结构力学位移法

1、西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 基本要求： 掌握掌握位移法基本结构的确定， 位移法典型方程的建立，方程 中的系数和自由项的计算，最 后弯矩图的绘制。 熟练掌握用位移法计算超静定梁、 刚架和排架问题。 重点掌握荷载作用下的超静定结构 计算 掌握剪力图和轴力图的绘制、利用 对称性简化计算。 了解温度改变、支座移动下的超静 定结构计算。 Displacement MethodDisplacement Method v位移法基本概念 v等截面直杆的杆端力 v位移法基本未知量 v位移法之典型方程法 v无侧移、有侧移刚架算例 v位移法之直接平衡法 v位移法计算对称结构 v支座移动和温度改变 西华大学土木

2、工程学院 舒志乐讲授 1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受 力方面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量多余未知力； 基本体系静定结构； 基本方程位移条件 （变形协调条件）。 位移法的特点： 基本未知量 基本体系 基本方程 独立结点位移 平衡条件 ？ 一组单跨超静定梁 11-1 位移法的基本概念 因此，位移法分析中应解决的问题是：确定单跨梁在各 种因素作用下的杆端力。确定结构独立的结点位移。建立 求解结点位移的位移法方程。 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 l l q EI=常数 A B C A q A B C A F1 F1=0 q

3、 A B C F1P ql2/12 ql2/12 A B C A F11 A A A l EI 4 A l EI 2 A l EI 2 A l EI 4 A l EI 2 A l EI 4 A l EI 4 A l EI 2 12 2 1 ql F P ql2/12 F1P 4i F11 l EI l EI AA 44 0 12 8 0 2 1111 ql l EI FFF A P EI ql A 96 3 q A B C ql2/24 5ql2/48 ql2/48 0 1 F AA 0 1 F AA AA 位移法基本思路 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 A B MAB QAB QBA MB

4、A 1、杆端力和杆端位移的正负规定 杆端转角A、B ，弦转角 /l都以顺时针为正。 杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。 用力法求解 i=EI/l 2、形常数：由单位杆端位移引起 的单跨超静定梁的杆端力 MAB0 MBA0 1 4i 2i M iMiM BAAB 2,4 11-2 等截面直杆的杆端力（形常数、载常数） 杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩，都假定 对杆端顺时针转动为正号。作用与结点上 的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针 转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时 逆时针转动为正号。 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 用力法求解单跨超静定梁 X1 X2 1/l 1/l X2

5、=1 1 2 M 1 M X1=1 1 0 1 222121 212111 XX XX EI ll EI63 1 2 11 2112 EI ll EI33 2 2 11 2211 1 0 36 1 63 21 21 X EI l X EI l X EI l X EI l i l EI Xi l EI X2 2 ,4 4 21 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表11-1）。 单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA 4i2i =1 A B A B 1 2 12 l i l i 6 l i 6 l i 6 A B 10 l i 3 A B=1 3i 0

6、2 3 l i A B=1 ii0 l i 3 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力 X1=1P / 11 =3ql/8 1=11X1 + 1P=0 ql2/2 MP q B mAB l，EI l X1=1 1 M D P1 EI qll l ql EI84 3 23 11 42 11 EI lll EI33 2 2 1 32 ql2/8 0 8 2 BAAB m ql m 各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表11-2（P5） M图 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 由跨间荷载引起的杆端力称为载常数（表11-2）

7、。 单跨超静定梁简图mABmBA A B q2 12 ql 2 12 ql A B P 8 Pl 8 Pl A B q 2 8 ql A B l/2l/2 P 3 16 Pl 0 0 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式： QBA QAB MBA MAB P MBAMAB = + P l iiiM l iiiM BABA BAAB D D 642 624 +mAB +mBA 0 AB BAAB AB Q l MM Q 0 BA Q 0 AB Q BA Q AB Q A B MAB QAB QBA MBA 5、已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为分离体建立矩平衡方程：

8、 转角位移方程 注：1、MAB,MBA绕杆端顺时 针转向为正。 2、 是简支梁的剪力。 0 AB Q 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 1、基本未知量的确定： P PC D C 为了减小结点线 位移数目，假定： 忽略轴向变形， 结点转角和弦转 角都很微小。 位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是将 基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。 结点角位移的数目=刚结点的数目 P P 即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。 结论：原结构独立结点线位移的数目=相应铰结体系的自由度。相应铰结体系的自由度。 =刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。 2、

