第4章 结构构件抗力的统计分析

1、结构构件抗力的统计分析 4.1 抗力统计分析的一般概念 结构是一个复杂的体系，体系抗力的统 计分析是正在研究的问题，目前在设计 中可供普遍应用的只是结构构件的可靠 性分析。 采用一次二阶矩方法分析结构构件截面的可靠 度时，必须知道结构构件截面的荷载效应S和 相应的抗力R的概率分布及其统计参数，它们 的正确与否直接影响着可靠度分析的正确与否 和精度。 结构构件抗力R是指结构构件截面抵抗荷载效 应的能力。广义地说，结构抗力应当包括结构 构件承受外加作用的各种能力。 例如，为防止构件破坏，必须使荷载效 应小于构件的截面强度，该强度就是抗 力。再如为防止在荷载作用下结构构件 开裂或变形过大，就要求结构

2、构件具有 足够的抗裂能力（抗裂度）和抗变形能 力（刚度），此处抗裂度和刚度也都是 抗力。 直接统计各种结构构件的抗力以确定其统计参 数和概率分布很困难，因为找到相同条件下 （同一母体）的一大批实测数据组成的样本来 进行统计分析，需要耗费大量的人力和财力， 而且相当困难（如离散性太大）。例如钢筋混 凝土偏心受压构件，直接统计其抗力很难办到， 它所含的影响因素很多，各有各的统计规律。 现在的做法是，分别找到影响结构构件 抗力的各主要因素，分别对它们进行统 计分析，确定其统计参数，然后通过构 件抗力与各因素之间的函数关系，运用 概率论的方法，求出抗力的统计参数和 概率分布类型。 实际上，在求结构构件

3、抗力统计参数时，并不 求出抗力的分布类型，而是运用概率论中的近 似公式，在运算过程中绕过了求关于自变量的 随机变量的联合密度函数和多重积分，仅仅应 用简单的求偏导数及代数运算来直接得到近似 的统计参数。 对于结构构件抗力的概率分布类型，一 般是按各主要因素的概率分布类型，经 验地加以判断。 在求结构构件抗力统计参数时，常常采用概率 论中的以下近似公式。 222 Z Z 321 i i 321 321 X n,1,2,iXZ XXX XXX XXXZ 则 若 异系数分别为量的均值、标准差和变 参数时，则随机变相互独立并已知其统计当 的函数，为随机变量设随机变量 222 Z Z 321 321 3

4、21 V XXX XXX VVV XXXZ 则 若 2 1 2 1 2 Z Z 321 , , 321 i i X X n i i XXX n X g g XXXXgZ 则 若 4.2 结构构件抗力不定性因素的分析 对结构构件抗力的不定性起影响的主要 因素有三方面，一是结构构件材料性能 的不定性，二是结构构件几何参数的不 定性，三是结构构件计算模式的不定性。 一般认为它们是相互独立的随机变量。 严格地说，材料性能和结构构件几何特性也会 随时间而变化，例如混凝土的强度与龄期有关， 在正常情况下它将随时间的增长而缓慢地提高； 徐变更与时间有关；钢材的截面会慢慢腐蚀而 膨胀或缩小等等。但这种变化很缓

5、慢，为了简 化，对抗力的各影响因素都可当作与时间无关 的随机变量来考虑。 一、结构构件材料性能的不定 性 材料性能是指结构构件的各种物理力学 性能，如强度、弹模、泊桑比、收缩、 膨胀等等。由于材料本身的品质差异， 导致了材料的不定性。 例如按同一配合比配制混凝土，会制出差异相 当大的成品。因为每一次混凝土的水泥强度、 砂、石强度、含水率、搅拌时间及当时气候等 都会有变化，这些因素的随机性就会导致材性 的不定性。这些混凝土浇筑成构件后，因构件 所处环境（如温度、湿度等）、尺寸大小（即 在实际工程中，材料性能一般是采用标 准试件和标准试验方法确定的，并以一 个时期内由全国有代表性的生产单位 （或地

