结构动力计算

1、第10章 结构的动力计算 10-2 10-2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 10-3 10-3 单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动 10-4 10-4 阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响 10-5 10-5 多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动 10-6 10-6 多自由度体系的强迫振动多自由度体系的强迫振动 10-7 10-7 小结小结 10-1 10-1 动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度 学习内容学习内容 结构动力计算概念，动力计算自由度，建立体系的运动结构动力计算概念，动力计算自由度，建立体系的运动 方程；单自由度体系的自由振动（频率、

2、周期和振幅的计方程；单自由度体系的自由振动（频率、周期和振幅的计 算）；单自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动（动内算）；单自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动（动内 力、动位移计算）；阻尼对振动的影响；有限自由度体系的力、动位移计算）；阻尼对振动的影响；有限自由度体系的 自由振动（频率、振型及振型正交性）；有限自由度体系在自由振动（频率、振型及振型正交性）；有限自由度体系在 简谐荷载作用下的强迫振动（动内力、动位移计算）；频率、简谐荷载作用下的强迫振动（动内力、动位移计算）；频率、 振型的近似计算方法。振型的近似计算方法。 都江堰震害图片（都江堰震害图片（“都江之春都江之春”框架结构住宅

3、楼）：框架结构住宅楼）： 砼柱破坏，梁端无明显破坏砼柱破坏，梁端无明显破坏 工业厂房交叉斜撑，保全了排架柱。工业厂房交叉斜撑，保全了排架柱。 一、结构动力计算的特点一、结构动力计算的特点 1.1.结构动力学的主要特征结构动力学的主要特征 考虑考虑惯性力的影响惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。是结构动力学的最主要特征。 达朗伯原理达朗伯原理 动静法动静法 2.2.结构动力计算的原理和方法结构动力计算的原理和方法 动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度 静力荷载静力荷载是指其大小、方向和作用位置不随是指其大小、方向和作用位置不随 时间而变化的荷载。这类荷载时间而变化的荷载。这类荷

4、载对结构产生的惯性对结构产生的惯性 力可以忽略不计力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是，由它所引起的内力和变形都是 确定的。确定的。 动力荷载动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时是指其大小、方向和作用位置随时 间而变化的荷载。这类荷载间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力对结构产生的惯性力 不能忽略不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加，因动力荷载将使结构产生相当大的加 速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 1、数学处理复杂。、数学处理复杂。 2、动力问题必须建立与时间有关的一系列解、动力问题必须建立与时间有关的一系列解 答，

5、静力问题具有单一解。答，静力问题具有单一解。 3、结构动力响应还与结构的刚度分布、质量、结构动力响应还与结构的刚度分布、质量 分布、能量耗散等有关。分布、能量耗散等有关。 动力计算与静力计算的区别：动力计算与静力计算的区别： 结构振动分析结构振动分析 随机振动分析随机振动分析 二、动荷载及其分类二、动荷载及其分类 偏心质量偏心质量m,偏心距偏心距e,匀角速度匀角速度 惯性力惯性力:P=m 2e,其竖向分量和其竖向分量和 水平分量均为简谐荷载水平分量均为简谐荷载. t P(t ) t P t 简谐荷载简谐荷载（harmonic load）一般周期荷载一般周期荷载(periodic load) 1

6、）周期荷载：随时间作周期性变化）周期荷载：随时间作周期性变化。（。（转动电机的偏心力转动电机的偏心力） 2）冲击荷载：）冲击荷载：短时内剧增或剧减。短时内剧增或剧减。 3）随机荷载：）随机荷载：(非确定性荷载非确定性荷载) 荷载荷载 在将来任一时刻的数值无法事先确在将来任一时刻的数值无法事先确 定。定。（如地震荷载、风荷载）（如地震荷载、风荷载） P(t ) t 随机荷载随机荷载 (random load) P t tr P 突加荷载突加荷载 (Suddenly applied constant load) P(t ) ttr P 爆炸荷载爆炸荷载 三、三、 结构动力学的任务结构动力学的任务

7、(1)(1)提供任意给定结构在任意动荷载作用下进提供任意给定结构在任意动荷载作用下进 行行响应分析的方法响应分析的方法； (2)(2)确定结构固有确定结构固有动力特性动力特性及结构固有动力特及结构固有动力特 性、动荷载和结构响应三者间的相互关系，即结性、动荷载和结构响应三者间的相互关系，即结 构在动荷载作用下的构在动荷载作用下的响应规律响应规律； (3)(3)为结构为结构动力可靠性设计动力可靠性设计和和健康诊断健康诊断提供提供依依 据据。 四、动力计算的内容四、动力计算的内容 动力计算的内容动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下：研究结构在动荷载作用下 的动力反应的计算原理和方法。的动力反应的