9、基本体系的确定： 11-3 位移法的基本未知量和基本体系 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 结点转角的数目：7个 1 2 3 相应的铰接体系的自由度=3 独立结点线位移的数目：3个 也等于层数 3 结点转角的 数目：3个 独立结点线位移的数目：2个 不等于层数 1 位移法基本未知量 结点转角 独立结点线位移 数目=刚结点的数目 数目=铰结体系的自由度 =矩形框架的层数 在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 注意: 铰处的转角不作基本未知量。杆端为铰支座或铰结点 杆件，其杆端力按一端固定一端铰支的单跨超静定梁确定。 剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。

10、其杆端 力按一端固定一端定向支座的单超静定梁（即剪力静定梁）确 定。如图示结构中B端的侧移，C端的侧移D点的线位移均不作 基本未知量，不需加附加约束。（DE杆是剪力静定杆）。 A B C D E 结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点 位移。若柱子平行，则梁端结点转角=0，若柱子不平行，则 梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。 a l D 对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等 高或不等高，柱顶线位移都相等。 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 1 1 2 1 1 2F1 F2 F1=0 F2=0 F1P F2P k21 1=1 1 1 2 k11 2=1 k22 k12 位移法

11、基本体系 0 0 2222121 1212111 DD DD P P Fkk Fkk F1=0 F2=0 F11、F21(k11、k21) 基本体系在1(=1)单独作 用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力； F12、F22(k12、k22) 基本体系在2(=1)单独作用 时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力； F1P、F2P 基本体系在荷载单独作用时，附加约 束1、2中产生的约束力矩和约束力； 位移法方程的含义：基本体系在结点位 移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的 总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。 11-4 位移法典型方程 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 0 0 0

12、 2211 22222121 11212111 D DD D DD D DD nPnnnnn Pnn Pnn Fkkk Fkkk Fkkk n个结点位移的位移法典型方程 主系数 kii 基本体系在i=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正； 付系数 kij= kji 基本体系在j=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； 自由项 FiP 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； ) ()1( 的弯矩图 荷载引起，由载常数作引起的弯矩图由形常数作 Pii MMD ；再由结点

13、矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截 面投影平衡求附加支杆中的约束力。 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 15kN/m 48kN 4m 4m2m 2m ii i 15kN/m 48kN 1 1 基本体系 F1 当F1=0 15kN/m 48kN 20 20 36 MP M120 36 0 F1P=16 2i 4i 3i i 4i3i i k11=8i 解之:1=F1P/k11=2/i 利用 P MMMD 11 叠加弯矩图 1=1 16 28 30 30 48 2 M图 (kN.m) 0 1111 D P FkF k11 F1P + 1 D 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 由已知的弯矩图求剪力：

14、 0 AB BAAB AB Q l MM Q 15kN/m 48kN 4m 4m2m 2m ii 16 28 30 30 48 2 M图 (kN.m) A B C D kN27 2 415 4 1628 kNQBC5 .31 2 48 4 30 kNQBA33 2 415 4 1628 33 27 + 31.5 + 16.5 Q图 (kN) 由已知的Q图结点投影平衡求轴力： 0 31.5 33 NBD NAB0 B X=0 NAB=0 Y=0 NBD=64.5 校核： B 30 2 28MB=0 27 64.5 16.5 15kN/m 48kN Y=27+64.5+16.515448 =0 西

15、华大学土木工程学院 舒志乐讲授 位移法计算步骤可归纳如下：（位移法计算步骤可归纳如下：（P P22 22） ） 1 1）确定基本未知量；）确定基本未知量； 2 2）确定位移法基本体系；）确定位移法基本体系； 3 3）建立位移法典型方程；）建立位移法典型方程； 4 4）画单位弯矩图、荷载弯矩图）画单位弯矩图、荷载弯矩图; ; 5)5)由平衡求系数和自由项；由平衡求系数和自由项； 6 6）解方程，求基本未知量；）解方程，求基本未知量； 7 7）按）按 M=MM=Mi ii i+M+MP P 叠加最后弯矩图。叠加最后弯矩图。 8 8）利用平衡条件由弯矩图求剪力；由剪力图求轴力。）利用平衡条件由弯矩图

