10-3,10-4可降阶的高阶微分方程,高阶线性微分方程及其通解结构ppt课件

1、10-3 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 复复 习习 1. 可分离变量方程可分离变量方程 分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量; 2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解. d () d yy xx 形如的微分方程的微分方程.2.齐次方程齐次方程 解法：解法： , x y u 作变量代换作变量代换,yxu 即即 dd . dd yu u x xx 则则 3. 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程 （1一般式一般式 （2通解公式通解公式 d ( )( ) d y P x yQ x x ( )d( )d ( )d) P xxP xx yeQ x exC d ( ) (

2、 ) d y f x g y x 10-3 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 高阶微分方程定义：高阶微分方程定义：二阶及二阶以上的微分方程二阶及二阶以上的微分方程. 可降阶的高阶微分方程：可降阶的高阶微分方程：可以通过代换将它化为较低可以通过代换将它化为较低 阶的方程来解，阶的方程来解， 这种类型的方程称为可降阶的方程这种类型的方程称为可降阶的方程. 相应的解法称为降阶法相应的解法称为降阶法. 一般形式：一般形式： ( )(1) ( , ,). nn yf x y yy ( ) ( ) n yf x 一一、型型 特点：特点： (1) ,. n y yy ， ，不不显显含含未未知知函函数

3、数 解法：解法：接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 2 1 cos. x yex 求求方方程程的的通通解解例例 2 cosd x yexx 2 0 1 sin, 2 x exC 2 0 1 sind 2 x yexCx 2 02 1 cos, 4 x exC xC 2 02 1 cosd 4 x yexC xCx 22 123 1 sin, 8 x exC xC xC 0 1 :, 2 C C 其其中中 22 123 1 sin. 8 x yexC xC xC ( ,)yf x y 二二、的的型型微微分分方方程程 ( ),yP x 令令 d , d P yP x 则则 代入原方程代入原方程

4、,得得 ,( ) .Pfx P x 这是一阶微分方程这是一阶微分方程. 2 00 (1)22 13. xx xyxyyy 求求微微分分方方程程满满足足, ,的的特特解解例例 ( ,)yf x y 所所给给方方程程是是型型， ( ),yP x 令令 d , d P yP x 则则 代入原方程代入原方程,得得 2 12 dd , 1 x Px Px 积分积分 2 12 dd , 1 x Px Px 2 lnln(1) ln ,PxC 即即 2 (1),PCx 则则得得: : 0 3 x y 由由得得：3C ， 2 3(1),Px 则则: : 2 3(1),yx 即即两边积分得两边积分得: 3 1

5、3,yxxC 0 1 x y 由由得得： 1 1,C 3 31.yxx 则则所所求求的的特特解解为为: : 3 0.xyy 求求微微分分方方程程的的通通解解例例 ( ),yP x 令令 d , d P yP x 则则 代入原方程代入原方程 0,xPP d , d P xP x 即即 分离变量分离变量,得得 11 ddPx Px ， 1 lnlnlnPxC 积分得积分得 1 , C P x 1 C y x 即即， 12 lnyCxC ， 12 ln.yCxC ( ,)yf y y 三三、的的型型微微分分方方程程 , dy yp dx 令令 d , d p yp y 则则 ()yy 因因 dd d

6、d py yx d d p p y ， 代入原方程代入原方程,得得 d ( , ) d p pf y p y 这是一阶微分方程这是一阶微分方程. 2 4 0.yyy 求求微微分分例例方方程程的的通通解解 ( ),yp y 设设 d , d p yp y 则则,y y 将将代代入入原原方方程程得得： 2 d d 0 p y ypp ， 00,yp 在在、时时p约约去去 并并分分离离变变量量再再积积分分得得： ddpy py ， () ddp y dxdx 1 lnlnlnpyC 即即， 1 p C y ， 1 d d y C y x 即即，:分分离离变变量量得得 1 d d y C x y ，

7、:积积分分 1 d d y C x y ， 12 :lnlny C xC 即即， 1 2 :, C x y Ce 所所以以 1 2 . C x y Ce 则则原原方方程程的的通通解解为为： 2 4 0.yyy 求求微微分分例例方方程程的的通通解解 ( ),yp y 设设 d , d p yp y 则则,y y 将将代代入入原原方方程程得得： 2 d d 0 p y ypp ， 00,yp 在在、时时p约约去去 并并分分离离变变量量再再积积分分得得： ddpy py ， 2 00 2115 1 xx yyyyy 例例求求微微分分方方程程满满足足初初始始条条件件, , .的的特特解解 ( ),yp