8、计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因素：涉及到内外两方面的因素： (1(1）确定动力荷载；）确定动力荷载； (2(2）确定结构的动力特性；计算动位移及其）确定结构的动力特性；计算动位移及其 幅值；计算动内力及其幅值。幅值；计算动内力及其幅值。 本课程的内容本课程的内容 基于杆系结构的动力学基础基于杆系结构的动力学基础 研究的问题研究的问题 自由振动自由振动 强迫振动强迫振动 计算内容计算内容 确定结构的动力特征确定结构的动力特征 计算结构的动力反应计算结构的动力反应 与其它课程之间的关系与其它课程之间的关系 结构动力学以结构力学和数学为基础。结构动力学以结构力学和数学为基础。 结构动力学作为

9、结构抗震、抗风设计计算的基础。结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。 五、动力计算中体系的自由度五、动力计算中体系的自由度 确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参独立几何参 数数的个数称为体系的振动自由度。的个数称为体系的振动自由度。 1）集中质量法）集中质量法(method of lumped mess) m mm梁 梁 m+m梁 梁I I2I m+m柱 柱 厂房排架水平振动厂房排架水平振动 时的计算简图时的计算简图 单自由度体系单自由度体系 (single degree-of-freedom system) 三个自由度体系三个自由度

10、体系 水平振动时的计算体系水平振动时的计算体系 多自由度体系多自由度体系 构架式基础顶板简化成刚性块构架式基础顶板简化成刚性块 (t) v(t) u(t) 三个自由度三个自由度 三个自由度三个自由度 2 2）广义坐标法）广义坐标法( (generalized coordinategeneralized coordinate) ) n i ii xaxy 1 )()( 3) 3) 有限元法（有限元法（finite elementfinite element） l （2 2）与几何组成分析中的自由度不同。）与几何组成分析中的自由度不同。 M = = mlm l l 有关自由度的几点说明：有关自由度

11、的几点说明： （1 1）基本未知量数目与自由度数目是一致的。基本未知量数目与自由度数目是一致的。 （3 3）一般采用）一般采用“集中质量法集中质量法”，将连续分布的质量集中，将连续分布的质量集中 为几个质点研究（为几个质点研究（“广义位移法广义位移法”、“有限单元法有限单元法”）。）。 （4 4）并非一个质量集中点一个自由度）并非一个质量集中点一个自由度 （5 5）结构的自由度与是否超静定无关。）结构的自由度与是否超静定无关。 （6 6）可用加链杆的方法确定自由度。）可用加链杆的方法确定自由度。 （6 6）可用加链杆的方法确定自由度。）可用加链杆的方法确定自由度。 2个自由度个自由度 1个自由

12、度个自由度 2个自由度个自由度 2004年8月 10-1 动力计算的特点和动力自由度 EI EI EIEIEI 质点体系自由度的几种情况质点体系自由度的几种情况 自由度为自由度为1 1 a a 梁式杆（不计轴变）梁式杆（不计轴变） EIEI y1 y1 y2 自由度为自由度为2 2 EI= y1 自由度为自由度为1 1 y1 y2 自由度为自由度为2 2 自由度与质体自由度与质体 的数目无关的数目无关 2004年8月 10-1 动力计算的特点和动力自由度 b b 弹簧支撑弹簧支撑 自由度为自由度为2 2 y1 y2 EI EI 弹簧和桁架杆不影弹簧和桁架杆不影 响体系的自由度响体系的自由度 自

13、由度为自由度为2 2 EI EI c c 考虑轴变的桁架杆考虑轴变的桁架杆 EI EIEA y1 y2 1 y 2 y 1 y 1 y 2 y EI 1 y 2 y EI m 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=t=0 0）受到外界的干扰。）受到外界的干扰。 静平衡位置静平衡位置 m获得初位移获得初位移ym获得初速度获得初速度 1 振动方程的建立 0my tky t 刚度法刚度法 体系在惯性力作用下处于体系在惯性力作用下处于

14、动态平衡。动态平衡。 柔度法柔度法 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。 my t y tmy t k 2 振动方程的解 振动微分方程改写为振动微分方程改写为 2 0 y t y tk m 00 00yyyv初始条件初始条件 通解通解 tCtCysincos 21 动位移为动位移为t v tyty sincos)( 0 0 10-2 单自由度体系的自由振动 由由y0引起的引起的 由由v0 引起的引起的 总位移总位移 10-2 单自由度体系的自由振动 将动位移表达式改写成单项式将动位移表达式改写成单项式 初始相位角初始相位角 ( )siny t

