第5章 梁的应力

1、 m m M 当梁上有横向外力作用时，一般情况下，当梁上有横向外力作用时，一般情况下， 梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力又有剪力FS. . m m m m M 弯矩弯矩M是由正应力是由正应力 合成的合成的. 剪力剪力FS有由切应力有由切应力 合成合成的；的； 所以，在梁的横截面上一般既有正应力所以，在梁的横截面上一般既有正应力 ，又有切应力又有切应力 。这种梁段的弯曲称为。这种梁段的弯曲称为横力横力 弯曲。弯曲。 简支梁简支梁CD段任一横截面上，段任一横截面上， 剪力等于零，而弯矩为常量，所剪力等于零，而弯矩为常量，所 以该段梁的弯曲就是以该段梁的弯曲就是纯弯曲纯弯曲. .

2、 若梁在某段内各横截面的弯若梁在某段内各横截面的弯 矩为常量，剪力为零，则该段梁矩为常量，剪力为零，则该段梁 的弯曲就称为的弯曲就称为纯弯曲纯弯曲. aa FS M x x + F CD AB F + 5.1 梁横截面上的正应力 弯 曲 试 验 5.1 梁横截面上的正应力 试验现象试验现象 横线为直线横线为直线, , 仍与纵线正交仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短靠顶部纵线缩短, , 靠底部纵靠底部纵 线伸长线伸长 纵线伸长区纵线伸长区, ,截面宽度截面宽度减小减小 纵线缩短区纵线缩短区, , 截面宽度截面宽度增大增大 弯曲假设弯曲假设 横截面横截面变形后变形后保持平面，仍与纵线正交弯曲平面保持平面

3、，仍与纵线正交弯曲平面 假设假设 各纵向各纵向“纤维纤维”处于单向受力状态单向受力假设处于单向受力状态单向受力假设 （纯弯与正弯矩作用）（纯弯与正弯矩作用） 5.1 梁横截面上的正应力 推 论 梁内梁内存在一长度不变的过渡层存在一长度不变的过渡层中性层中性层 中性层与横截面得交线中性层与横截面得交线中性轴中性轴 横截面间绕中性轴相对转动横截面间绕中性轴相对转动 中性轴中性轴截面纵向对称轴截面纵向对称轴 5.1 梁横截面上的正应力 几何方面几何方面: d d)d( )( y y 物理方面物理方面: )()(yEy y 静力学方面静力学方面: (b) 0d , 0 A x AF (c) d , 0

4、MAyM A z (a) )( y Ey 5.1 梁横截面上的正应力 MAy E A d 2 (a)(b) 0d A Ay0 d A Ay y A C 中性轴通过横截面形心 (a)(c) A z AyI d 2 z I My y )( z EI M 1 (d)(a) z I Mymax max z W M max 抗弯截面系数抗弯截面系数 max y I W z z (a) y E (b) 0d A A (c) dMAy A (d) 惯性矩惯性矩 5.1 梁横截面上的正应力 结论结论 中性轴过截面形心中性轴过截面形心 z EI M 1 z I My y )( 中性轴位置：中性轴位置： 截面弯曲

5、刚度）截面弯曲刚度）（ z EI z W M max 抗弯截面系数）抗弯截面系数）（ z W 正正应力公式：应力公式： 中性层曲率：中性层曲率： )()(yEy 0d A A MAy A d pmax , 对称弯曲对称弯曲, 纯弯与非纯弯纯弯与非纯弯 惯性矩）惯性矩）（ z I 应用条件：应用条件： 总总 结结 假设假设平面假设，单向受力假设平面假设，单向受力假设 综合考虑三方面综合考虑三方面 y y )( 5.1 梁横截面上的正应力 一些易混淆的概念 对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横向外对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式力时的受力与变形形式 纯纯 弯弯 曲

6、梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常曲梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态数的受力状态 中性轴横截面受拉与受压区的分界线中性轴横截面受拉与受压区的分界线 形心轴通过横截面形心的坐标轴形心轴通过横截面形心的坐标轴 弯曲刚度弯曲刚度EI代表梁截面抵抗弯曲变形的能力代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数抗弯截面系数Wz代表梁截面几何性质对弯曲强度代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响的影响 中性轴与形心轴中性轴与形心轴 对称弯曲与纯弯曲对称弯曲与纯弯曲 截面弯曲刚度与抗弯截面系数截面弯曲刚度与抗弯截面系数 5.1 梁横截面上的正应力 b h z y z d y z D d y D d D

