自动控制原理(胡寿松版)课件第五章

1、30/4/200906/ec/C180/ 黄山学院信息工程学院黄山学院信息工程学院 自动化专业自动化专业 自动控制原理自动控制原理 第五章 频率分析法 第五章 频率分析法 在工程实际中，人们常运用频率特性法 来分析和设计控制系统的性能。 频率特性法是一种图解分析法，主要是通过 系统的开环频率特性的图形来分析闭环系统的性 能，因而可避免繁琐复杂的运算。来分析和设计 控制系统的性能。 第一节 频率特性 第二节 典型环节与开环系统的频率特性 第三节 频率域稳定判据 第五节 闭环系统的频域性能指标 第四节 稳定裕度 第五章 频率分析法 第一节 频率特性 频率分析法的数

2、学模型是频率特性。通 过对系统频率特性的分析来分析和设计控制 系统的性能。 一、频率特性的定义 二、频率特性的几何表示法 第五章 频率分析法 G(S) R(s)C(s) 系统结构图如图系统结构图如图: 一 频率特性的定义 设系统传递函数为设系统传递函数为 第一节 频率特性 特征方程的根特征方程的根G(s)= (s-s1)(s-s2)(s-sn) U(s) C(s)=G(s)R(s) R(s)= A s2+ 2 r(t)=Asin t =(s-s1)(s-s2)(s-sn) U(s)A s2+ 2 = A1 s+j Bi ssi n i=1 + A2 s-j + 拉氏反拉氏反 变换得变换得: c

3、(t)=A1 e -j t e j t +A2 n i=1 es it +Bi 系统的稳态响应为系统的稳态响应为 cs(t)=limc(t) t e -j t e j t +A2 =A1 求待定系数求待定系数: A1=G(s) (s+j s=-j A s2+ 2 ) =G(-j -2j A ) 同理同理: -j G(j ) G(-j )=|G(j )|e根据根据 -2j -j G(j ) A|G(j )|e = = 2j A|G(j )|e j G(j ) G(j 2j A )A2= - 2j cs(t)=A|G(j e jG(j) t+ e -jG(j) t+ )| G(jt+cs(t)=A

4、|G(j )|sin) 系统正弦信号作用下的稳态输出是与系统正弦信号作用下的稳态输出是与 输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅 值之比为值之比为| |G(jG(j)|,)|,稳态输出与输入间的稳态输出与输入间的 相位差为相位差为G(jG(j) )。 系统输入输出曲线系统输入输出曲线 r(t) t 0 c(t) A A G(j ) r(t)=Asin t G(jt+cs(t)=A|G(j )|sin) G(j) 定义频率特性为定义频率特性为: )G(j j G(j ) =|G(j )|e )e j() =A( 幅频特性：幅频特性： )=|G(j )|A( 相频

5、特性：相频特性： G(j ) ( )= 频率频率特性表征了系统输入输出之间的特性表征了系统输入输出之间的 关系，故可由频率特性来分析系统性能。关系，故可由频率特性来分析系统性能。 第一节 频率特性 例 求图所示RC电路的频率特性，并求该 电路正弦信号作用下的稳态输出响应。 解解: 传递函数为传递函数为 G(s)= Ts+1 1 T=RC 频率特性频率特性 电路的稳态输出电路的稳态输出: + - ucur + - C i R ur(t)=Asin t T+1 1 )=G(j j = 1+( T)2 -j 1 1+( T)2 T T)t-tg-1 A sin( cs(t)= 1+( T)2 幅频特

6、性和相频特性幅频特性和相频特性 )=|G(j )|A( = 1+( T)2 1 G(j ) ( )= T =-tg-1 第一节 频率特性 0 -80 -60 -40 -20 0 () 12345 TTTTT RC电路的频率特性曲线 1A 0 0.2A 0.4A 0.6A 0.8A A() 12345 TTTTT 频率特性可表示为：频率特性可表示为： )G(j )e j() =A( =P( )+jQ( ) )=tg-1 ( Q( P( ) ) +Q2()=A( P2( ) 第一节 频率特性 0Re Im =0 二 频率特性的几何表示法 频域分析法是一种图解分析法，常见的频 率特性曲线有以下两种。

7、 1幅相频率特性曲线 幅相频率特性曲线又幅相频率特性曲线又 称奈魁斯特曲线称奈魁斯特曲线 幅相频率特性曲线 也称极坐标图也称极坐标图 第一节 频率特性 -20dB/dec -40dB/dec -20dB/dec -40 0 -20 20 40 -180 0 -90 1100.1 1100.1 2对数频率特性曲线 对数频率特性曲线又称伯德图对数频率特性曲线又称伯德图. 对数幅频特性 十倍频程十倍频程 纵坐标表示为： 横坐标表示为： dB L( )=20lgA( ) lg -10 1 dec 为方便只表示 L( )=20lgA() 单位为单位为 dB 斜率斜率 对数相频特性对数相频特性 ) ( 第

8、一节 频率特性 第一节 频率特性 1 1、纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；、纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。值，是不均匀的。 这种坐标系称为半对数坐标系。这种坐标系称为半对数坐标系。 2 2、在横轴上，对应于频率每增大、在横轴上，对应于频率每增大1010倍的范围，称为倍的范围，称为 十倍频程十倍频程(dec)(dec)，如，如1-101-10，5-505-50，而轴上所有十倍，而轴上所有十倍 频程的长度都是相等的。频程的长度都是相等的。 3 3、为了说明对数幅频特性的特点