15、at 2 2 0 0 v ay 1 0 0 tan y v 振幅振幅（amplitude of vibration） 10-2 单自由度体系的自由振动 3 3 结构的自振周期和圆频率结构的自振周期和圆频率 （natural period and natural circular frequency ） 周期周期 2 T 频率频率 1 2 f T 圆频率圆频率 完成一次振动需要的时间完成一次振动需要的时间 单位时间内完成振动的次数单位时间内完成振动的次数 22个单位时间内完成振动的次数个单位时间内完成振动的次数 2 2f T y a t 10-2 单自由度体系的自由振动 计算公式的几种形式计算公

16、式的几种形式 1 21k 3mW g st 4W 2Tm k 2Tm 2TWg st 2Tg k m 1m g W st g 10-2 单自由度体系的自由振动 自振周期的特性自振周期的特性 （1 1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关。 （2 2）自振周期与质量的平方根成正比自振周期与质量的平方根成正比；自振周期与刚度的；自振周期与刚度的 平方根成反比。平方根成反比。 （3 3）两个外形相似的结构，如果其）两个外形相似的结构，如果其自振周期相近，则在动自振周期相近，则在动 荷载作用下的动力性能基本一致荷载作用下的动力性能基本一致, ,是结构动力

17、特性的重要数是结构动力特性的重要数 量标志。量标志。 10-2 单自由度体系的自由振动 4 4、简谐自由振动的特性、简谐自由振动的特性 动位移动位移)sin()(tAty 加速度加速度)sin()( 2 tAt y 1)sin(t时，其幅值分别为：时，其幅值分别为： Ay 2 Ay 2 mAI )sin()()( 2 tmAtymtI 惯性力惯性力 10-2 单自由度体系的自由振动 例例1 求图示求图示 简支梁的自振周期和圆频率简支梁的自振周期和圆频率 解解对于竖向振动，柔度系数为对于竖向振动，柔度系数为 3 48 l EI 3 22 48 ml Tm EI 3 148 EI mlm 10-2

18、 单自由度体系的自由振动 例例2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期 解解（1）水平振动）水平振动 3 st 3 Wl EI 当杆顶作用水平力当杆顶作用水平力W时，杆时，杆 顶的水平位移为顶的水平位移为 3 2 3 Wl T EIg （2）竖向振动）竖向振动 当杆顶作用竖向力当杆顶作用竖向力W时，杆顶的时，杆顶的 竖向位移为竖向位移为 st Wl EA 2 Wl T EAg 10-2 单自由度体系的自由振动 例例3 3、图示三根单跨梁，、图示三根单跨梁，EIEI为常数，在梁中点有集中质量为常数，在梁中点有集中质量m m，不考，不考 虑梁的质量，试比

19、较三者的自振频率。虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 l/2l/2l/2l/2l/2l/2 m m m 解：解：1 1）求）求 EI l 48 3 1 P=1 3l/16 5l/32 P=1 l/2 EI lllll EI l 768 7 ) 32 5 216 3 2 2( 6 1 3 2 1 EI l 768 7 3 2 EI l 192 3 3 3 1 1 481 ml EI m 3 2 2 7 7681 ml EI m 3 3 3 1921 ml EI m 据此可得据此可得：1? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2 10-2 单自由度体系的自由振动 27 4l 27 2l 9 l

20、1 1 3 l 3 3 11 145 (2) 63 273 91458 l lll ll EIEI 3 11 11458 5 EI mml l/32l/3 m l/2l m 12 l EI ll l llll EI8 ) 3 2 222 1 23 2 222 1 ( 1 3 11 3 11 81 ml EI m 例例 例例 10-2 单自由度体系的自由振动 1 例例4 4、求图示结构的自振圆频率。、求图示结构的自振圆频率。解法 解法1 1：求：求 k =1/h MBA=kh = MBC k l h m I EI B A C lh EI l EI3 3 lmh EI m k 2 3 2 3 lh

21、 EI k 1 h 解法解法2 2：求：求 EI lhhlh EI33 2 2 1 2 2 11 31 mlh EI m 10-2 单自由度体系的自由振动 例例5 5、求图示结构的自振频率。、求图示结构的自振频率。 l EI m k 1 k11 k11 k 3 3 l EI解：求解：求 k 3 11 3 l EI kk m k m k l EI 3 3 11 10-2 单自由度体系的自由振动 例例6.6.求图示体系的自振频率和自振周期。求图示体系的自振频率和自振周期。 mm EI EIEI L L 解解： 1 L L M1图 10-2 单自由度体系的自由振动 柔度系数柔度系数 EI l 3 2

22、 3 自振频率自振频率 33 4 3 3 2 2 11 ml EI EI l m m 自振周期自振周期 EI ml T 3 4 2 2 3 10-2 单自由度体系的自由振动 例例7 7图示排架的横梁为刚性杆，质量为图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱，柱 质量不计质量不计, ,求其自振频率。求其自振频率。 m h EIEI k 1 3EI/h23EI/h2 M1图 k1 3EI/h33EI/h3 解解： 10-2 单自由度体系的自由振动 3 6 h EI k 自振频率自振频率 3 6 mh EI m k 10-2 单自由度体系的自由振动 求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。求图示刚架的自振频率