7、 Wz )1( 32 4 3 6 , 12 23 bh W bh I zz 32 , 64 34 d W d I zz 64 )( 44 dD Iz 5.1 梁横截面上的正应力 z y 四、于中性轴不是对称轴的横截面四、于中性轴不是对称轴的横截面 y maxc y maxt M 应分别以横截面上应分别以横截面上受拉受拉和和受压受压部分距中性轴最远的距离部分距中性轴最远的距离 ytmax和和ycmax直接代入公式直接代入公式 z I My I My z maxc maxc I My z maxt maxt 5.1 梁横截面上的正应力 maxc tmax 5.1 梁横截面上的正应力 横力弯曲时，梁

8、的横截面上既有正应力又有切应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力. 切应力使横截面发生翘曲，切应力使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的横向力引起与中性层平行的 纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受 力假设都不成立力假设都不成立. 虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分 析表明，析表明，对于跨度与横截面高度之比对于跨度与横截面高度之比l/h大于大于5的梁的梁，横，横 截面上的正应力变化规律与纯弯曲时几乎相同，因此，截面上的正应力变化规律与纯弯曲时几乎相同，因此， 纯

9、弯曲时的正应力计算公式，也可以应用于横力弯曲的纯弯曲时的正应力计算公式，也可以应用于横力弯曲的 梁梁. 例 已知：已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d d=20mm 试计算：截面试计算：截面 B-B 的最大拉应力的最大拉应力 t,max与压应力与压应力 c,max 解：1. 弯矩计算弯矩计算mN 6000 FlM B 2. 形心位置计算形心位置计算由矩形由矩形 1 与矩形与矩形 2 组成的组合截面组成的组合截面 C Ay Ci n i iz yAS 1 A yA y Ci n i i C 1 5.1 梁横截面上的正应力 3. 惯性矩计算惯性矩计算 m 045. 0

10、22 bb b bb d dd d d dd d d d d d 46- 2 3 1 m 103.02 212 d d d d d d Cz yb b I 46- 2 3 2 m 105.82 212 Cz y b b b Id dd d d d 46 21 m 1084. 8 zzz III 4. 最大弯曲正应力最大弯曲正应力 MPa 5 .30 maxt, z CB I yM MPa 5 .64 )( maxc, z CB I ybMd d 21 2211 AA yAyA y CC C 21zzz III 5.1 梁横截面上的正应力 假设 (y) / 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布截面侧边

11、，并沿截面宽度均匀分布 狭窄矩形截面梁狭窄矩形截面梁 (hb) x F b y d d1 )( Sz(w w)面积面积 w w 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩 FxbFxdd , 0 w w AFd w w Ay I M z d* z z I MS)(w w bI SF y z z )( )( S w w x M bI S y z z d d )( )( w w x F b y d d1 )( z z I MS F )(w w y h y h bSz 22 1 2 )(w w 2 2 S 4 1 2 3 )( h y bh F y A FS max 2 3 12 3 bh Iz 2 2 4

12、2 y hb 5.2 梁横截面上的剪应力 5.2 梁横截面上的剪应力 d d w w z z I SF y )( )( S 假设假设 : : / 腹板侧边腹板侧边, 并沿其厚度均匀分布并沿其厚度均匀分布 )4()( 8 )( 2222 0 S yhhhb I F y z d d d d w w y 下侧部分截面下侧部分截面 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩 (0) max ) 2 ( min h 5.2 梁横截面上的剪应力 dI SF z z max,S max 123 2 8 32 max, ddd Sz A F 3 4 S max 分析表明，最大弯曲切应力仍发生在中性分析表明，最大弯曲切

13、应力仍发生在中性 轴上，并可近似认为沿中性轴均匀分布轴上，并可近似认为沿中性轴均匀分布 5.2 梁横截面上的剪应力 d y z 0 t A F ttd tdF bI SF S S z zS 2 2 8 2 1 3 0 2 0 * max t d S z 2 2 0* max tdI z 3 0 8 tb2 tdA 0 xma 当中性轴为截面对称轴时的强度条件为当中性轴为截面对称轴时的强度条件为： max z xma W M t z t xtma W M max c z c xcma W M max 5.3 梁的强度条件 例题例题5.2 图5.12（a）所示的楼板主梁欲用二个工字型钢制成。 已知

