf)( 则称常数则称常数 A A 为函数为函数)(xf 当当 0 xx 时的极限时的极限, , Axf xx )(lim 0 或或)()( 0 xxAxf当当

13、假假 设设 记作记作 自变量趋于有限值有三种情形：自变量趋于有限值有三种情形：、 0 xx 0 xx 、 0 xx ,0,0 使当使当 ),( 0 xx 时时, , 有有 .)( Axf Axf xx )(lim 0 定定义义 Axf xx )(lim 0 的几何意义的几何意义: : )(xfy A A A 0 x 0 x 0 x x y o 时的极限时的极限利用定义证明函数当利用定义证明函数当 0 xx 那么就证明了那么就证明了的存在性的存在性,也就证明了极限的存在也就证明了极限的存在. 用定义证函数极限存在时用定义证函数极限存在时,关键是对于任意给定的关键是对于任意给定的 , 0 , ,

14、寻找满足条件的正数寻找满足条件的正数如果找到了这样的如果找到了这样的 CC xx 0 lim1用用定定义义证证明明例例 , Axf,00)(有有 时时当当取取任任意意正正数数xx, 0 0 Cxf)(都都有有 C.C xx 0 lim 0CCAxf)(证证： .xx xx 0 0 lim4用定义证明用定义证明例例 例例5. x x x 2 1 1 2 1 lim用定义证明用定义证明 xx 0 即即 , Axf,)(要要使使0 xxAxf 0 )(有有 时时当当取取xx, 0 0 0 xxAxf)(证证： .xx xx 0 0 lim 单侧极限单侧极限: : AxfAxf xx xx )()(l

15、im )( 0 0 0 0 0 或或 AxfAxf xx xx )()(lim )( 0 0 0 0 0 或或右极限右极限 左极限左极限 .AxfxfAxf: xxxxxx )(lim)(lim)(lim 00 0 3定定理理 .)( , 0, 0 00 Axf xxx 恒恒有有 时时使使当当 .)( , 0, 0 00 Axf xxx 恒恒有有 时时使使当当 .lim 0 不不存存在在验验证证 x x x y x 1 1 o x x x x xx 00 limlim 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不不存存在在xf x 例例6 证证 11 0 )(lim x x

16、x x x xx 00 limlim11 0 x lim 作作 业业 P36 1.(2) 2.(2) 3.(1)(4) 5. 思考题解答思考题解答 1 n n)1ln(ln 1 n n （等价）（等价） 证明中所采用的证明中所采用的 2ln )1ln( ln )1ln(1 nn 实际上就是不等式实际上就是不等式 )1ln( ln2ln n n n 即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值 n nln 从而从而 时，时， 2ln )1ln( Nn 仅有仅有 成立，成立， )1ln( 2ln n 但不是但不是 的充分条件的充分条件 )1ln( ln n n 反而缩小为反而缩小

17、为 n 2ln 一、一、 利用数列极限的定义证明利用数列极限的定义证明: : 1 1、 2 3 12 13 lim n n n ； 2 2、19.999. 0lim n 二、二、 设数列设数列 n x有界，又有界，又0lim n n y， 证明：证明：0lim nn n yx. . 练练 习习 题题 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、概念的引入一、概念的引入 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不

18、可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、概念的引入一、概念的引入 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、概念的引入一、概念的引入 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、概念的引入一、概念的引入 1 1、割圆术：、割圆术： “割之弥细，所

19、割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 刘徽刘徽 一、概念的引入一、概念的引入 1 1、割圆术：、割圆术： “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 刘徽刘徽 一、概念的引入一、概念的引入 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、概念的引入一、概念的引入 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、概念的引入一、概念的引入 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、概念的引入一、概念的引入 . )1( 1 1 时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 n n n 三、