第5章信号与系统

1、 本章主要内容 本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统 中的几个主要方面中的几个主要方面滤波、调制和抽样滤波、调制和抽样。 系统函数系统函数H(j)及傅里叶变换分析法；及傅里叶变换分析法； 包括无失真传输条件；包括无失真传输条件； 理想低通滤波器模型；理想低通滤波器模型； 系统的物理可实现条件；系统的物理可实现条件； 调制解调的原理与实现；调制解调的原理与实现； 带通系统的运用；带通系统的运用； 抽样信号的传输与恢复；抽样信号的传输与恢复； 频分复用与时分复用。频分复用与时分复用。 则依卷积定理有则依卷积定理有 te tr E R th H )(j)(

2、j)(j HER )(j )(j )(j E R H 傅里叶变换形式的系统函数 设设 ),()( Ete若若)(j E或或 ),()( Rtr )(j R或或 ),()( Hth )(j H或或 对于稳定系统对于稳定系统 j j s sHH )(j )(j)(j eHH )()()(tethtr 频率响应特性 d)( )(j 0 t eh d)( 00 jj ehe t t eH 0 j 0) (j ：系统的幅频特性：系统的幅频特性 )(jH )(：相频特性：相频特性 ,)( 0 jt ete 设激励为设激励为 则系统的零状态响应为则系统的零状态响应为 )( te等于激励等于激励 )(j 0

3、H乘以加权函数乘以加权函数 系统函数的物理意义 系统可以看作是一个信号处理器系统可以看作是一个信号处理器 激励激励：E(j ) 响应：响应：H(j )E(j ) )(j )(j)(j e eEE )(j )(j)(j h eHH )(j)(j)(j HER )()()( her 加权加权由由 的幅度的幅度 )( )( H E 修正修正由由 的相位的相位 E 对于不同的频率对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信，有不同的加权作用，这也是信 号分解，求响应再叠加的过程。号分解，求响应再叠加的过程。 对信号各频率对信号各频率 分量进行加权分量进行加权 5.2 利用系统函数求响应 系统的频响特性

4、与系统的频响特性与H(s)的关系的关系 正弦信号激励下的稳态响应正弦信号激励下的稳态响应 非周期信号激励下系统的响应非周期信号激励下系统的响应 一系统的频响特性与H(s)的关系 在虚轴上有极点不同。在虚轴上有极点不同。当当 极点：极点：在虚轴上及右半平面无在虚轴上及右半平面无当当 )( j )( j sH sHHthF sH s ti tv C )()(thtvt即即时，求出时，求出当输入为当输入为 t tu C tti C tvth)( 1 d)( 1 )()( j 1 )()(j 1 )()( thFH s thLsH 例：例： 二正弦信号激励下系统的稳态响应 理效果。理效果。代表了系统对

5、信号的处代表了系统对信号的处 。加权，相移加权，相移频率的信号，幅度由频率的信号，幅度由 与激励同与激励同作为激励的稳态响应为作为激励的稳态响应为正弦信号正弦信号 j j sin 00 0 H H t )(sin)( 000 tH ，系统的频率响应为系统的频率响应为设激励信号为设激励信号为 )(j 0 )()( ,sin eHHt 则系统的则系统的稳态响应稳态响应为为 三非周期信号的响应 傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理 概念清楚；概念清楚；

6、 用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易；用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易； 引出引出H(j)重要意义在于研究信号传输的基本特性，重要意义在于研究信号传输的基本特性， 简历滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义，简历滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义， 这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中 具有十分重要的指导意义具有十分重要的指导意义。 总结 系统可以看作是一个信号处处理器：系统可以看作是一个信号处处理器： ， 是一个加权函数，是一个加权函数， jH 加权。加权。对信号各频率分量进行对信号各频率分量进行 )(

7、j 加权，加权，信号的幅度由信号的幅度由 H 修正。修正。信号的相位由信号的相位由 对于不同的频率对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信，有不同的加权作用，这也是信 号分解，求响应再叠加的过程。号分解，求响应再叠加的过程。 例5-2-1 2 1 1 )(j H 1 tg)( )632sin( 5 1 t :3sin t )723sin( 10 1 t 解：解： )45sin( 2 1 t ? 3sin,2sin,sin j1 1 j 为多少为多少 时的输出时的输出当输入分别为当输入分别为若若tttH :sint :2sin t 例5-2-2 )( 1 tv )( 2 tv R C 1 1

8、 2 2 00 C v 。端电压端电压利用傅里叶分析方法求利用傅里叶分析方法求 ，加入矩形脉冲加入矩形脉冲电路，在输入端电路，在输入端下图所示下图所示 tv tvRC 2 1 22 11 E Ot )( 1 tv 分析：分析： js sH teFthjH jEjHjR jRFtr 1 解: RC s RC sC R sC sH 1 1 1 1 j jH 1 的傅里叶变换式为的傅里叶变换式为激励信号激励信号tv j j e j E eEjV 1 2 Sa 2 1 的傅式变换的傅式变换响应响应tv 2 2 2 2 12 2 Sa j j ejVeE j jVjHjV js RC 1 令令 求v2(