9、，引进斜率的概念，、为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵 坐标分贝数的变化量。坐标分贝数的变化量。 注意注意 3对数幅相曲线 第一节 频率特性 对数幅相曲线又称尼科对数幅相曲线又称尼科 尔斯曲线或尼科尔斯图。尔斯曲线或尼科尔斯图。 其特点其特点 是纵坐标为是纵坐标为 ，单，单 位为分贝（位为分贝（dBdB），横坐），横坐 标为标为 ，单位，单位 为度，均为线性分度，为度，均为线性分度， 频率频率 为参变量。下为参变量。下 图为图为RCRC网络网络 时的尼科尔斯曲线。时的尼科尔斯曲线。 L ( ) 0.

10、5T 第五章 频率分析法 第二节 典型环节与系统频率特性 频率特性法是一种图解分析法，它是通频率特性法是一种图解分析法，它是通 过系统的频率特性来分析系统的性能过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可因而可 避免繁杂的求解运算。与其他方法比较避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具它具 有一些明显的优点有一些明显的优点. 一、典型环节及其频率特性 二、控制系统开环频率特性 三、传递函数的频域实验确定 第二节 典型环节与系统的频率特性 一、典型环节及其频率特性 1典型环节 （1 1）最小相位系统环节）最小相位系统环节 (0)KK 1/(1)(0)TsT 1 1）比例环节）比例环节 2 2）惯性环

11、节）惯性环节 3 3）一阶微分环节）一阶微分环节 4 4）振荡环节）振荡环节 5 5）二阶微分环节）二阶微分环节 6 6）积分环节）积分环节 7 7）微分环节）微分环节 1 (0)TsT 22 1/( /2/1)(0,01) nnn ss 22 /2/1(0,01) nnn ss 1/s s 第二节 典型环节与系统的频率特性 （2 2）非最小相位系统环节）非最小相位系统环节 (0)KK 1/ (1)(0)TsT 1 1）比例环节）比例环节 2 2）惯性环节）惯性环节 3 3）一阶微分环节）一阶微分环节 4 4）振荡环节）振荡环节 5 5）二阶微分环节）二阶微分环节 1 (0)TsT 22 1/

12、( /2/1)(0,01) nnn ss 22 /2/1(0,01) nnn ss 除了比例环节外，非最小相位环节和与之相除了比例环节外，非最小相位环节和与之相 对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位 置。置。 由于开环传递函数的分子分母多项式的系数皆为由于开环传递函数的分子分母多项式的系数皆为 实数，可以将其分解成若干典型环节的串联形式，实数，可以将其分解成若干典型环节的串联形式， 即即 N i i sGsHsG 1 )()()( 第二节 典型环节与系统的频率特性 设典型环节的频率特性为设典型环节的频率特性为 )( )()( i j ii eAj

13、G 则系统开环频率特性为则系统开环频率特性为 )( 1 1 )()()( N i i jN i i eAjHjG 系统开环对数幅频特性为系统开环对数幅频特性为 N i i N i i LAAL 11 )()(lg20)(lg20)( 结论：系统开环频率特性表现为组成开环系统的诸结论：系统开环频率特性表现为组成开环系统的诸 典型环节频率特性的合成；而系统开环对数频率特典型环节频率特性的合成；而系统开环对数频率特 性，则表现为诸典型环节对数频率特性的叠加这一性，则表现为诸典型环节对数频率特性的叠加这一 更为简单的形式。更为简单的形式。 2. 典型环节的频率特性 1)比例环节 0 K Re Im (

14、1) 奈氏图 G(s)=K 第二节 典型环节与系统的频率特性 =K)G(j K)= A( 0o ( )= (2) 伯德图 对数幅频特性：对数幅频特性： =20lgKL( )=20lgA() 20lgK 0 10.1 dB L( ) 对数相频特性：对数相频特性： =0o )=tg-1 ( Q( P( ) ) 0 10.1 ) ( 2)积分环节 (1) 奈氏图奈氏图 Re Im 0 =0 G(s)= 1 s 1 j )=G(j 1 )= A( -90o ( )= (2) 伯德图伯德图 对数幅频特性：对数幅频特性： =-20lgL( )=20lgA() 对数相频特性：对数相频特性： 10.110 0

15、 -90 10.110 -20dB/dec -90o ( )= =1 L( )=-20lg1=0dB =0.1 L( )=-20lg0.1=20dB ) ( dB L( ) 0 20 -20 第二节 典型环节与系统的频率特性 3)微分环节 (1) 奈氏图奈氏图 G(s)=s )= A( 90o ( )=j)=G(j Re Im 0 =0 (2) 伯德图伯德图 对数幅频特性对数幅频特性： L( )=20lgA() =20lg 对数相频特性：对数相频特性： 10.110 10.110 20dB/dec 90o ( )= =1 L( )=20lg1 =0dB =0.1 L( )=20lg0.1=-2

