第七章 点的运动学

1、第二篇第二篇 运运 动动 学学 引引 言言 运动学是研究物体运动的几何性质的科学。运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就也就 是是从几何学方面来研究物体的机械运动。从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内运动学的内 容包括：容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。运动方程、轨迹、速度和加速度。 学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必 要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的 物体称为物体称为参考体参考体，固结于参考体上

2、的坐标系称为，固结于参考体上的坐标系称为参考参考 坐标系。坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。 时间概念要明确：时间概念要明确：瞬时瞬时和和时间间隔时间间隔。 运动学所研究的力学模型为：运动学所研究的力学模型为：点点和和刚体刚体。 第七章第七章 点的运动学点的运动学 点的运动的矢径法点的运动的矢径法 点的运动的直角坐标法点的运动的直角坐标法 点的运动的自然法点的运动的自然法 第二篇第二篇 运运 动动 学学 引引 言言 运动学是研究物体运动的几何性质的科学。运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就也就 是是从几何学方面来研究物体的机械运动。从

3、几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内运动学的内 容包括：容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。运动方程、轨迹、速度和加速度。 学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必 要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的 物体称为物体称为参考体参考体，固结于参考体上的坐标系称为，固结于参考体上的坐标系称为参考参考 坐标系。坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。 时间概念要明确：时间概

4、念要明确：瞬时瞬时和和时间间隔时间间隔。 运动学所研究的力学模型为：运动学所研究的力学模型为：点点和和刚体刚体。 第七章第七章 点的运动学点的运动学 本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：本章将介绍研究点的运动的三种方法，即： 矢径法、直角坐标法矢径法、直角坐标法和和自然法自然法。 点运动时，在空间所占的位置随时间连续点运动时，在空间所占的位置随时间连续 变化而形成的曲线，称为点的变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹运动轨迹。点的。点的 运动可按轨迹形状分为运动可按轨迹形状分为直线运动直线运动和和曲线运动曲线运动。 当轨迹为圆时称为当轨迹为圆时称为圆周运动圆周运动。 表示点的位置随时间变化的规律

5、的数学方表示点的位置随时间变化的规律的数学方 程称为点的程称为点的运动方程运动方程。 本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、 速度和加速度，以及它们之间的关系。速度和加速度，以及它们之间的关系。 8.1 点的运动的矢径法 一、点的运动方程一、点的运动方程 如图，动点如图，动点M沿其轨迹运沿其轨迹运 动，在瞬时动，在瞬时t，M点在图示位置。点在图示位置。 参考体 O M r 由参考点由参考点O向动点向动点M作一矢作一矢 量量 ，则称，则称 为为矢径矢径。OMr r 于是动点矢径形式的运动方程为于是动点矢径形式的运动方程为 )(trr 显然，矢径的矢端曲线就是点运

6、动的轨迹。显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。 用矢径法描述点的运动有简洁、直观的用矢径法描述点的运动有简洁、直观的 优点。优点。 8.1 点的运动的矢径法 二、点的速度二、点的速度 A BO M M )(tr )(ttr r v v )()(trttrrMM 则则 t r v 表示动点在时间间隔表示动点在时间间隔 内运动的平内运动的平t 均快慢和方向，称为点的均快慢和方向，称为点的平均速度平均速度。 当当 时，平均速度的极限矢量称为动时，平均速度的极限矢量称为动 点在点在t瞬时的瞬时的速度速度。即。即 0t r dt rd t r vv tt 00 limlim 即：即：点的速度等于它的矢

7、径对时间的一阶导点的速度等于它的矢径对时间的一阶导 数数。方向沿轨迹的切线方向。方向沿轨迹的切线方向。 如图，动点如图，动点M在时间间在时间间 隔隔 内的位移为内的位移为t 8.1 点的运动的矢径法 三、点的加速度三、点的加速度 M M v v v v a a 如图，动点如图，动点M在时间间隔在时间间隔 内速度矢量的内速度矢量的 改变量为改变量为 t vvv 则则 t v a 表示动点的速度在时表示动点的速度在时 t内的平均变化率，称为内的平均变化率，称为间间隔间间隔 平均加速度平均加速度。 当当 时，平均加速度的极限矢量称为时，平均加速度的极限矢量称为 动点在动点在t瞬时的瞬时的加速度加速度