14、钢的许用弯曲正应力MPa160，试选择工字钢的型号。 mkNM xma 480 36 6 max 103 160 10480 mm M Wz 336 1500105 . 1 2 1 cmmmWW zz 3 1500cmWz 解解 先作简支梁的弯矩图（如图5.12（b）,可知 ，发生在梁的跨中截面处。 每一个工字钢的抗弯截面模量 由型钢规格表可查得45b工字钢为 故所选工字形截面型号为45b。 5.3 梁的强度条件 ,30MPa t ,60MPa c 试校核该梁的强度试校核该梁的强度。 例题例题5.3 某某T形截面铸铁梁尺寸如图所示。已知形截面铸铁梁尺寸如图所示。已知 解解 （1）作出梁的弯矩图

15、。）作出梁的弯矩图。 这时可能出现的危险截面应这时可能出现的危险截面应 为为B、C两截面，且有两截面，且有 mkNM B 4 mkNM C 5 . 3 5.3 梁的强度条件 mmyc42 201202080 7020120 46 333 10637. 7 88 3 20 32 3 60 52 3 80 mm I z 5.3 梁的强度条件 MPaMPa I yM t z B B t 302 .27 10637. 7 1052104 6 33 1 max MPaMPa I yM c z B B c 602 .46 10637. 7 1088104 6 33 2 max B截面上的最大拉应力截面上的

16、最大拉应力 5.3 梁的强度条件 MPaMPa I yM t z C C t 308 .41 10637. 7 1088105 . 3 6 33 2 max C截面上的最大拉应力为截面上的最大拉应力为 5.3 梁的强度条件 需满足的剪应力强度条件为：需满足的剪应力强度条件为： * maxmax max bI SF z S * max S 式中 表示横截面在中性轴以上(或以下)部分面积 对中性轴z的面积矩， 为材料在横力弯曲时的许用剪应力。 b 表示横截面在中性轴处的宽度， 5.3 梁的强度条件 但对以下三种特殊情况，就必须注意校核梁内的剪应力强度： （1）梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的

17、荷载，梁内 出现弯矩较小而剪力很大； （2）在铆接或焊接的组合截面（例如工字形）钢梁中，其横 截面的腹板厚度与高度之比小于一般型钢截面的相应比值； 5.3 梁的强度条件 mkNPaM402 . 0200 max kNPF S 200 max 解解 （1）作梁的弯矩图与剪力图，如图（）作梁的弯矩图与剪力图，如图（b）、（）、（c）。）。 5.3 梁的强度条件 33 6 max 10250 160 1040 mm M Wz 选工字形钢选工字形钢20b，,250 3 mmWz,9mmb mmcmSI z 1699 .16/ * max （3）剪应力强度校核）剪应力强度校核 MPaMPa bI SF

18、z S 1005 .131 1699 10200 3* maxmax max 不满足剪应力强度条件。不满足剪应力强度条件。 (2) 由正应力强度条件选择型钢号码由正应力强度条件选择型钢号码 5.3 梁的强度条件 （a）选选22b：,5 . 9 mmb ,187/ * max mmSI z 6 .112 1875 . 9 10200 3 max MPa （b）选选25b：,10mmb mmSI z 7 .212/ * max 94 7 .21210 10200 3 max MPa 故选故选25b可以满足要求。可以满足要求。 5.3 梁的强度条件 选取原因：选取原因： 2. 截面面积愈小，自重也小，引起的附加自重应截面面积愈小，自重也小，引起的附加自重应 力也小，还有利于安装和现场施工。力也小，还有利于安装和现场施工。 1. 在选择材料相同及外力不变的条件下，由正应在选择材料相同及外力不变的条件下，由正应 力强度条件可知，若截面面积不变，抗弯截面力强度条件可知，若截面面积不变，抗弯截面 模量较大者梁的承载能力高。模量较大者梁的承载能力高。 一、梁的合理截面形状一、梁的合理截面形状 请问哪种摆放形式合理请问哪种摆放形式合理