16、0dB ) ( dB L( ) 0 20 -20 0 90 第二节 典型环节与系统的频率特性 4)惯性环节 G(s)= 1 Ts+1 1 T+1j )=G(j T)2 1 1+( )= A( T -tg-1 ( )= (1) 奈氏图奈氏图 根据根据幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性求出特殊求出特殊 点，然后将它们平滑连接起来。点，然后将它们平滑连接起来。 取特殊点：取特殊点： =0 )=1 A( 0o ( )= = -90o ( )=- 0)= A( 1 = T )=0.707 A( -45o ( )= 绘制奈氏图近似方法绘制奈氏图近似方法: Re Im 0 =0 1 1 = T -45 0

17、.707 可以证明：可以证明： 惯性环节的奈氏惯性环节的奈氏 图是以图是以(1/2,jo)(1/2,jo)为圆为圆 心，以心，以1/21/2为半径的半为半径的半 圆。圆。 第二节 典型环节与系统的频率特性 (2) 伯德图 对数幅频特性：对数幅频特性： 转折频率转折频率 -20dB/dec T 1 10 T dB L( ) T)2 1 1+( )=20lgL( 1 T ( T)21 =0dB20lg1 L( ) ( T)21 20lg T 1 L( ) =-20lg T 1/T频段，可频段，可 用用-20dB/dec渐近渐近 线近似代替线近似代替 两渐近线相交点的为两渐近线相交点的为转折频率转折

18、频率=1/T。 渐近线渐近线 渐近线渐近线 渐近线产生的渐近线产生的最最 大误差值为：大误差值为： 2 1 L=20lg =-3.03dB 精确曲线为精确曲线为 精确曲线精确曲线 相频特性曲线：相频特性曲线： T -tg-1 ( )= 0 -45 -90 ) ( =00o ( )= 1 = T -90o ( )=- -45o ( )= 第二节 典型环节与系统的频率特性 5)一阶微分环节 G(s)=1+Ts (1) 奈氏图奈氏图 1 =0 = 1)= A( 0o ( )= )= A( 90o ( )= T)21+( )= A( T tg-1 ( )= T+1j)=G(j Re Im 0 =0 第

19、二节 典型环节与系统的频率特性 (2) 伯德图伯德图 一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反 比 , 所以它们的伯德图对称于横轴。 20dB/dec T 110 T dB L( ) -20 0 20 ) ( 对数幅频特性：对数幅频特性： T)21+( )=20lg L( 渐近线渐近线 相频特性曲线：相频特性曲线： T tg-1 ( )= 45 0 90 =00o ( )= 1 = T 45o ( )= 90o ( )= 第二节 典型环节与系统的频率特性 6)振荡环节 n = (1- 2 1 )2 2 2 n ) 2+( G(s)= n n s2+2 s+ n 2 2 n n n 2 2 )=G(

20、j - 2+j2 )2( n n n 2 2 )=A( - 2)2+(2 (1) 奈氏图奈氏图 1 =01)= A( 0o ( )= Re Im 0 -90o ( )= 21 )= A( = n =0)= A( -180o ( )= =0=0 =n 将特殊点平滑连接起来，可得近似幅 相频率特性曲线。 =0.4 幅相频率特性曲线因值的不同而异。 =0.6 =0.8 n n 22 - 2 ( )=-tg-1 第二节 典型环节与系统的频率特性 (2) 伯德图伯德图 对数幅频特性：对数幅频特性： )2( n n n 2 2 - 2)2+(2 )=20lg L( nn =0dBL( )20lg1 dB

21、L( ) n ( 2 L( )20lg) n =-40lg n -20 0 20 -40 n10 精确曲线与渐近线精确曲线与渐近线之间存在的误差与之间存在的误差与 值有关，值有关，较小，幅值出现了峰值。较小，幅值出现了峰值。 d =0 ) dA( 可求得可求得 Mr= 1 1- 2 2 r =1-2 2 n 谐振频率谐振频率 谐振峰值谐振峰值 精确曲线精确曲线 =0.1 =0.3 =0.5 相频特性曲线：相频特性曲线： 0 -90 -180 ) ( n n 22 - 2 ( )=-tg-1 =00o ( )= -90o ( )= = n =-180o ( )= 不同，相频特性曲线不同，相频特性

22、曲线 的形状有所不同：的形状有所不同： =0.1 =0. =0. -40dB/dec =0.7 第二节 典型环节与系统的频率特性 第二节 典型环节与系统的频率特性 因为实际对数幅频曲线与阻尼比有关，误差曲线因为实际对数幅频曲线与阻尼比有关，误差曲线(,)L 为一曲线簇，如下图，据此修正渐进曲线而获得准确曲线。为一曲线簇，如下图，据此修正渐进曲线而获得准确曲线。 第二节 典型环节与系统的频率特性 注意：注意：在实际分析对数幅频渐进特性曲线时，常在实际分析对数幅频渐进特性曲线时，常 用的半对数坐标系中的直线方程为：用的半对数坐标系中的直线方程为： 21 21 ()() lglg aa LL k 其

23、中其中 11 ,() a L 22 ,() a L (/)k dB dec 和和为直线上的两点，为直线上的两点， 为直线斜率。为直线斜率。 7)时滞环节 奈氏图是一奈氏图是一 单位圆单位圆 (1) 奈氏图奈氏图 1 =0 G(s)=e- s j G(j )=e- ( )=- 1)= A( Re Im 0 =01)= A( 0o ( )= =1)= A( - ( )= (2) 伯德图伯德图 L( )=20lg1=0dB dB L( ) 0 20 ( )=- ) ( 0 -100 -200 -300 第二节 典型环节与系统的频率特性 8非最小相位环节 最小相位环节最小相位环节: 最小相位环节对数幅