16、求剪力；由剪力图求轴力。 9 9）校核平衡条件。）校核平衡条件。 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 20kN A B C 3m3m 6m ii 2kN/m A B C 16.72 11.57 9 2kN/m 20kN A B C 1 1）确定基本未知量）确定基本未知量1 1= =B B ； ； 2 2）确定位移法基本体系；）确定位移法基本体系； 3 3）建立位移法典型方程；）建立位移法典型方程； 0 1111 D P Fk 4 4）画）画M M、M MP P; ;由平衡求系由平衡求系 数和自由项；数和自由项； 15 15 9 F1P 15 9 F1P=159=6 1=1 2i 4i A B C

17、 3i k11 4i 3i k11=4i+3i=7i 5 5）解方程，求基本未知量；）解方程，求基本未知量； ik F P 7 6 11 1 1 D 6 6）按）按 M=MM=Mi ii i+M+MP P 叠加最后弯矩图叠加最后弯矩图30 M图 (kN.m) 11.57 11.57 7 7）校核平衡条件）校核平衡条件 MB=0 MP M1 11-5 位移法计算连续梁 及无侧移刚架 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 4I4I5I 3I 3I iii 0.75 i 0.5 i iii 0.75 i 0.5 i A BC D E F 5m4m4m 4m 2m 20kN/m 例：作弯矩图 1 1、基本

18、未知量、基本未知量 2 2、基本体系、基本体系 BA ql m 8 420 8 22 mkN.40 BC ql m 12 520 12 22 CB mkNm .7 .41 mkN.7 .41 CB DD 21 , F1P=4041.7= 1.7 A BC D E F 20kN/m 0 0 2222121 1212111 DD DD P P Fkk Fkk 3 3、典型方程、典型方程 4 4）画）画M MP P 、 、M Mi i; ;由平衡求由平衡求k kij ij、 、F FiP iP 40 41.7 41.7 MP M1 F2P=41.7 A BC D E F 3i 4i 2i 3i 1.

19、5i k11=4i+3i+3i= 10i k21=2i 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 M2 A BC D E F 3i 4i 2i 2i i k22=4i+3i+2i= 9i k21=2i 5 5）解方程，求基本未知量；）解方程，求基本未知量； 07 .4192 07 . 1210 21 21 DD DD ii ii i i /89. 4 /15. 1 2 1 D D M1 A BC D E F 3i 4i 2i 3i 1.5i A BC D E F 20kN/m40 41.7 41.7 MP A BC D E F 5m4m4m 4m 2m 43.5 40 46.9 24.5 62.5 1

20、4.7 9.8 4.9 3.4 1.7 M图(kN.M) B 46.9 43.5 3.4 0 B M C 14.7 24.5 9.8 0 C M 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 3kN/m 8m 4m 2i i i 22 1 3kN/m 2 1 F1 F2 F1=0 F2=0 3kN/m F1P F2P k12 k22 乘2 k11 k21 乘1 1=1 2=1 0 0 22221212 12121111 DD DD P P FkkF FkkF F1P k12 k11F1P k12 k11F1P k12 k11F1P k12 k11 F2P k22 k21F2P k22 k21F2P k22

21、 k21F2P k22 k21F2P k22 k21 4 4 MP F1P 0 4 F1P=4 F2P=6 6 2 ql0 F2P 4i 2i 6i 6i 4i k11 i i 5 . 1 4 6 k11=10i k21=1.5i M1 k12 0 1.5i 4 3i 16 3i k21 k22 M2 k12=1.5i k21=15i/16 1.5i 1.5i 0.75i 06 16 15 5 . 1 045 . 110 21 21 DD DD i i ii解之:1=0.737/i，2=7.58/i 利用 P MMMMDD 22111 叠加弯矩图 13.62 4.42 5.69 M图图 (kN

22、.m) 11-6 位移法计算有侧移刚架 与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投 影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的 反力，由截面投影方程来求。反力，由截面投影方程来求。 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 A A B A i3 mAB A B A B l iD 3 1、转角位移方程： l iiiM l iiiM BABA BAAB D D 642 624 +mAB +mBA A B MAB QAB QBA MBA 两端刚结或固定的等直杆两端刚结或固定的等直杆 一端铰结或铰支的等