6、区）的材料性能的统计结果作为 全国平均生产水平的代表。因此，对于 结构构件的材料性能，还需考虑实际结 构中的材料性能与标准试件材料性能的 差别，实际工作条件与标准试验条件的 差别。 有尺寸效应）的不同，这样实质体现于真 实构件之中的材料又有新的不定性因素。 性能标准值。）为规范规定的试件材料 系数或其函数设计等因素影响的各种 速度、试验方法、尺寸、施工质量、加荷 系数，如考虑缺陷、与试样材料性能差别的 构件材料性能为规范规定的反映结构（ 料性能值。为规范中给定的结构材 料性能值为结构构件中实际的材式中： k k j k j M f k fk f fk f K ; ; 0 0 0 表达：随机变量

7、 性采用结构构件材料性能不定 M K 的随机变量。 能本身不定性的比值，是反映材料性能标准值 和规范规定的材料性是试件材料性能 随机变量是反映二者之间关系的 的比值，和试件材料性能是实际材料性能 则 令 K sf sj fM K s f s j f fK ffK KK k K f f K f f K , 1 , 0 0 0 0 的变异系数。、分别为、 的平均值、随机变量随机变量 、分别为试件材料性能、式中 标准差 平均值 则可得根据统计参数的运算法 0 0 2 2 00 , 0 0 0 0 0 KfVV KK f VVV fkk sfK f sKKf fKK K fK KK K f M f M

8、 在实际工作中，只要对K0、Kf进行实测、 统计、分析进而取得统计参数，就可以 利用上式得到KM。 多年来，我国组织力量对各种结构的材料性能， 作了大量的调查统计工作，取得了大量的数据。 例如对混凝土（C15C40混凝土强度）、钢筋 （大型钢厂生产的1032mm钢筋的屈服点、抗 拉强度、弹性模量和截面积）、钢材（钢板、 型钢的屈服点）、砖（粘土实心砖、空心砖、 炉渣砖、煤灰砖的抗压强度）、砂浆（抗压强 度和饱满度）、木材（抗拉、抗压、抗弯、抗 剪强度）都进行了调查统计分析。 我国在取得材料性能的统计参数工作上 所作的巨大努力和统计各类作用一样， 是一件十分重要的基础工作，意义很大。 由于我国幅

9、员辽阔，这件工作的艰巨程 度与工作量之大在世界上也是少见的。 可靠性理论若没有这些统计数据作依据， 就成了无本之木、无源之水，理论再高 超深奥也是不可靠的。 ；标准差 ，钢的屈服强度的平均值已知 MPa MPa f f 3 .21 3 .280FA 3 MM KK k KK V MPafkk MPa K 和试求 ，故其中已包含了 ，是规定的构件材料标准值 ；规范，平均值 的异的系数反映实际构件和试件差 .240 240 .032. 092. 0 00 0 00 解 035. 0 92. 0 032. 0 076. 02803/3 .21 0 0 0 K K K f f f KK V V V M

10、M 和试求 7/4/2021 东南大学 16 二、结构构件几何参数的不定性 按照类似的方法可以算出各种主要结构材料强 度Km的统计参数，详见教科书中的表4-1。 结构构件几何参数，一般是指构件的截面几何 特征，如高度、宽度、面积、面积矩、混凝土 084. 0076. 0035. 0 076. 13 .28092. 0 22 22 0 0 0 fKK K fK K VVV fk M M 可得 保护层厚度、箍筋间距等，还包括构件 的长度、跨度、偏心距等，当然也包括 有这些几何参数构成的函数。 结构构件几何参数的不定性，主要是指制作尺 寸偏差和安装误差等引起的结构构件几何参数 的变异性。反映了制作和