24、频特性与对数相频特 性之间存在着唯一的对应关系。对非最小相位环 节来说，不存在这种关系。 开环传递函数中没有开环传递函数中没有s右半平面上右半平面上 的极点和零点。的极点和零点。 开环传递函数中含有开环传递函数中含有s右半平面上右半平面上 的极点或零点的极点或零点。 非最小相位环节非最小相位环节: 第二节 典型环节与系统的频率特性 第二节 典型环节与系统的频率特性 注意注意 (1) (1)、非最小相位环节与对应的最小相位环节、非最小相位环节与对应的最小相位环节 最小相位惯性环节和非最小相位惯性环节，幅最小相位惯性环节和非最小相位惯性环节，幅 频特性相同，相频特性符号相反，幅相曲线关于频特性相同

25、，相频特性符号相反，幅相曲线关于 实轴对称实轴对称 ；对数幅频曲线相同，对数相频曲线关；对数幅频曲线相同，对数相频曲线关 于于00线对称线对称 。以上特点对于振荡环节和非最小相。以上特点对于振荡环节和非最小相 位振荡环节、一阶微分环节和非最小相位一阶微位振荡环节、一阶微分环节和非最小相位一阶微 分环节、二阶微分环节和非最小相位二阶微分环分环节、二阶微分环节和非最小相位二阶微分环 节均适用。节均适用。 （2 2）传递函数互为倒数的典型环节）传递函数互为倒数的典型环节 第二节 典型环节与系统的频率特性 传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲 线关于线关于0dB

26、0dB线对称，对数相频曲线关于线对称，对数相频曲线关于0 00 0线对称。线对称。 对于传递函数互为倒数非最小相位典型环节，其对于传递函数互为倒数非最小相位典型环节，其 对数频率特性曲线的对称性同样成立。对数频率特性曲线的对称性同样成立。 注意注意 环节环节传递函数传递函数 斜率斜率 dB/dec 特殊点特殊点() 0o 1 s 1 Ts+1 1 s2 K L( )=0=1, L( )=20lgK T 1 = 转折转折 频率频率 转折转折 频率频率 1 = 转折转折 频率频率 =n -90o -180o 0o-90o 0o90o 0o-180o 比例比例 积分积分 重积分重积分 惯性惯性 比例

27、微分比例微分 振荡振荡 常用典型环节伯德图特征表 0 0, -20 -20 -40 0, 20 0, -40 L( )=0=1, s2+2 n ns+ 2 2 n 1+ s 第二节 典型环节与系统的频率特性 二、控制系统开环频率特性 频率特性法的最大特点是根据系统的开 环频率特性曲线分析系统的闭环性能 , 这样可 以简化分析过程。所以绘制系统的开环频率特 性曲线就显得尤为重要。下面介绍开环系统的 幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制。 第二节 典型环节与系统的频率特性 1系统开环幅相频率特性曲线 系统开环传递函数一般是由典型环系统开环传递函数一般是由典型环 节串联而成的：节串联而成的： 积

28、分环节积分环节 的个数的个数 时间常数时间常数 系统的阶次系统的阶次 开环增益开环增益 nm 幅频特性幅频特性: 相频特性相频特性: 近似绘制系统的奈氏图近似绘制系统的奈氏图: :先把特殊点找先把特殊点找 出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。 Tj )21+( )= A( i )2 1+( m j=1 K i=1 n- 90o+ m n- j =1 i =1 ( )=- tg-1 T j tg-1 i m G(s)= s j=1 (Tjs+1) n- K( i=1 is+1) 第二节 典型环节与系统的频率特性 第二节 典型环节与系统的频率特性 绘制绘制概略开

29、环幅相曲线概略开环幅相曲线的方法。反映开环频率的方法。反映开环频率 特性的三个重要因素：特性的三个重要因素： （1 1）确定开环幅相曲线的起点）确定开环幅相曲线的起点 0 和终点和终点 （2 2）确定开环幅相曲线与实轴的交点）确定开环幅相曲线与实轴的交点(,0) x Im()()0 xx G jHj ()()();0. 1, 2, xxx G jH jkk 或或 x 为穿越频率，开环幅相曲线曲线与实轴交点为为穿越频率，开环幅相曲线曲线与实轴交点为 Re()()()() xxxx G jH jG jH j （3 3）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）

30、。 (1) 0型系统型系统= 0 特殊点特殊点: 系统起点和终点系统起点和终点 K =0 n-m=2 n-m=1 n-m=3 Tj )21+( )= A( i )2 1+( m j=1 K i=1 n m n j =1 i =1 ( )= tg-1 T j tg-1 i Re Im 0 =0)=K A( 0o ( )= =0)= A( -(n-m)90o ( )= =0 = 幅频和相频特性幅频和相频特性: 第二节 典型环节与系统的频率特性 (2) 型系统型系统 =1系统起点和终点系统起点和终点 n-m=2 n-m=1 n-m=3 = Tj )21+( )= A( i )2 1+( m j=1