8、 y 设设 d , d p yp y 则则 ,y y 将将代代入入原原方方程程得得： 2 21 d d p y ypp ， 2 21 dd , 1 p py py 2 ln(1)lnln,pyC 2 1,pCy 即即 0 0 1,1, x x yy 因因 1 1, y p 2.C 2 12 ,py 21.py 0 1, x y d 21. d y y x 2 00 2115 1 xx yyyyy 例例求求微微分分方方程程满满足足初初始始条条件件, , .的的特特解解 由于由于 0 1, x y 所以取正的一支所以取正的一支.即即 d 21. d y y x 分离变量并两边积分得分离变量并两边积

9、分得21.yxC 1.C 0 1 x y 将将代代入入上上面面式式子子， 从而所求的特解为从而所求的特解为211.yx 留意：留意： 在求特解的过程中，在求特解的过程中， 出现任意常数后，出现任意常数后，马上用初值条件马上用初值条件 代入，代入， 可以使运算简化可以使运算简化. 数时，可根据已知条件定出其中一支数时，可根据已知条件定出其中一支. 当出现几支函当出现几支函确定任意常数，确定任意常数， 高阶线性微分方程及其通解结构 第四节 一、二阶线性微分方程的通解结构一、二阶线性微分方程的通解结构 第十章 2 2 dd ( )( )( ) dd yy P xQ x yf x xx ( )0f x

10、 当当时时， 式叫二阶线性齐次微分方程式叫二阶线性齐次微分方程 ( )0f x 当当时时， 式叫二阶线性非齐次微分方程式叫二阶线性非齐次微分方程 n 阶线性微分方程的一般形式为阶线性微分方程的一般形式为 时时, 称为非齐次方程称为非齐次方程 ; ( )0f x 时时, 称为齐次方程称为齐次方程. ( )0f x ( )(1) 11 ( )( )( )( ) nn nn ya x yax yax yf x 一、二阶线性微分方程的通解结构一、二阶线性微分方程的通解结构 二阶线性微分方程的定义 回想回想: 一阶线性方程一阶线性方程( )( )yP x yQ x ( )d P xx ye xexQeC

11、e xxPxxPxxP d)( d)(d)(d)( 齐次通解齐次通解Y非齐次特解非齐次特解 y* d)( )( CxexQ xxP d 2 2 dd ( )( )( ) dd yy P xQ x yf x xx 二阶线性微分方程二阶线性微分方程 ( )0f x 当当时时， 式叫二阶线性齐次微分方程式叫二阶线性齐次微分方程 ( )0f x 当当时时， 式叫二阶线性非齐次微分方程式叫二阶线性非齐次微分方程 ( )( )( )yP x yQ x yf x 1.二阶齐次线性微分方程解的结构二阶齐次线性微分方程解的结构: ( )( )0(1)yP x yQ x y 121122 ( )( ),1(1)y

12、 xy xyC yC y 如如果果函函数数与与是是方方程程的的两两个个解解 那那么么定定理理 12 (1),.CC也也是是的的解解. .其其中中是是任任意意常常数数 证证明明 12 ( )( )(1)y xy x因因为为与与是是方方程程的的两两个个解解，则则有有： 111 ( )( )0yP x yQ x y ， 222 ( )( )0yP x yQ x y ， 1122 (1)yC yC y 将将代代入入的的左左端端得得： 112211221122 ( )( )C yC yP x C yC yQ x C yC y 11112222 ( )( )( )( )C yP x yQ x yC yP

13、x yQ x y 0, 1122 (1).yC yC y 所所以以是是方方程程的的解解 阐明阐明:( )( )0(1)yP x yQ x y 12 1.( )( )( )( )0y xyxyP x yQ x y 若若、是是的的解解 1211 1( )( )2( )2( )(1).yy xy xyy xyiy x 则则由由定定理理 知知、是是方方程程的的解解 不一定是方程不一定是方程(1)的通解的通解. 1122 2.( )( )yC yxC yx :0yy 如如的的两两个个特特解解为为：1 2 ,2, xx yeye 12 2 xx yC eC e 而而 12 (2) x CC e 12 0,