11、安装后的实际结构构 件与所设计的标准结构构件之间几何上的差异。 或设计值）为几何参数的标准值（ 为几何参数的实际值式中 表达：定性采用随机变量结构构件几何参数的不 K K A A a a a a K K 其统计参数为： 平均值和变异系数 数的分别为结构构件几何参、式中 变异系数： 平均值： aa aKA K a KA V VV a 结构构件几何参数值A和Va应以正常生产情况 下的实测数据为基础，经统计分析而获得。当 实测数据不足时，可按有关标准中规定的几何 尺寸公差，经分析判断确定。几何参数的标准 值aK一般可采用设计图纸中的设计值。 一般说来，结构构件的绝对几何尺寸越 大，其变异所占比例就越

12、小，即变异性 越小。例如截面很大的钢筋混凝土梁、 柱的变异性要小于尺寸很小的预制薄板 和钢结构的变异性。所以结构构件截面 几何特征的变异对结构构件的可靠度影 响较大，一般不可忽视；而结构构件的 长度、跨度等变异的影响则相对较小， 有时可按确定量来考虑。 我国对结构构件的几何尺寸也作了大量的调查 研究。对于钢筋混凝土各类构件的长度、宽度、 高度、保护层、箍筋间距、锚固长度等在全国 很多城市、大、中、小型混凝土预制构件厂、 工程场地进行了统计，取得了大量的宝贵数据。 对于砌块和砌体，对标准砖的长、宽、 高；常用截面砖砌体的实际尺寸；中型 粉煤恢砌块和混凝土空心砌块的几何尺 寸等作了大量调查。对于型

13、钢也进行了 大量统计。 下面用两个例子简述如何利用近似公式和从质 量检验评定标准的规定求几何统计参数。 如图所示的一帽形薄壁型钢截面，已知 截面长度尺寸的平均值与标准值之比为 ka=kb=kh=1.03,变异系数Va=Vb=Vh=0.013， 截面厚度平均值与标准值之比kt=1.01,变 异系数Vt=0.035，截面尺寸的标准值为 ak=25mm,bk=75mm,hk=60mm,tk=2.5mm。 试求截面的面积的统计参数。 b h a t 0 bb b f(b ) m inm a xb mmtk mmhk mmbk mmak ktt khh kbb kaa 525. 2 80.61 25.7

14、7 75.25 根据上述已知条件，有 解 截面面积A为 A=2(a+b)+ht mm t A mm h A mm b A mm a A mm A hba t t t thbaA 8 .2672 525. 2 05. 52 05. 52 195.6762 2 的统计参数：积下面利用近似公式求面 650 5.26075252 2 036.0 195.676 811.592 811.592 2 2 2 2 2 2 2 2 2 KKKKK A A A th baA thbaA V t A h A b A a A 036. 0 040. 1 650 195.676 AKA K A KA VV A 故 试

15、求钢筋混凝土预制梁截面宽度和高度的统计参数。 ， 差预制梁截面宽度允许偏 施工及验收规范，已知：根据钢筋混凝土 mm 5 2 b 。合格率应达到 正态分布，假定截面尺寸服从 ，。截面尺寸标准值为 ， 截面高度允许偏差 90% 500mmh200mmb mm 5 2 h kk 解 根据所规定的允许偏差，可估计截面尺 寸应有的平均值为： 5 .198 2 52 200 ) 2 ( 2 bb b bbbb k kk b ; 5 , 2 ; 5 , 2 hhbb 5 . 498) 2 52 (500 ) 2 ( hh hK h b h a t 0 bb b f(b) m inm axb 由正态分布函数

16、的性质 可知当合格率为90%时 有（见图）： bminb1.645b 2 bb b min 而 b 997. 0 500 5 .498 993. 0 200 5 .198 128. 2 645. 1 5 . 3 645. 1 128. 2 645. 1 5 . 3 645. 1 53. 2 52 min min k h k k b k h h b b h b mm h mm b mm h b 所以 同理 故 三、结构构件计算模式的不定性 004. 0 5 .498 128. 2 011. 0 5 .198 128. 2 h h hk b b bk VV VV h b 按照类似的方法可以算出各种