31、K i=1 n-1 90o+ m n-1 j =1 i =1 ( )=- tg-1 T j tg-1 i Re Im 0 =0 = 幅频和相频特性幅频和相频特性: =1 特殊点特殊点: =0)= A( -90o ( )= 0)= A( -(n-m)90o ( )= 第二节 典型环节与系统的频率特性 (3) II型系统型系统=2 n-m=2 n-m=1 n-m=3 系统起点和终点系统起点和终点 =0 = m Tj )21+( )= A( i )2 1+( j=1 2 K i=1 n-2 180o+ m n-2 j =1 i =1 ( )=- tg-1 T j tg-1 i 幅频和相频特性幅频和相

32、频特性: Re Im 0 =0 = =2 特殊点特殊点: )= A( -180o ( )= 0)= A( -(n-m)90o ( )= 第二节 典型环节与系统的频率特性 开环系统奈氏曲线起点和终点的综 合情况如图: =1 =0 =3 =2 奈氏曲线的起点奈氏曲线的起点 奈氏曲线的终点奈氏曲线的终点 n-m=2 n-m=1 n-m=3 Re Im 0 Re Im 0 = 第二节 典型环节与系统的频率特性 例例1 试绘制系统的奈氏图试绘制系统的奈氏图 系统的奈氏图系统的奈氏图 解：解：n-m=2I型系统型系统 G(s)= K s(Ts+1) 特殊点特殊点: =0 = T)2 K 1+( )= A(

33、 T ( )=-90o-tg-1 Re Im 0 =0 = )= A( -90o ( )= -180o ( )=0)= A( 第二节 典型环节与系统的频率特性 例2 已知系统的开环传递函数,试画出该系 统的开环幅相特性曲线。 解：解： 1) T =0 0 = K 0型型，n=m G(s)= K(1+ 1+Ts s) T)2 1+( )= A( )21+( K ( )= tg-1 T tg-1 Re Im 0 0o ( )=)=K A( )K A( 0o ( ) )= A( K T K T 0o ( )= =0 = 1) 0 = 0o ( )=)=K A( )K A( 0o ( ) )= A(

34、K T 0o ( )= K=0 K T = 第二节 典型环节与系统的频率特性 第二节 典型环节与系统的频率特性 例例3 3 某某0 0型单位负反馈系统开环传递函数为型单位负反馈系统开环传递函数为 试概略绘制系统开环幅相曲线。试概略绘制系统开环幅相曲线。 解：解：由于惯性环节的角度变化为由于惯性环节的角度变化为 -90-900 0，故该系统开环幅，故该系统开环幅 相曲线中相曲线中 起点为：起点为： 终点为：终点为： 系统开环频率特性系统开环频率特性 12 12 ( );,0 (1)(1) K G sK T T T sT s 0 0 0 0)0(,)0(KA 00 180)90(2)(, 0)(A

35、 )1)(1 ( )(1 )( 22 2 22 1 21 2 21 TT TTjTTK jG 令令 ，得，得 ，即系统开环幅相曲线除在，即系统开环幅相曲线除在 处外与实轴无交点。处外与实轴无交点。 由于由于 、 可正可负，故系统幅相曲可正可负，故系统幅相曲 线在第线在第和第和第象限内象限内 变化，系统概略开环幅变化，系统概略开环幅 相曲线如左图所示。相曲线如左图所示。 若取若取 ，由于非最小，由于非最小 相位比例环节的相角恒相位比例环节的相角恒 为为 ，故此时系统概，故此时系统概 略开环幅相曲线由原曲线绕略开环幅相曲线由原曲线绕 原点顺时针旋转原点顺时针旋转 而得而得。 0)(Im x jG0

36、 x 0 0)(ImjG )(RejG 0 0K j 180 180 0K 第二节 典型环节与系统的频率特性 例例4 4 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试绘制系统概略开环幅相曲线。试绘制系统概略开环幅相曲线。 解解 系统开环频率特性系统开环频率特性 12 12 ( )( );,0 (1)(1) K G s H sK T T s T sT s )1)(1 ( )(1)(1 ( )()( 22 2 22 1 21 TT jjTjTK jHjG )1)(1 ( )1()( 22 2 22 1 2 2121 TT TTjTTK 第二节 典型环节与系统的频率特性 幅值变化：幅值变化： 相角变

37、化：相角变化： 所以所以 的变化为的变化为 。 0)(,)0( AA 00 1 :9090 j 00 1 1 :090 1jT 00 2 1 :090 1jT 00 :00K )( 00 90270 第二节 典型环节与系统的频率特性 乃氏图的起点：乃氏图的起点： 与实轴的交点：令与实轴的交点：令 ，得，得 ， 于是于是 系统开环幅相曲线如系统开环幅相曲线如 下张图中曲线所示，下张图中曲线所示， 图中虚线为开环幅图中虚线为开环幅 相曲线的低频渐近线。相曲线的低频渐近线。 )()0()0(Re 21 TTKjHjG )0()0(ImjHjG 0)()(ImjHjG 1 2 1/ x TT 21 2

38、1 )()(Re)()( TT TKT jHjGjHjG xxxx 第二节 典型环节与系统的频率特性 j )( 21 TTK 21 21 TT TKT 0 1 2 例例5 5 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为 试概略绘制系统开环幅相曲线。试概略绘制系统开环幅相曲线。 解解 系统开环频率特性为系统开环频率特性为 起点：起点： 终点：终点： 与实轴的交点：与实轴的交点： (1) ( )( );, ,0 (1) Ks G s H sKT s Ts 2 22 ()(1) ()() (1) KTjT G jH j T (0 ), (0 )90 ;A ( )0, ( )270 .A 1 ()(