23、。不计柱的质量。 EIEI EI1= m l h 1 3EI/h2 6EI/h2 6EI/h2 k 12EI/h33EI/h3 3 15 h EI k 3 15 mh EI m k 例例 10-2 单自由度体系的自由振动 m k m k m k m 10-3 单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）单自由度体系的强迫振动（不计阻尼） 强迫振动强迫振动结构在动力荷载作用下的振动，也叫结构在动力荷载作用下的振动，也叫受迫振动受迫振动。 一一. .强迫振动的运动微分方程强迫振动的运动微分方程 ( )( )my tky tP t 运动方程运动方程 或或 2 ( )( ) P t y ty t m 式中式中

24、k m 结构的自振频率结构的自振频率 式（式（101011)11)为单自由度体系强迫振动的运动为单自由度体系强迫振动的运动 方程。方程。 单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示: : y(t) m P(t )P(t ) m y m ky P(t ) my . k EIl )(ty P( (t) ) tPtPsin)(P 荷载幅值荷载幅值 荷载频率荷载频率 运动方程运动方程 t m P tytysin)()( 2 二、简谐荷载作用下的受迫振动二、简谐荷载作用下的受迫振动 1.1.运动方程的建立及求解运动方程的建立及求解 P m P y

25、 st 2 荷载幅值作为静荷载所引起的荷载幅值作为静荷载所引起的最大静位移最大静位移 运动方程的解为：运动方程的解为： ttyty st sinsin )1 ( 1 )( 2 2 按荷载频率振动 按自振频率振动 EIl )(ty P( (t) ) tPtPsin)(P 荷载幅值荷载幅值 荷载频率荷载频率 运动方程运动方程 )()()( * tytyty 先求方程特解先求方程特解： t m P tytysin)()( 2 tAtysin)( * 2 2 2 22 1 )( m P m P A 二、简谐荷载作用下的受迫振动二、简谐荷载作用下的受迫振动 1.1.运动方程的建立及求解运动方程的建立及求

26、解 齐次解：齐次解： tCtCtycossin)( 21 tytCtCty st sin )1 ( 1 cossin)( 2 2 21 2 2 2 22 1 )( m P m P A 通解为：通解为： P m P y st 2 荷载幅值作为静荷载所引起的荷载幅值作为静荷载所引起的最大静位移最大静位移 tytAty st sin 1 1 sin)( 2 2 * 积分常数积分常数 由初始条件确定，设在由初始条件确定，设在t = 0时的初位移和初速度时的初位移和初速度 均为零，则得均为零，则得 12 ,CC 运动方程的解为：运动方程的解为： 0, 1 2 2 2 1 CyC st ttyty st

27、sinsin )1 ( 1 )( 2 2 （10101212） 式（式（10-1210-12）中第一项为动荷载引起的振动）中第一项为动荷载引起的振动; ;第二项为初始条件引起第二项为初始条件引起 的自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快衰减掉。的自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快衰减掉。 自由振动消失前的振动阶段称为自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段过渡阶段。后来只按荷载频率进行的振。后来只按荷载频率进行的振 动阶段为振动的动阶段为振动的平稳阶段平稳阶段，称为，称为纯受迫振动纯受迫振动或或稳态振动稳态振动。 按荷载频率振动 按自振频率振动 2.2.稳态振动分析

28、稳态振动分析 稳态振动阶段运动方程的解稳态振动阶段运动方程的解：tyty st sin )1 ( 1 )( 2 2 stst yyty )1 ( 1 2 2max 最大动位移最大动位移： )1 ( 1 2 2 max st y ty 动力系数动力系数： (magnification factor) 当动荷载与惯性力共线时当动荷载与惯性力共线时,还有还有 std MM max （1 1）动位移的讨论）动位移的讨论 3 2 1 123 0 共振区 当当 时，时， 1 0 即动位移与干扰力指向一致；即动位移与干扰力指向一致； 当当 时，时， 1 0 即动位移与干扰力指向相反。即动位移与干扰力指向相反

29、。 1 1） 0 1 干扰力产生的动力作用不明显，因此可当作静荷载处理。干扰力产生的动力作用不明显，因此可当作静荷载处理。 当当 时，时， 为增函数。为增函数。 01 01极限情况，即极限情况，即 或或 ，则，则 。意味着结构为刚体。意味着结构为刚体 或荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。或荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。 2 2） 1 共振共振 为避开共振，可改变干扰力频率或改变结构的自振频率为避开共振，可改变干扰力频率或改变结构的自振频率, , 使使 或或 。 1.25 0.75 随随/的增大而增大。的增大而增大。 2 sinFt y ty t m 非齐次特解非齐次特解 22 *s