23、直杆一端铰结或铰支的等直杆 0 33 D BA ABAAB M m l iiM 一端为滑动支承的等直杆一端为滑动支承的等直杆 BAABBA ABBAAB miiM miiM MAB A A B 11-9 用直接平衡法 建立位移法方程 MAB A B A B MBA 0 AB BAAB AB Q l MM Q (4)已知杆端弯矩求剪力已知杆端弯矩求剪力 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 位移法计算步骤可归纳如下：位移法计算步骤可归纳如下： 1 1）确定基本未知量；）确定基本未知量； 2 2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式；）由转角位移方程，写出各杆端力表达式； 3 3）在由结点角位移处，建立

24、结点的力矩平衡方程，）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程， 在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程，在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程， 得到位移法方程；得到位移法方程； 4 4）解方程，求基本未知量；）解方程，求基本未知量； 5) 5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到 杆端力；杆端力； 6 6）按杆端力作弯矩图。）按杆端力作弯矩图。 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 4I4I5I 3I 3I 111 0.75 0.5 i=111 0.75 0.5 A BC D E F 5m4m4m 4m 2m 20kN/m 例11-1 作弯矩图

25、 1、基本未知量B、C 2、列杆端力表达式令EI=1 BA ql m 8 420 8 22 mkN.40 BC ql m 12 520 12 22 CB mkNm .7 .41 mkN.7 .41 CCCF M25 . 04 BBEB M5 . 175. 02 CBCB M7 .4142 CBBC M7 .4124 BBA M403 CCFC M5 . 02 BBBE M375. 04 CCD M 3 3、列位移法方程 0 CFCDCBC MMMM 0 BEBCBAB MMMM07 . 1210 CB 0 7 . 4192 CB 4、解方程 B=1.15 C=4.89 =43.5 =46.9

26、=24.5 =14.7 =9.78 =4.89 MCBMCD MCF =3.4 =1.7 A BC D E F 5m4m4m 4m 2m 43.5 40 46.9 24.5 62.5 14.7 9.8 4.9 3.4 1.7 M图(kN.M) 位移不是真值! 5、回代6、画M图 MBA MBC MBE 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 B 3kN/m 8m 4m 2i i i A B C D )2(3iM BBC 12 43 4 64 2 D iiM BBA 12 43 4 62 2 D iiM BAB 0, 0 QQX CDBA 0, 0 MMM BCBAB 4 3 D iM DC 045

27、. 110Dii B 16 30D i l M Q DC CD 06 16 15 5 . 1 D i i B J 6 4 3 5 . 1 0 D i iQ l MM Q BBA BAAB BA 解之： =0.74/i =7.58/i =13.89 BA Q CD Q =4.42 =4.44 =5.69 4.42 4.44 13.895.69 M图(kN.m) 1、基本未知量B、 2、列杆端力表达式 3、列位移法方程 4、解方程 5、回代 6、画M图 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 P h1 h2 h3 I1 I2 I3 作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。 解：1）基本未知量只有 2）各柱

28、的杆端剪力 侧移刚度J=3i/h2，则： Q1=J1， Q2=J2， Q3=J3 Q1+Q2+Q3=P J1+J2+J3=P D i J P P Q1 Q2 Q3 i i h J PJ M=Qihi i i J PJ Q P 柱顶剪力： 柱底弯矩： J hPJ 11 J hPJ 33 J hPJ 22 3）位移法方程 X=0 M 结点集中力作为各柱总剪力，按结点集中力作为各柱总剪力，按 各柱的侧移刚度分配给各柱。再各柱的侧移刚度分配给各柱。再 由反弯点开始即可作出弯矩图。由反弯点开始即可作出弯矩图。 仅使两端发生单位侧移时需在两仅使两端发生单位侧移时需在两 端施加的杆端剪力。端施加的杆端剪力。

29、 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 在讨论结构上各结点的线位移的关系时可用铰结刚化 体系来代替原结构。其原因是两者结点间的几何约束条 件是相同的：链杆长度不变。 O 瞬心在无穷远 结论：结论：平行柱刚架不论横梁是平的还是斜的，柱子等高不等高，平行柱刚架不论横梁是平的还是斜的，柱子等高不等高， 柱顶的线位移都相等。柱子不平行时，柱顶线位移不相等，但也柱顶的线位移都相等。柱子不平行时，柱顶线位移不相等，但也 不独立。不独立。 如杆件两端线位移平行，且不垂直杆轴，则为无侧移杆。如杆件两端线位移平行，且不垂直杆轴，则为无侧移杆。 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 i i l PEI= AB CD 12