39、) x xx T G jH jK 第二节 典型环节与系统的频率特性 因为因为 从从 单调减至单调减至 ，故幅相曲线在第第，故幅相曲线在第第象限与象限与 第第象限间变化。开环概略幅相曲线如图所示。象限间变化。开环概略幅相曲线如图所示。 90 270 第二节 典型环节与系统的频率特性 例例6 6 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试绘制系统开环概略幅相曲线。试绘制系统开环概略幅相曲线。 解解: : 开环幅相曲线的起点：开环幅相曲线的起点： 终点：终点： 由开环频率特性表达式知由开环频率特性表达式知 的虚部不为零，故与实轴无交点。的虚部不为零，故与实轴无交点。 22 ( )( );,0 (1

40、)(1) n K G s H sK T s Tss 2 22 2 () ()() (1)(1) n K Tj G jH j T ( 0 ) 0 )90G jH j ()()0360G jH j G jHj 第二节 典型环节与系统的频率特性 注意到开环系统含有等幅振荡环节注意到开环系统含有等幅振荡环节 ，当，当 趋于趋于 时，时， 趋于无穷大，而相频特性趋于无穷大，而相频特性 取取 在在 的附近，的附近， 相角突变相角突变 ，幅相曲，幅相曲 线在线在 处呈现不连续处呈现不连续 现象。作系统开环概略现象。作系统开环概略 幅相曲线如图所示。幅相曲线如图所示。 0 n () n A 1 1 ()901

41、80 ;,0 ()90180 ;,0 nnn n nnn n tg T tg T n 180 n 第二节 典型环节与系统的频率特性 第二节 典型环节与系统的频率特性 绘制开环概略幅相曲线的规律：绘制开环概略幅相曲线的规律： 1 1）开环幅相曲线的起点，取决于比例环节）开环幅相曲线的起点，取决于比例环节K K和系统积分或微和系统积分或微 分环节的个数分环节的个数 （系统型别）。（系统型别）。 ，起点为原点；，起点为原点； ，起点为实轴上的点，起点为实轴上的点K K处；处； ，设，设 ，则，则 时为时为 的无穷远处，的无穷远处， 时为时为 的无穷远处。的无穷远处。 2 2）开环幅相曲线的终点，取决

42、于开环传递函数分子、分母）开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母 多项式中最小相位环节和非最小相位环节的阶次和。多项式中最小相位环节和非最小相位环节的阶次和。 0 0 04(0,1,2,;1,2,3,4)ki ki0K ( 90 )i 0K ( 90 ) 180i ,()()nmG jH jK ,()()0 ()( 90 )nmG jH jnm 第二节 典型环节与系统的频率特性 3 3）若开环系统存在等幅振荡环节，重数）若开环系统存在等幅振荡环节，重数 为正整数，即开为正整数，即开 环传递函具有下述形式环传递函具有下述形式 不含不含 的极点，则当的极点，则当 趋于趋于 时，时， 趋于

43、无趋于无 穷，而穷，而 即即 在在 附近，相角突变附近，相角突变 。 l 11 2 2 1 ( )( )( )( ) 1 n G s H sG s H s s 11 Gs Hs n j n A 111 1 ()()()() ()()180 nnnn nn GjHj l ( ) n 180l 2系统开环对数频率特性 系统的开环传递函数一般由典型系统的开环传递函数一般由典型 环节串联而成：环节串联而成： 开环系统的频率特性：开环系统的频率特性： G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)Gn(s)=Gi(s) n i=1 对数幅频特性：对数幅频特性： 对数相频特性：对数相频特性： n )=Gi(j

44、i=1 G(j )=Ai( n i=1 )e j i( ) )=20lgAi( n i=1 L( )= 20lgAi( n i=1 )=Li( n i=1 ) )= ( i( n i=1 ) 将各环节的对数频率特性曲线相加， 即为开环系统的对数频率特性曲线。 第二节 典型环节与系统的频率特性 绘制系统开环对数频率特性曲线的 一般步骤： 1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。 3) 将各环节的对数幅频、相频曲线相加。 2）画出各典型环节的对数幅频和对数相 频特性曲线； 第二节 典型环节与系统的频率特性 例例 已知开环传递函数，试画出系统的已知开环传递函数，试画出系统的 开环对数频率特性曲线。开

45、环对数频率特性曲线。 解：解： G(s)= (s+10) s(2s+1) G(s)= 10(0.1s+1) s(2s+1) 画出各环节的对画出各环节的对 数频率特性曲线数频率特性曲线 G1(s)=10 -20dBdec 3 1 4 2 L1 L3 L2 L4 1100.5 -20 0 20 40 0 -180 -90 90 -40dB/dec G2(s)= 1 s G3(s)=0.1s+1 G4(s)= 2s+1 1 各环节曲线相加，各环节曲线相加， 即为开环系统的对数即为开环系统的对数 频率特性曲线。频率特性曲线。 dB L( ) -20dB/dec ) ( 可知：可知： 低频段幅频特低频段