8、。即。即 0t rv dt vd t v aa tt 00 limlim 即：即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶点的加速度等于它的速度对时间的一阶 导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。 8.2 点的运动的直角坐标法 一、点的运动方程一、点的运动方程 O x y z i j k r M x y z 如图，在参考体上建立直角如图，在参考体上建立直角 坐标系。则坐标系。则 )( 1 tfx )( 2 tfy )( 3 tfz 这就是这就是直角坐标形式的点的运直角坐标形式的点的运 动方程动方程。 由运动方程消去时间由运动方程消去时间t可得两个柱面方程：可得两个

9、柱面方程： 0),( 1 yxF0),( 2 zyF 这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹， 上式称为动点的轨迹方程。上式称为动点的轨迹方程。 8.2 点的运动的直角坐标法 二、点的速度在直角坐标轴上的投影二、点的速度在直角坐标轴上的投影 O x y z i j k r M x y z 由图可知，动点的矢径为由图可知，动点的矢径为 kzj yi xr 将上式两边对时间求导，可得将上式两边对时间求导，可得 k dt dz j dt dy i dt dx dt rd v 将动点的速度表示为解析形式，则有将动点的速度表示为解析形式，则有 kvjvivv zyx

10、比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影 x dt dx vxy dt dy vyz dt dz vz 这就是这就是用直角坐标法表示的点的速度用直角坐标法表示的点的速度。即：。即：点的速点的速 度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时 间的一阶导数间的一阶导数。 8.2 点的运动的直角坐标法 二、点的速度在直角坐标轴上的投影二、点的速度在直角坐标轴上的投影 若已知速度的投影，则速度的大小为若已知速度的投影，则速度的大小为 222 zyxv 其方向余弦为其方向余弦为 v z kv v y jv v x iv

11、),cos( ),cos( ),cos( 8.2 点的运动的直角坐标法 三、点的加速度在直角坐标轴上的投影三、点的加速度在直角坐标轴上的投影 由于加速度是速度对时间的一阶导数，则由于加速度是速度对时间的一阶导数，则 k dt dv j dt dv i dt dv k dt zd j dt yd i dt xd a z y x 2 2 2 2 2 2 将动点的加速度表示为解析形式，则有将动点的加速度表示为解析形式，则有 kajaiaa zyx 比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影 x dt xd dt dv a x x 2 2 y dt yd dt

12、 dv a y y 2 2 z dt zd dt dv a z z 2 2 这就是这就是用直角坐标法表示的点的加速度用直角坐标法表示的点的加速度。即：。即：点的点的 加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应 坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对 应的坐标对时间的二阶导数应的坐标对时间的二阶导数。 8.2 点的运动的直角坐标法 若已知加速度的投影，则加速度的大小为若已知加速度的投影，则加速度的大小为 三、点的加速度在直角坐标轴上的投影三、点的加速度在直角坐标轴上的投影 222222 zyxaaaa

13、 zyx 其方向余弦为其方向余弦为 a z ka a y ja a x ia ),cos( ),cos( ),cos( 8.2 点的运动的直角坐标法 例例1 A B M R O 杆AB绕A点转动时，带动套在半径 为R的固定大圆环上的小护环M运动， 已知 （ 为常数）。求小环M的 运动方程、速度和加速度。 t A B M Ox y 2 解：建立如图所示的直角坐标。则 2cos 2sin Ry Rx 即为小环M的运动方程。 tRy tRx 2cos 2sin 即 tRxvx2cos2 tRyvy2sin2 8.2 点的运动的直角坐标法 例1 故M点的速度大小为Rvvv yx 2 22 A B M

14、Ox y 2 v x v y v 其方向余弦为 2cos),cos( v v iv x 2sin),cos( v v jv y 如图。 xtRva xx 22 42sin4 ytRva yy 22 42cos4 故M点的加速度大小为 222 4Raaa yx 且有rj yi xj yi xa 2222 4)(444 加速度的方向如图。 a 8.2 点的运动的直角坐标法 例2 半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动 地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运 动，且轮心的速度为已知值u，试分析轮子 边缘一点M的运动。 MM R o 8.2 点的运动的直角坐标法 取坐标系Axy如图所示，并设M点所在的