17、主要结构构件几 何特征KA的统计参数，详见教科书中的表4-2。 结构构件计算模式的不定性，主要是指抗力计 算中采用的某些基本假定的近似性和计算公式 的不精确性等引起的对结构构件抗力估计的不 定性，有时被称为计算“模型误差”。 实际上，在结构设计中采用的各种计算 公式，由于常用理想弹（塑）性、匀质 性、各向同性、平截面变形等假定；又 常用矩形、三角形等规则且简单的图形 来描述截面应力分布以替代实际上是曲线分布 的应力图形；还常用简支、固定、弹性等理想 支座来替代实际的边界条件；也常用线性方法 来替代曲线或简化计算表达式等一系列近似处 理或方法，必然导致实际结构构件抗力与按公 式计算的结果之间的差

18、异。 例如在计算钢筋混凝土受弯构件正截面强度时， 通常用所谓“等效矩形应力图形”来替代受压 区混凝土实际的呈曲线分布的压应力图形以简 化 计算，可以想见这种假定的后果会使实 际强度于计算强度之间产生误差。同样 在计算受弯构件时采用的平截面变形的 假定也会对计算结果的精度产生影响。 又如，对混凝土应力应变曲线形状的假定 （前段是假定的抛物线，后段是假定的曲线 或直线）会给用到混凝土的结构的计算带来 误差，再如混凝土的抗剪计算公式由于对破 坏机理进行的桁架模式假定，仅仅是一个近 似的计算公式。这种由基本假定与计算公式 的不精确引起的变异性，就是计算模式的不 定性。 结构构件计算模式的不定性可以用随

19、机 变量KP表示： ), ( )( ; ）中分离出来。从各种影响因素（以使 ，能和几何尺寸的实际值在计算时应采用材料性 。的结构构件抗力计算值是按规范公式计算所得 或精确计算值。值一般情况下可取其试验 值是结构构件的实际抗力 式中 AMP j s z j z P KKK R R R R R K 通过对各类结构构件计算模式KP的统计分 析，即可求得其平均值Kp和变异系数VKp， 详见教科书中的表4-3。 我国对各种结构构件的承载能力、变形、裂 缝性能等进行了大量研究，取得了一大批数 据。 例如钢筋混凝土构件在全国各高校、科研单 位进行了各类构件的各种试验，取得5000多 个构件的各种数据，砌体和

20、钢结构也各做了 几百个试件。 一、单一材料组成的结构构 件 对于分别由钢、木、砖、石、素混凝土等 材料制作的构件，称为单一材料组成的构 件；对于由两种或两种以上材料组成的结 构构件，称为复合材料组成的结构构件， 例如由钢筋和混凝土组成的钢筋混凝土构 件。 对抗力R直接进行统计分析，理应从相同条件 下（同一母体）的一大批实测数据组成的样 本出发来进行统计分析，前已指出这是很困 难的。 为了把不同条件下的试验值或实测值近似 地转换为相同条件下的统计样本，可取比 值RZ/RK这个无量纲量作为样本（Rk为按设 计规范公式算得的抗力标准值），亦即近 似认为这样得到的样本来自同一母体。 以钢梁的正截面抗弯

21、强度（即抗力R）为例， 为了得到R的统计参数，应该从一大批截面尺 寸和钢种等均相同的实际构件取得实测数据， 并对这些来自同一母体的样本进行统计分析。 但因为很难作到，所以将不同条件下的钢梁 抗弯强度的试验值RZ除以按规范公式算得的 抗弯强度标准值RK作为样本进行统计分析。 计算模式的不定性；之间关系的不定性，即变量 随机与计算值随机变量为试验值 之间关系的不定性；随机变量试件抗力试验值 与实验室做的随机变量为实际结构构件抗力 式中 分解为：可以将 ) ()( )( )( / ssssP S P S Z Z AMPZ sk ss sk ss ssss S S Z K Z K Z WfRRK R