46、幅频特 性可近似表示为：性可近似表示为： )A( K )=20lgK-20lgL( 低频段曲线的斜率低频段曲线的斜率 -20 dB/dec 低频段曲线的高度低频段曲线的高度 L(1)=20lgK 第二节 典型环节与系统的频率特性 根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频 率即可确定系统的对数频率特性曲线。 实际的作图过程可简化为：实际的作图过程可简化为： 1) 将开环传递函数标准化； 2) 在坐标中标出各环节的转折频率； 3) 过=1 ，L()=20lgK 这点，作斜 率为-20dB/dec 的低频渐近线； 4) 每到某一环节的转折频率处， 根据该 环节的特性改变一次渐近线的斜率。 5) 画出对

47、数相频特性的近似曲线。 第二节 典型环节与系统的频率特性 例例 试画出系统的试画出系统的伯德图伯德图 解：解： G(s)= 100(s+2) s(s+1)(s+20) G(s)= 10(0.5s+1) s(s+1)(0.05s+1) 将式子标准化将式子标准化 各转折频率为：各转折频率为： 1 -20dB/dec 202 -40dB/dec -20dB/dec 0 -180 -90 -40dB/dec -20 0 20 40 低频段曲线：低频段曲线： 20lgK=20lg10=20dB 相频特性曲线：相频特性曲线： =0 = dB L( ) ) ( 1=1 2 =2 3=20 -90o ( )=

48、 -180o ( )= 第二节 典型环节与系统的频率特性 三、传递函数的频域实验确定三、传递函数的频域实验确定 频率特性具有明确的物理意义，可用实 验的方法来确定它.这对于难以列写其微分方 程的元件或系统来说,具有很重要的实际意义 。 1 1、用实验法确定系统的伯德图、用实验法确定系统的伯德图 2 2、根据伯德图确定传递函数、根据伯德图确定传递函数 第二节 典型环节与系统的频率特性 1、用实验法确定系统的伯德图 给系统加不同频率的给系统加不同频率的 正弦信号，测量出系正弦信号，测量出系 统的对数幅频特性和统的对数幅频特性和 相频特性曲线。相频特性曲线。 2. 用标准斜率的直线用标准斜率的直线

49、近似被测对数幅频特近似被测对数幅频特 性曲线，得曲线的渐性曲线，得曲线的渐 近线。近线。 -20 0 20 40 0 -180 -90 -270 dB L( ) ) ( 2 -20dB/dec 10 -40dB/dec -60dB/dec 第二节 典型环节与系统的频率特性 2、根据伯德图确定传递函数 系统传递函数的一般表达式为：系统传递函数的一般表达式为： 根据伯得图确定传递函数主要是确定增根据伯得图确定传递函数主要是确定增 益益 K ，转折频率及相应的时间常数等参数则转折频率及相应的时间常数等参数则 可从图上直接确定。可从图上直接确定。 m G(s)= s j=1 (Tjs+1) n- K(

50、 i=1 is+1) 第二节 典型环节与系统的频率特性 1. =0 低频渐近线为低频渐近线为 系统的伯德图：系统的伯德图： 20lgK -40dB/dec 0 -20dB/dec =20lgK=K=10 20 即即 dB L( ) c L( )=20lgA( ) A( )=K 12 第二节 典型环节与系统的频率特性 0 dB L( ) 1 -20dB/dec -40dB/dec 低频段的曲线与横轴低频段的曲线与横轴 相交点相交点的频率为的频率为: 2. =1 20lgK =1 系统的伯德图系统的伯德图： 因为因为故故 1c L( )=20lgK 0 lg 20lgK =20 0-lg1 20l

51、gK=20lg 0 K= 0 第二节 典型环节与系统的频率特性 -20dB/dec -40dB/dec -40dB/dec 1 3. =2 系统的伯德图：系统的伯德图： =120lgK 低频段的曲线与横低频段的曲线与横 轴相交点轴相交点的频率为的频率为: 因为因为故故 dB L( ) 0 1 c 2 L( )=20lgK 0 lg 20lgK =40 0-lg1 20lgK=40lg 0 2 K= 0 第二节 典型环节与系统的频率特性 r =1-2 2 n 例例 由实测数据作出系统的伯德图如图由实测数据作出系统的伯德图如图 所示，试求系统的传递函数。所示，试求系统的传递函数。 0.5 -20d

52、B/dec -40dB/dec -60dB/dec 2 40 20 -20 0 3dB 0 -180 -90 -270 解解: 由图可得：由图可得： 20lgMr=3dB Mr=1.41得：得： 根据根据 00.707 得得 dB L( ) ) ( = 1 1- 2 2 0 1= 0.92 2= 0.38 =0.38 由频率曲线得由频率曲线得 s2 10 G(s)= (0.25s2+0.38s+1) (2s+1) =3.162=100 2 K= =2n 2T =0.38 1 )2 T2=(=0.25 n 第二节 典型环节与系统的频率特性 例 已知采用积分控制液位系统的结构和对 数频率特性曲线,