30、insin () F ytAtt m 代入方程，得代入方程，得 12 0 2 F aa m 故故 分母为零失效分母为零失效 令非齐次特解令非齐次特解 12 *(sincos)ytt atat *cos 2 Ft ytt m 补充：共振时动力位移会突然增大吗补充：共振时动力位移会突然增大吗? 非齐次通解非齐次通解 st 12 *sincoscos 2 y yyyCtCtt 零零初始条件初始条件 st 21 000;00 2 y yCyC stst sincos 22 yy yttt 共振时，位移是随时间逐渐增大。时间越短，位移越小；对于共振时，位移是随时间逐渐增大。时间越短，位移越小；对于 转速

31、高的机器，在启动或停车的过程中，应迅速通过共振区。转速高的机器，在启动或停车的过程中，应迅速通过共振区。 利用共振振幅突出大的特点，不断改变机器的转速，可以测定利用共振振幅突出大的特点，不断改变机器的转速，可以测定 自振频率。自振频率。 故故 2 I sin sinsin sin P t y tAt P tmy tm Pt Pt Pt 三者同时达到最大值。三者同时达到最大值。 为负数时，位移和惯性力与动荷载方向相反。为负数时，位移和惯性力与动荷载方向相反。 惯性力与位移总是同向。惯性力与位移总是同向。 动荷载、动位移、惯性力三者的关系动荷载、动位移、惯性力三者的关系 体系处于静止状态体系处于静

32、止状态 1 0 max 0y 3 3）为减函数为减函数 通过改变频比可增加或减小振幅。通过改变频比可增加或减小振幅。 01 应使频率比减小，增加结构的自振频率，增大刚度，应使频率比减小，增加结构的自振频率，增大刚度， 减小质量；减小质量； （刚性方案）（刚性方案） （2 2）降低振幅的措施）降低振幅的措施 频率比频率比 2 k m 应使频率比增大，减小结构的自振频率，减小刚度，应使频率比增大，减小结构的自振频率，减小刚度， 增大质量。增大质量。 （柔性方案）（柔性方案） 1 3.3.动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算 计算步骤：计算步骤： （1）计算动力系

33、数；）计算动力系数； （2 2）计算动荷载幅值作为静荷载作用时引起）计算动荷载幅值作为静荷载作用时引起 的位移和内力；的位移和内力； （3 3）将位移和内力分别乘以动力系数得动位）将位移和内力分别乘以动力系数得动位 移幅值和动内力幅值。移幅值和动内力幅值。 例例. .求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移。求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移。 .min/500,10,35 ,210,108.8,4 45 rnkNPkNQ GPaEmIml 解：解： 1 11 3 .62/1 Sgm Q m10722.0 3 11 Py st 4.3 /1 1 22 m1045.2 3 max st yty tPs

34、in Q /2/2 重力引起的弯矩重力引起的弯矩mkN35 4 1 QlM Q 重力引起的位移重力引起的位移 m1053. 2 3 11 Q Q 1 11 /4 m/N10722.0 48 7 3 11 EI l kN.m10 4 1 PlM st -1 S3 .5260/2n 最大动位移最大动位移 最大动弯矩最大动弯矩kN.m34 stD MM 跨中最大弯矩跨中最大弯矩kN.m69 max DQ MMM 跨中最大位移跨中最大位移 m1098.4 3 maxmax ty Q 例 有一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数 W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中

35、点有电动机重量 Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力 P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动 的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m. 解：1）求自振频率和荷载频率 S QlEIg 1 343 4 .57400359807480101 . 24848 S n 1 3 .526050014. 32602 2）求动力系数 88. 5 4 .573 .521 1 1 1 2222 EI Pl EI Ql yst st 4848 33 max W lPQ W Pl W Ql 4 )( 44 max st g 175.6MPa I22

36、b3570cm4 357039.7 39.7 1.35 52.3/57.4=0.91 325 149.2 例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。 2m EI m k Psint 2m 解：1)求 kEI l 2 1 2 1 48 3 21 EI l EI l EI l 192 5 19248 333 1 3 11 16.134 5 1921 s ml EI m 2)求 552. 1 1 1 22 m EI l PPyd 3 5 333 max 1075. 5 1090192 451020552.