15、一 个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角 度后，M点坐标为 )sin( sin R OMACx )cos1 ( cos R OMOCy 这是旋轮线的参数方程。 o R C A x y M 例2 8.2 点的运动的直角坐标法 例2 M点的速度为： jRiRj yi xv )sin()cos1 ( 其中 可由轮心速度求出： RdtRdxu O / )( 当M点与地面接触，即 时，M点速度等 于零。 k2 o R C A x y M 此时M点的加速度是否为零？为什么？ 8.3 点的运动的自然法 一、运动方程一、运动方程 O M s )( )( 设动点设动点M的运动轨迹如的运动轨迹如 图。图。 S

16、弧坐标弧坐标 当动点运动时，弧坐标随时间当动点运动时，弧坐标随时间t连续变连续变 化，且为时间化，且为时间t的单值连续函数，即的单值连续函数，即 )(tfs 这就是自然坐标形式的点的运动方程。这就是自然坐标形式的点的运动方程。 8.3 点的运动的自然法 二、曲率和曲率半径二、曲率和曲率半径 M )( )( M s 图示空间曲线，图示空间曲线， 表明曲线在弧表明曲线在弧 长长 内弯曲的程度。内弯曲的程度。 MMs s k 称为称为 的的平均曲率平均曲率。MMs 当当 点趋近于点趋近于M点时，平均曲率的极限值就是点时，平均曲率的极限值就是 曲线在曲线在M点的点的曲率曲率，即，即 M s k s 0

17、 lim M点曲率的倒数称为曲线在点曲率的倒数称为曲线在M点的曲率半径，点的曲率半径， 即即 s k 0 lim 1 8.3 点的运动的自然法 三、自然轴系三、自然轴系 M )( )( M s 密切面 法面 切线 主法线 副法线 M n b 如图。由三个方向的单位矢量构成的坐如图。由三个方向的单位矢量构成的坐 标系称为标系称为自然轴系自然轴系。且三个单位矢量满足右。且三个单位矢量满足右 手法则，即手法则，即 nb 自然轴系不是固定的坐标系。自然轴系不是固定的坐标系。 8.3 点的运动的自然法 四、用自然法表示点的速度四、用自然法表示点的速度 由点的速度的矢径法由点的速度的矢径法 ds rd d

18、t ds ds ds dt rd dt rd v 由于由于 ds rd 所以所以v t s dt ds t 0 lim dt ds vv 即：即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧 坐标坐标s对时间的一阶导数，速度的方向沿着对时间的一阶导数，速度的方向沿着 轨迹的切线方向，当轨迹的切线方向，当 为正时指向与为正时指向与 相同，相同， 反之，与反之，与 相反。相反。 dt ds 8.3 点的运动的自然法 五、用自然法表示点的加速度五、用自然法表示点的加速度 由点的加速度的矢径法由点的加速度的矢径法 dt d v dt dv v dt d dt vd a )( 由

19、于n v dt d 所以 n v dt dv a 2 上式表明加速度矢量上式表明加速度矢量 是由两个分矢量组成：分矢是由两个分矢量组成：分矢 量量 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向 加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢 量量 的方向永远沿主法线的方向，称为法向加的方向永远沿主法线的方向，称为法向加 速度，它表明速度方向随时间的变化率。速度，它表明速度方向随时间的变化率。 a dt dv a n v an 2 8.3 点的运动的自然法 五、用自然法表示点的加速度五、用自然法表示点的加速度 加速度在三个自然

20、轴上的投影为加速度在三个自然轴上的投影为 s dt sd dt dv a 2 2 2 v an0 b a 全加速度位于密切面内，其大小为全加速度位于密切面内，其大小为 2 2 222 )()( v dt dv aaa n 方向余弦为方向余弦为 a a a ),cos( a a na n ),cos( 8.3 点的运动的自然法 A B M R O 杆AB绕A点转动时，带动套在半径 为R的固定大圆环上的小护环M运动， 已知 （ 为常数）。求小环M的 运动方程、速度和加速度。 t 解：建立如图所示的自然坐标。 则点的自然坐标形式的运动方程为 例例3 A B M 2 O s tRRs2)2( 速度为 R dt ds v2 v 加速度为 0 dt dv a 2