30、 2 l i J BD 3 2 l i J AC 5 4 /12/3 /12 22 2 P lili liP J PJ Q BD BD 5/12/3 /3 22 2 P lili liP J PJ Q AC AC M图 P P/5P/5P/5P/5 4P/5 l/2l/2 4P/54P/54P/5 Pl/5 2Pl/5 2Pl/5 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 12 2 l i J BD 3 2 l i J AC 5 4P J PJ Q BD BD 5 P J PJ Q AC AC i i 8m EI= AB CD 10kN/m i i EI= AB CD 10kN/m R 3ql/8=3

31、0kN R=30kN =6kN =24kN 4m4m R30kN 80 6 6 6 48 24 24 24 96 96 M图 (kN.M) 128 80 96 96 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 1、剪力静定杆的应用： 剪力静定杆的两端相对侧移可 不作为位移法基本未知量。 2kN/m 2kN/m 11-8 位移法计算的简化 先由平衡条件求出杆端剪力； 将杆端剪力看作杆端荷载， 该端滑动，另端固定的杆计 算固端弯矩。 剪力静定杆转角位移方程同一端刚结一端定向支承的梁 BAABBB ABBAAB miiM miiM 剪力静定杆的固端弯矩计算 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 例题用位移法计算刚

32、架。 解：1、求固端弯矩： mkNmBC.12416 16 3 mkNm mkNm AB BA .36 2 410 3 43 .28 2 410 6 43 2 2 2m2m 4m 18 46 M图（kN.m) 2m2m 4m 3kN/m 16kN A BC 10kN （EI=C） 3kN/m 10kN 36 28 123 BAB BBA BBC iM iM iM i i MMM B B BABCB /10 0404 0 即： =18kN.m =18kN.m =46kN.m 16 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 A B C D A B C D E A BCD E F A B C D E ll

33、P q P+ql ql 按一端固定一端滑动的杆处理的剪 力静定杆，并不包括Q, M都静定的 静定杆。如右图中的AB,CD杆。 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 12kN/m 12kN/m 12kN/m 12kN/m 24kN/m 4m 4m4m EI EI EI 2EIEI 24 24 24 7272 4 20 8 20 8 M反对称 M对称 92 16 432 52 M图 (kN.m) 48 2、应用对称性简化计算 12kN/m 12kN/m X1 4 4 4 M1 96 MP 0 1111 D P X 12kN/m EI EIEI 4m 4m 6 512 4 3 496 3 256 4 3

34、 41 11 1 1 1 3 3 11 D D P P X EIEI EIEI 24 24 72 M反对称 12kN/m 12kN/m 等代结构 24 72 =1 12kN/m 12kN/m 12kN/m EI EI 4m 4m 等代结构 AC B MMM ACABA 0 i A 2 i A 0168 iM ACA 2 iM AAC 4 iM AAB 164 iM ABA 162=20kN.m =8kN.m =8kN.m =4kN.m 20 8 4 20 8 M对称 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 12kN/m 4m3m 4m4m 4I 4I 5I 4I 5I 4m 12kN/m i=1 i

35、=1 A C B ACA M2 AAC M 4 ABA M162 A 164 AAB M 12 412 4 2 0 ACABA MMM 2 0168 A A MAB MAC A =8kN.m =20kN.m =8kN.m =4kN.m 4 8 20 24 4 8 20 24 M图图 (kN.m) 1 1）斜梁（静定或超静定）受竖向）斜梁（静定或超静定）受竖向 荷载作用时，其弯矩图与同跨度同荷载作用时，其弯矩图与同跨度同 荷 载 的 水 平 梁 弯 矩 图 相 同 。荷 载 的 水 平 梁 弯 矩 图 相 同 。 2 2）对称结构在对称荷载作用下，）对称结构在对称荷载作用下， 与对称轴重合的杆弯矩与对称轴重合的杆弯矩=0=0，剪力，剪力=0=0。 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 对图示无结点线位移的刚架和刚结桁架，当忽略杆轴向 变形的影响时，在结点荷载作用下，各杆的弯矩是否为零。 P P W PPP 基本体系的荷载弯矩 图为零，位移法方程的自 由项为零，故结点位移全 为零， 0D Pii MMM 刚结桁架，当忽略杆轴向变形的影响时，结点无线位移，在结 点荷载作用下，各杆的弯矩为零，其结点可按铰结点计算。 西华大学土木工程学院 舒志乐讲授 1)支座移动时的计算 基本