37、 1 192 5 3)求ydmax Mdmax max 1 1.55220 431.04. 44 d Pl MkN m lPmgM)( 4 1 max Pmgy max 在挑梁上有一电动机，扰力在挑梁上有一电动机，扰力 sinP tPt 的幅值为的幅值为 P=4.9kg，转数为，转数为n=1200转转/分，质量为分，质量为m=123kg。梁截面。梁截面 转动惯量为转动惯量为I=78cm4，弹性模量为，弹性模量为E=2.1106kg/cm2，长为，长为 l=1m。试求梁端最大动位移和动弯矩图。试求梁端最大动位移和动弯矩图。 1m 解解 （1）自振圆频率）自振圆频率 3 3lEI 481572 1

38、23160524 4162.6/k ms 4386 101332.1 109.878/1 481572 1 N m 0kEI l 2 4016400 40131160524/41 2 st 5 4.924.01 481572240786 9.97 10 9.8 m 0.01cm F y k 22 2 11 16400 11 40131 0.33 26040/sn （2）频率比）频率比 （3）静位移和动力系数）静位移和动力系数 st2 2 3 24.011 16400240786 1 40131 24.01 24078698400 3.29 10cm Ay （4）梁端最大动位移）梁端最大动位移

39、（5）固定端最大动弯矩）固定端最大动弯矩 2 st2 4.9 9.81 16400 1 40131 15.85kNm AA MM 动内力是动荷载和惯性动内力是动荷载和惯性 力共同作用下产生的力共同作用下产生的. 4.9 9.848.02NF 2 2 I 2 2 2 24.01 2407869840 1231600 787528 40131 16400 63.87N 0 FmA 惯性力幅值惯性力幅值 动荷载幅值动荷载幅值 48.02NF 48.02Nm 静弯矩图静弯矩图 I 63.87NF 48.02NF 15.85Nm 动弯矩幅值图动弯矩幅值图 最大位移和最大内力的计算最大位移和最大内力的计算

40、 振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和；振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和； 振幅为动位移的幅值（最大动位移）；振幅为动位移的幅值（最大动位移）； 最大内力为最大动内力与静内力之和。最大内力为最大动内力与静内力之和。 最大动位移和最大动内力要考虑动力系数的影响；最大动位移和最大动内力要考虑动力系数的影响； 动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内力叠动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内力叠 加时应予以注意。加时应予以注意。 t y 钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线 振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。 10-4 阻尼(damping)对振动的影响 自由振动衰减与构件固

41、有频率的关系自由振动衰减与构件固有频率的关系 忽略阻尼影响时所得结果忽略阻尼影响时所得结果 能不能能不能 反映实际结构的振动规律。反映实际结构的振动规律。大体上大体上 忽略阻尼的振动规律忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律 结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。 简谐荷载作用下有可能出现共振。简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。 共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。共振时的振幅较大但为有限值。 产

42、生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内 摩擦；周围介质的阻力。摩擦；周围介质的阻力。 考虑阻尼的振动模型考虑阻尼的振动模型 y ky k m P(t ) P(t ) y 动平衡方程： 1、有阻尼的自由振动 m c m k 2 , ( 阻尼比damping ratio ） )1( 2 l 02 22 ll ) ( lt Cety设解为： 特征方程为： (characteristic equation)1)1（低阻尼）情况 2 1l rr i其中 tCtCey rr t sincos 21 t yv tyey r r r t sinc

43、os 00 0 2 20yyy . ( )mycykyP t . cy . my . c 00 0 2 2 002 0 )( )sin( yv y tg yv ya taey r r r t ae-t t y t y 低阻尼y- t曲线 无阻尼y- t曲线 阻尼对自振频率的影响. 而随,1 2 r 阻尼对振幅的影响. 振幅ae-t 随时间衰减。 00 0 2 2 002 0 )( )sin( yv y tg yv ya taey r r r t ae-t t y t y 低阻尼y- t曲线 无阻尼y- t曲线 阻尼对自振频率的影响. 而随,1 2 r 当0.2,则0.96r/1 在工程结构问题

44、中0.011 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。 1=cr 2、有阻尼的强迫振动（简谐荷载P(t)=Fsint） tCtCey rr t sincos 21 +Asint+Bcost 齐次解加特解得到通解： 自由振动，因阻尼作用， 逐渐衰减、消失。 纯强迫振动，平稳振动， 振幅和周期不随时间而变. 结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。 y=Asint+Bcost=yPsin(t) 2 11 2 2 2 2 2 2 22 )(1 )(2

45、,41 2 1 tg A B tg yBAy stP 振幅:yp st P y y 2 1 2 2 2 2 2 2 41 )3417(sin2 2 t m F yyy . tyty pp cossinsincos （2）简谐荷载P(t)=Fsint 设特解为：y=Asint+Bcost 代入（17-34）得： 222222222222 22 4)( 2 , 4)( m F B m F A tCtCey rr t sincos 21 +Asint+Bcost 齐次解加特解得到通解： 自由振动，因阻尼作用， 逐渐衰减、消失。 纯强迫振动，平稳振动， 振幅和周期不随时间而变. 结论：在简谐荷载作用下