22、RK KKKK W W f f Wf R R R R R RR 定性。定性，即几何参数的不 之间关系的不确定量的塑性抵抗矩 得与按截面尺寸标准值算随机变量 塑性抵抗矩为构件实际截面尺寸的 料性能的不定性；间关系的不定性，即材 之确定量与标准值随机变量 屈服强度为结构构件材料的实际 )( )( )()( sk ss A skss M W W K ff K 应该指出要得到Kz的统计参数是很困难的， 目前只能凭经验对不同材料的构件，采用估 计的平均值Kz和变异系数VKz。 例如，对于材料质量容易控制、施工安装 条件和使用条件均较好的钢结构构件，可 近似地取平均值Kz1和变异系数VKz0。 即说明试验

23、值RS可近似地代表实际构件的 抗力RZ。 而对于木、砖、石、素混凝土等材料制作 的结构构件，因实际结构的截面尺寸、施 工制作质量以及使用条件等与实验室制作 的试件往往有较大的差别，这时就不能用 试验值RS近似地代表实际构件的抗力RZ，即 平均值Kz1和变异系数VKz0。 只是为了简化符号。取 注意： 式中 为故抗力 的统计参数为所以可得抗力 R Z RR Z R Z kkK KAMPZ Z A K M K P K Z KR Z R A K M K P K Z K K R K Z R R VVRR afkR RKKKKRR R VVVVVV RR K R , 0 2222 试求A3F钢轴心受拉杆

24、件抗力的统 计参数KR和VR。 0.1170.050.080.07V 1.1341.01.081.051K 0V , 1.0 0.07V 1.05 0.05V 1.0 0.08V , 1.08321-4 222 R R ZZP pAAM M 式，可得：将这些数值代入上述公 。并近似取， ， 可得：、由教科书上表 KKK KKKK K 解 RKR Rk KRRskAsk 1.134240(8.1610-4) 222.08kN 若该拉杆的截面面积为：Ask8.16cm2， 钢材标准强度为： Rsk240MPa。 则拉杆抗力平均值R为： 二、复合材料组成的结构构件 复合材料组成的结构构件，其抗力的统

25、计 分析基本上与单一材料的构件相同，仅抗 力的计算值RP由两种或两种以上材料性能 和几何参数组成。 为抗力函数这里 件抗力；为由计算公式确定的构 式中 表达为：抗力用随机变量 RRR R i afRKKRKKR R P P ijiPZPPZ , , 2 , 1 参数。种材料相应的构件几何为第 种材料的性能；为结构构件中第 ia if i ji 其标准值。件几何参数随机变量及 种材料相应的结构构为与第、 试件标准值；材料性能随机变量及其 种材料的为结构构件中第、 式中 写为进一步将 iaK ifK i aKfkKRKKR R kiAi kiMi kiAikiiMiPZ , 2 , 1 0 222

26、 P R P K Z KR K P R P K Z K K R R VVVV RR K R 的统计参数为所以可得结构构件抗力 试求钢筋混凝土轴心受压短柱抗力 的统计参数KR及VR。 ;19. 041. 1 ,5 .17RC20 a R a R K aK V MPa ，强度 混凝土： 已知条件： 0.1V0.9 0.05;V 1.0, 0.015)( 03. 0 , 0 . 1 ,07. 014. 1 ,340 ;030 01 50 30 Z K Z K KP g A g A 。，近似取 计算模式： 配筋率 截面面积 ，强度 级钢筋： 混凝土截面 截面尺寸： P K g R g R K gK h

27、b h K b K kK V V MPaR .VV ,. cm,hcm,b 解 按照规范公式，轴心受压短柱 抗力计算值为： gg aP ARbhR R 利用近似公式，有： 4573.35kN 5030015. 0 34014. 15030117.51.41 hb hb a R g g A K K g g R KKKKK K a Ra K g A g R p R ARhbR 2 A 2 R 2 R 2 A 22 b 222 h 222 h 2 b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 g g g g hRbRR A g p R g p h p b p R a p R aaa gg a p A R R R h R b R R R aK a R K gK g R K