9、t) j e j E j jv 1 2 j e jj E 1 11 jj e j E e j E 11 tuetueEtutuEtv tt 2 tueEtueE tt 11 波形及频谱图波形及频谱图 波形及频谱图 )( 1 tv )( 2 tv R C 1 1 2 2 E Ot )( 1 tv O jH O j 1 V E O j 2 V 1 22 E Ot )( 2 tv 说明 ；功率带宽为功率带宽为系统具有低通特性，半系统具有低通特性，半 波形变圆滑。波形变圆滑。以指数规律上升和下降以指数规律上升和下降经低通后经低通后高频成分高频成分 急剧下降，蕴含着急剧下降，蕴含着急剧上升，急剧上升，输

10、入信号在输入信号在 ,. 0 tt . 1 下降时间就要缩短下降时间就要缩短 上升，上升，分量通过，响应波形的分量通过，响应波形的增加，允许更高的频率增加，允许更高的频率 ，即带宽，即带宽称为时间常数，称为时间常数， RCRC RC 失真失真 无失真传输条件无失真传输条件 利用利用失真失真波形形成波形形成 一失真 线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成 幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减； 相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比， 使响应的各频率分量

11、在时间轴上的相对位置产生变化。使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。 信号经系统传输，要受到系统函数信号经系统传输，要受到系统函数 的加权，输出的加权，输出 波形发生了变化，与输入波形不同，则产生失真。波形发生了变化，与输入波形不同，则产生失真。 jH 线性系统的失真线性系统的失真幅度，相位变化，不产生新的频幅度，相位变化，不产生新的频 率成分；率成分； 非线性系统产生非线性失真非线性系统产生非线性失真产生新的频率成分。产生新的频率成分。 对系统的不同用途有不同的要求：对系统的不同用途有不同的要求： 无失真传输；无失真传输；利用失真利用失真波形变换。波形变换。 二无失真传输条件 幅度

12、可以比例增加幅度可以比例增加 可以有时移可以有时移 波形形状不变波形形状不变 h(t) te tr tr o t 0 t te o t )()()( jHjEjR )()( 0 ttKetr 0 )()( tj ejKEjR 0 )( )( )( tj Ke jE jR jH ),()( jHth已知系统已知系统 te 若激励为若激励为 tr 响应为响应为 时不失真时不失真那么那么)()( 0 ttKetr 0 )( : t KjH 即即 频谱图 几点认识：几点认识： 要求幅度为与频率无关的常数要求幅度为与频率无关的常数K，系统的通频带为，系统的通频带为 无限宽。无限宽。 相位特性与相位特性与

13、 成正比，是一条过原点的负斜率直线。成正比，是一条过原点的负斜率直线。 不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。 O jH K O 0 t 相位特性为什么与频率成正比关系？ thttKKejH tj 0 0 )( 只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的迟只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的迟 延时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。延时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。 延迟时间延迟时间t0 是相位特性的斜率：是相位特性的斜率： 0 d d t 群时延群时延 或称群延时或称群延时 d d 在满足信号传输不产生相位失真的情在满足信号传输不产

14、生相位失真的情 况下，系统的群时延特性应为常数。况下，系统的群时延特性应为常数。 例 信号传输后失真信号传输后失真 此系统不满足此系统不满足 0 d d t tsin tOtO t 2sin tO tt2sinsin 2sin t t O t O 32sin t t O 32sin2sin tt 输入输入 输出输出 总结 系统的无失真传输条件系统的无失真传输条件 )()(: 0 ttKth 时域时域 0 )( : tj KejH 频域频域 0 )(,)(tKjH 即即 均为实常数均为实常数和和 0 tK 理想低通的频率特性理想低通的频率特性 理想低通的冲激响应理想低通的冲激响应 理想低通的阶跃

15、响应理想低通的阶跃响应 理想低通对矩形脉冲的响应理想低通对矩形脉冲的响应 c c t e H 0 1 j 0 j 一理想低通的频率特性 C C O )(j H 1 C C O )( 的低频段内，传输信号无失真的低频段内，传输信号无失真 ( ) 。 c 0在在 0 t只有时移只有时移 为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简 称频带。称频带。 C 0 t 即：即： c c H 0 1 j )(j)( Hth d)(j 2 1 )(j)( j1t eHHFth C C c c tttt e tt e 00 j 0 )(j j 1 2 1 d1 2 1 二

16、理想低通的冲激响应 c c tt ee d1 2 1 jj 0 00 jj 0 2 111 tttt CC ee jtt 0 0 sin tt tt c cc 0 Satt c c )(th t 0 t c C 0 Sattth c c 波形 t 1 t 1 1比较输入输出，可见严重失真；比较输入输出，可见严重失真； 2 2理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统 几点认识 当当 经过理想低通时，经过理想低通时， 以上的频率成分都衰以上的频率成分都衰 减为减为0，所以失真。，所以失真。 t c 信号频带无限宽信号频带无限宽， 1t 而理想低通的通频带