53、试求系统的传递函数。 K1 s Ts+1- hr(t)h(t) 解解: 将测得的对数曲线 近似成渐近线: 1 -20dB/dec 4 -40dB/dec (s)= 1 (s+1)(0.25s+1)= 1 0.25s2+1.25s+1 -20 0 0 -180 -90 dB L( ) ) ( 第二节 典型环节与系统的频率特性 第三节 频率域稳定判据 第五章 线性系统的频域分析法 19321932年，乃奎斯特年，乃奎斯特(Nyquist)(Nyquist)提出了另一种判提出了另一种判 定闭环系统稳定性的方法，称为定闭环系统稳定性的方法，称为乃奎斯特稳定判乃奎斯特稳定判 据据，简称，简称乃氏判据乃氏

54、判据。这个判据的主要特点是利用。这个判据的主要特点是利用 开环频率特性判定闭环系统的稳定性。此外，乃开环频率特性判定闭环系统的稳定性。此外，乃 氏稳定判据还能够指出稳定的程度，揭示改善系氏稳定判据还能够指出稳定的程度，揭示改善系 统稳定性的方法。因此，乃氏稳定判据在频率域统稳定性的方法。因此，乃氏稳定判据在频率域 控制理论中有着重要的地位。控制理论中有着重要的地位。 第三节 频率域稳定判据 一、一、 奈氏判据的数学基础奈氏判据的数学基础 1 1、辐角原理、辐角原理 设有一复变函数为设有一复变函数为 )()( )()( )( 21 21 n m pspsps zszszsK sF 式中，式中，s

55、 s+j+j为复变量，为复变量，F F( (s s) )为复变函数为复变函数, , 记记F F( (s s)=)=U U+j+jV V。 如果在如果在s s平面画一条封闭曲线平面画一条封闭曲线, , 并使其不通过并使其不通过F F( (s s) )的任一的任一 零、极点零、极点, , 则在则在F F( (s s) )平面上必有一条对应的映射曲线平面上必有一条对应的映射曲线, , 如图如图 所示。所示。 j s1 s2 s3 0 s平面 F(s)平面 jV F1(s) F2(s) F3(s) 0 U 图：图：s s平面与平面与F F( (s s) )平面的映射关系平面的映射关系 第三节 频率域稳

56、定判据 第三节 频率域稳定判据 若在若在s s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的, , 则则 在在F F( (s s) )平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的, , 也也 可能是逆时针的可能是逆时针的, , 这取决于这取决于F F( (s s) )函数的特性。函数的特性。 我们感兴趣的不是映射曲线的形状我们感兴趣的不是映射曲线的形状, , 而是它包围坐标而是它包围坐标 原点的次数和运动方向原点的次数和运动方向, , 因为这两者与系统的稳定性密切因为这两者与系统的稳定性密切 相关。相关。 根据式根据式(1)(1

57、)，复变函数，复变函数F F( (s s) )的相角可表示为的相角可表示为 n j j m i i pszssF 11 )()()( 假定在假定在s s平面上的封闭曲线包围了平面上的封闭曲线包围了F F( (s s) )的一个零点的一个零点z z1 1， 而其他零极点都位于封闭曲线之外而其他零极点都位于封闭曲线之外, , 则当则当s s沿着沿着s s平面上的平面上的 封闭曲线顺时针方向移动一周时封闭曲线顺时针方向移动一周时, , 向量向量( (s s- -z z1 1) )的相角变化的相角变化 -2-2弧度弧度, , 而其他各相量的相角变化为零。这意味着在而其他各相量的相角变化为零。这意味着在

58、 F F( (s s) )平面上的映射曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周平面上的映射曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周, , 也就是向量也就是向量F F( (s s) )的相角变化了的相角变化了-2-2弧度弧度, , 如图所示。如图所示。 若若s s平面上的封闭曲线包围着平面上的封闭曲线包围着F F( (s s) )的的Z Z个零点个零点, , 则在则在 F F( (s s) )平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋 转转Z Z周。周。 第三节 频率域稳定判据 第三节 频率域稳定判据 j s平面 q2 p2 j1 z1 q1 p10 j2

59、z2 s jV F(s) 0U F(s)平面 图：封闭曲线包围图：封闭曲线包围z z1 1时的映射情况时的映射情况 同理：若同理：若s s平面上的封闭曲线包围了平面上的封闭曲线包围了F F( (s s) )的的P P个极点个极点, , 则当则当 s s沿着沿着s s平面上的封闭曲线顺时针移动一周时平面上的封闭曲线顺时针移动一周时, , 在在F F( (s s) )平面平面 上的映射曲线将按逆时针方向围绕着原点旋转上的映射曲线将按逆时针方向围绕着原点旋转P P周。周。 幅角原理幅角原理 设设s s平面上的封闭曲线包围了复变函数平面上的封闭曲线包围了复变函数F F( (s s) )的的P P 个极

60、点和个极点和Z Z个零点个零点, , 并且此曲线不经过并且此曲线不经过F F( (s s) )的任一的任一 零点和极点零点和极点, , 则当复变量则当复变量s s 沿封闭曲线顺时针方向沿封闭曲线顺时针方向 移动一周时移动一周时, , 在在F(sF(s) )平面上的映射曲线按逆时针方平面上的映射曲线按逆时针方 向包围坐标原点向包围坐标原点( (P-Z P-Z ) )周。周。 第三节 频率域稳定判据 第三节 频率域稳定判据 2 2、复变函数、复变函数F(s)F(s)的选择的选择 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 12 12 ()()() ( )( )( ) ()()() K m n K