46、，无论是否计入阻尼的作用，纯结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。 y=Asint+Bcost=yPsin(t) 2 11 2 2 2 2 2 2 22 )(1 )(2 ,41 2 1 tg A B tg yBAy stP 振幅:yp，最大静力位移 yst=F/k=F/m2 st P y y 2 1 2 2 2 2 2 2 41 )3417(sin2 2 t m F yyy . tyty pp cossinsincos st P y y 2 1 2 2 2 2 2 2 41 与频率比/和阻

47、尼比有关 4.0 3.0 2.0 1.0 0 1.02.03.0 / =0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5 =1.0 几点讨论： 随增大曲线渐趋平缓， 特别是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。 当接近时，增加的很快， 对的数值影响也很大。 2 1 共振时共振时 max并不发生在共振/=1时， 而发生在， 2 21 2 1 12 1 1 2 max st P y y 2 1 2 2 2 2 2 2 41 与频率比/和阻尼比有关 4.0 3.0 2.0 1.0 0 1.02.03.0 / =0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5 =1.0 几点讨论： 随增大曲线渐趋平缓， 特别是在/

48、=1附近的 峰值下降的最为显著。 当接近时，增加的 2 1 共振时共振时 很快，对的数值影响 也很大。在0.75/1.25 (共振区)内，阻尼大大地减 小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反应, 阻尼的影响是不容忽略。在 共振区之外阻尼对的影响 较小，可按无阻尼计算。 max并不发生在共振/=1时， 而发生在， 由y=yPsin(t) 可见， 只要有阻尼位移总滞后荷载 P=Fsint一个 相位角， 2 1 12 1 1 2 max 2 1 )(1 )(2 tg 但因很小，可近似地认为： 2 21 当时,180体系振动得很快，FI很大，S、R相对 说来较小，动荷主要由FI 平衡， F

49、I 与y同向，y与P反向； 位移y、弹性力S，惯性力FI， 阻尼力R分别为： )cos(),sin( ),sin(),sin( 2 tyccyRtymmyF tkykyStyy PP I PP . tsin 2 1 m F 2 tFsin k m2 2 tym P sin2) tymF P I 90）sin( 2 tkyS P ),90sin( 当=时,90 由此可见：共振时（=），S与FI刚好互相平衡， yst 2 1 )(1 )(2 tg 有无阻尼 均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位 移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力 来平衡动荷载，才出现位移为无限

50、大的现象。 k=m2=m2 )cos( ),sin( ),sin( ),sin( 2 tyccyR tymmyF tkykyS tyy P P I P P . . tycycR P 90cos( . =P(t) 强迫振动时的能量转换 振动荷载Fsint在振动一个周期所输入的能量 dtytFdt dt dy tFdytFdWPsinsinsin . 在时间段dt内 在一个周期内 sinsin 2 0 Fyt dytPU pP . 在时间段dt内 在一个周期内 2 0 2 2 pR cyt dcyU . 粘滞阻尼力cy 在振动一个周期所消耗的能量 . dtcydt dt dy cydycydWR

51、2 . 当体系有阻尼时,振动过程中总有能量的损耗,为使振动 不衰减,就必须经常补充以能量.当稳态振动时, UR=UP sin 2 Fycy pp sin c F y p 222222 4)( 2 sin m F y B p 2 1 2 2 2 2 2 2 41 stP yy 弹性动内力幅值的计算 一般方法:由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达 到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和 惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。 惯性力与位移同时达到幅值。 荷载与 位移 无阻尼时同时达到幅值。 有阻尼时位移总滞后荷载一个相位角 。 比例算法:无阻尼单自由度体系且荷载作用在振动质

52、点上 (动荷载与惯性力共线)时，产生振幅yd的外力P为: FmFFmFAmF 222 1 这意味着，在位移达到幅值时，可用F 代替惯性力和荷 载的共同作用（有无阻尼均如此）。 F产生的动内力和动位 移是F产生的静内力和静位移倍。 注意：位移达幅值时，速度为 零，故阻尼力为零，计算 时不必考虑阻尼力。 EI= m 例题：图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共计为m 9.8kN ，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。 解： 03

53、35. 0 4 . 0 5 . 0 ln 2 1 ln 2 1 1 k k y y mN A P k/10196 005. 0 108 . 9 4 3 0 1 189. 4 5 . 1 22 s T k2 mc 2 m2 2 cmsNmsN/2 .332/33220 189. 4 101960355. 02 4 例题例题 图示刚架，柱的抗弯刚度图示刚架，柱的抗弯刚度EI=4.5106 Nm2，不计，不计 质量；横梁为刚性，质量质量；横梁为刚性，质量m=5000 kg。为测得该结构的阻尼。为测得该结构的阻尼 系数，先用千斤顶使横梁产生系数，先用千斤顶使横梁产生25 mm的侧移，然后突然放开，的侧