17、而理想低通的通频带( (系统频带系统频带) )有限的有限的 c 0 时，时，当当 c )()(tth 原因：从原因：从h(t)看，看，t0时已有值。时已有值。 c c t e Hth 0 1 j)( 0 j 0 j j 1 t eR )( cc C C tt eeRFtr d j 1 )( 2 1 )()( jj1 0 三理想低通的阶跃响应 d j2 1 d 2 1 0 0 j j c c c c tt tt e e d sin 2 2 2 1 0 0 ctt 0 ttx 令令 x x x tt c d sin1 2 10 0 激励激励 j 1 )()( t=ute 系统系统 响应响应 )()

18、()(thtutr x xsin x 1 O 2 3 4 ySi y O 2 2 1. 下限为下限为0； 2. 奇偶性：奇函数。奇偶性：奇函数。 正弦积分 y x x x y 0 d sin =)Si( 3 . 最大值出现在最大值出现在 最小值出现在最小值出现在 x x 0 Si 1 2 1 tttr C 阶跃响应波形 tO tu 1 tr tO 2 1 0 t r t C C 2阶跃响应的上升时间阶跃响应的上升时间tr 与网络的截止频率与网络的截止频率B（带宽）（带宽） 成反比成反比 。 1 r tB B t C r 1 2 C C fB 2 B B是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率

19、）是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。 几点认识 1 tr tO 2 1 0 t r t C C 1 1上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间， ： r t 记作记作 c t 0 最大值位置：最大值位置： c t 0 最小值位置：最小值位置： 0为系统延迟时间 为系统延迟时间t )()()( 1 tutute 四理想低通对矩形脉冲的响应 )(Si )(Si 1 )( 0 01 tt tttr C C t te1 O tr1 t 0 t 0 t 2 0 t O 1 2 1 吉伯斯现象吉伯斯现象 ：跳变点有：跳变点有9%9%的上冲。的上冲。

20、 （例如：升余弦类型）（例如：升余弦类型） 2 1 1 时，才有如图示，近似矩形脉冲的响时，才有如图示，近似矩形脉冲的响 C r t 2 1 应。如果应。如果 过窄或过窄或 过小，则响应波形上升与下降时过小，则响应波形上升与下降时 间连在一起完全失去了激励信号的脉冲形象。间连在一起完全失去了激励信号的脉冲形象。 C 讨论 5.5 系统的物理可实现性 佩利维纳准则 一种可实现的低通一种可实现的低通 佩利维纳准则佩利维纳准则 二佩利维纳准则 物理可实现的网络物理可实现的网络 满足平方可积条件满足平方可积条件 频率特性频率特性 因果条件因果条件 时域特性时域特性 jH jH tuthth d )()

21、()( 2 佩利维纳准则佩利维纳准则系统可实现的必要条件系统可实现的必要条件 d 1 )(jln 2 H 调制原理调制原理 调幅、抑制载波调幅及其解调波形调幅、抑制载波调幅及其解调波形 在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现 信号的传输，往往要进行调制和解调：信号的传输，往往要进行调制和解调： 高频信号容易以电磁波形式辐射出去高频信号容易以电磁波形式辐射出去 多路信号的传输多路信号的传输频分复用频分复用 相关课程中讲解相关课程中讲解“调制与解调调制与解调”的侧重点不同：的侧重点不同： “信号与系统信号与系统”应用傅里叶变换的性质说明搬应用傅

22、里叶变换的性质说明搬 移信号频谱的原理；移信号频谱的原理； “通信原理通信原理” 研究不同的调制方式对系统性研究不同的调制方式对系统性 能的影响；能的影响； “通信电子电路通信电子电路”调制解调电路的分析。调制解调电路的分析。 一调制原理 说明 率以缩小天线尺寸。率以缩小天线尺寸。必须尽量提高信号的频必须尽量提高信号的频 天线尺寸天线尺寸 波长约为波长约为 以语音信号为例以语音信号为例 为被辐射信号的波长为被辐射信号的波长天线的尺寸天线的尺寸 根据电磁波理论根据电磁波理论 30km 300km 10 1 1调制 调制：将信号的频谱搬移到任何所需的较高频段调制：将信号的频谱搬移到任何所需的较高频段 上的过程。上的过程。 调制的分类调制的分类 按载波按载波 正弦型信号作为载波正弦型信号作为载波 脉冲串或一组数字信号作为载波脉冲串或一组数字信号作为载波 连续性连续性 模拟（连续）调制模拟（连续）调制 数字调制数字调制 模拟调制是数字调制的基础模拟调制是数字调制的基础 幅度调制（抑制载波的振幅调制，A