54、移，然后突然放开， 使刚架产生自由振动。经过使刚架产生自由振动。经过5个周期后，测得横梁侧移的幅个周期后，测得横梁侧移的幅 值为值为7.12 mm，试计算结构的等效粘滞阻尼系数。，试计算结构的等效粘滞阻尼系数。 解：解： 62 6 33 124.5 10N m12 224.0 10 N/m (3 m) EI k h k k+n t t 1125 mm lnln0.04 22 57.12 mm y ny 62 22 0.044.0 10 N m5000 kg11313.7 kg/sckm 钢筋混凝土和砌体结构钢筋混凝土和砌体结构 ， 钢结构钢结构 。 各种坝体的各种坝体的 。 0.04 0.05

55、 0.02 0.03 0.03 0.2 例题例题 试求例题中图示刚架的自振频率，并与有阻尼自振试求例题中图示刚架的自振频率，并与有阻尼自振 频率比较。频率比较。 解：解： 62 4 10 N m 28.284 rad/s 5000 kg k m 22 128.284 rad/s 10.0428.261 rad/s r 100%0.081% r r 工程中取工程中取 是有足够精度的。是有足够精度的。r 例题例题 m 解解 0 1 1 ln0.0355 2 y y 0 1 0.5 lnln0.223 0.4 y y 2 0 222 0 32 2 4 2 98 101.5 11182N 40.5 F

56、 ykFT m y T 在横梁处加在横梁处加F=98kN的水平力，横梁发生侧移的水平力，横梁发生侧移y0=0.5cm。 突然释放。测得周期突然释放。测得周期Tr=1.5s，一个周期后，横梁的侧移为，一个周期后，横梁的侧移为 y1=0.4cm。试求：质体的质量、对数衰减率、阻尼比。试求：质体的质量、对数衰减率、阻尼比。 例题 解解 3 st 3 2.490.056 10m0.056mm 134000 ay st 6 3000 9.83 m0.022mm 134 109.8134000 F y k 22 22 26 2/602800/60832 0.83 ( /)(134 109.8/156000

57、)8417 n k m 2222 22 22 2 11 2.49 832832 14 0.2(1)4 98499849 已知已知: :机器的转速为机器的转速为n=800转转/ /分分, ,扰力幅值扰力幅值F=3T,地基刚地基刚 度度k=134000T/m,机器和基础的重量为机器和基础的重量为Q=156T,阻尼比为阻尼比为0.2. 试试 求：质体的振幅。求：质体的振幅。 例 图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度 系数为cz=0.6N/cm3=0.6103kN/m3，基础底面积A=20m2。试 求机器连同基础作竖向振动时 (1) 自振频率； (2) 机器运转产生P0sint，P0

58、=20kN，转速为400r/min。求 振幅及地基最大压力。 (3) 如考虑阻尼，阻尼比=0.15，求振幅及地基最大压力。 W P0sint解: (1)让振动质量产生向下单位 位移需施加的力为： k= czA= 0.6103 20 =12103kN/m 1 3 27.44 60 8 . 91012 s W kg m k 解: (2)求荷载频率 1 89.41 60 4002 60 2 s n 求动力系数 59. 9 27.44 89.41 1 1 1 1 2 2 2 在共振区 946. 0 27.44 89.41 3 20 9.590.016 12 10 Pst yym 0 max 6020

59、9.5912.56 2020 PW pkPa AA 竖向振动振幅 地基最大压力 解 (3)：求动力系数 22 2222 22 2222 11 3.31 41.8941.89 1414 0.15 44.2744.27 33. 32/1因在共振区或： 竖向振动振幅 3 20 3.310.0055 12 10 P ym 地基最大压力kPa A P A W p31. 6 20 20 31. 3 20 60 0 max kN P 5 ln A A 0 0 5 5 05 AA， mc2 )(5 2n 1 1 )(50 d s.TT 5 n 0 5 110 5 0 0355 252 3 14 50 164

60、. ln()ln(). . A A mc 2 2 2 k 0 P 2 2 A FT 5 1 107 10 kg/s. 0 1 2 ln a an A nA 050 50 ln 035502 1 . . . 0 1 2 ln a a n A n A 113210 . 例例. 对图示刚架进行自由振动以测动力特对图示刚架进行自由振动以测动力特 性。加力性。加力20kN时顶部侧移时顶部侧移2cm，振动一，振动一 周周T=1.4s后，回摆后，回摆1.6cm，求大梁的重量，求大梁的重量 W及及6周后的振幅。周后的振幅。 k 2 k 2 W=mg 解：解： kNgkW6 .486981 2 20 0496.