14、 xx yyyeye 又又还还有有两两个个特特解解为为： 12 xx yC eC e 而而就是它的通解就是它的通解. 为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念. 定义定义: 12 ( ),( ),( ) n y x y xy xIn 为为定定义义在在区区间间 内内的的 个个函函数数， 如如果果存存在在 12 , n nk kk 个个不不全全为为零零的的常常数数 xI使使得得当当在在内内有有恒恒等等式式 1122 0 nn k yk yk y nI那那么么称称这这个个函函数数在在区区间间 内内线线性性相相关关，.否否则

15、则称称线线性性无无关关 例如例如(,)x 当当时时， 2 , xxx eee ，线性无关线性无关. 22 1 cos, sinxx，线性相关线性相关. 特别地：特别地： ,I若若在在区区间间 上上 1 2 ( ) ( ) y x y x 常常数数， 12 ( )( ).y xy xI则则称称与与在在 上上线线性性无无关关 1 2 ( ) ( ) y x y x 常常数数，,I若若在在区区间间 上上 12 ( )( ).y xy xI则则称称与与在在 上上线线性性相相关关 两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件上线性相关与线性无关的充要条件: 1122 ( )( )0k

16、 y xk yx 12 21 ( ) ( ) y xk yxk 1 2 ( ) ( ) y x yx 常数常数 思索思索: 相关相关 12 ( ),( )y x y x 线线性性相相关关 12 0,k k存存在在不不全全为为 的的常常数数使使 1 (0)k 无无妨妨设设 12 ( ),( )y x y x 线线性性无无关关 1212 ( ),( )0,( ),( )_.y x y xy x y x若若中中有有一一个个恒恒为为 则则必必线线性性 12 ( )( )(12),y xy x 如如果果函函数数与与是是方方程程的的两两个个线线性性无无定定关关的的特特解解理理 (1)是是方方程程的的通通解

17、解. . 1122 yC yC y 那那么么 12 ,.CC其其中中是是任任意意常常数数 12 0, xx yyyeye 还还有有两两个个特特解解为为：如如: : 12 xx yC eC e 所所以以就是它的通解就是它的通解. 21 2 ( ) ( ) x y x e y x 因因 常常数数， 推论推论: 12 ( )( ),( ) n y x y xy xn 如如果果, ,是是 阶阶线线性性齐齐次次方方程程 ( )(1) 11 ( )( )( )0 nn nn yP x yPx yP x y 1122 , nn yC yC yC y 12 ,. n C CC 其其中中, ,是是常常数数 (

18、)( )0(1)yP x yQ x y ,n的的 个个线线性性无无关关的的特特解解那那么么它它的的通通解解为为: : ( )( )( )(2)yP x yQ x yf x *( ) 3y x 设设是是二二阶阶线线性性非非定定理理齐齐次次方方程程： ,的的一一个个特特解解( ),Y x 是是它它对对应应的的齐齐次次通通解解 * ( )( )yY xy x 则则是是二二阶阶 线线性性非非齐齐次次方方程程( (2 2) )的的通通解解. . 证明证明 * ( )( )yY xy x 将将代代入入方方程程( (2 2) )的的左左端端, ,得得到到 * ()( )()( )()YyP x YyQ x

19、Yy * ( )( ) ( )YP x YQ x YyP x yy 0( )f x ( ),f x ( ),Y x又又是是它它对对应应的的齐齐次次通通解解( )Y x则则中中含含有有两两个个独独立立的的任任意意常常数数, , * ( )( )yY xy x 则则是是二二阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程( (2 2) )的的通通解解. . 推论：推论： 1221 (2).yyyy 若若 、 是是的的解解, ,则则是是相相应应的的齐齐次次方方程程的的解解 阐明阐明: *y只须求它的一个特解只须求它的一个特解( )( )0yP x yQ x y 和和 ., 21 yy 的两个线性无关的特解的两个线性

20、无关的特解 *yYy 那那 么么 ( )( )( )yP x yQ x yf x 的通解为的通解为 1122 *.yC yC yy 即即 ( )( )( )yP x yQ x yf x 若若求求的的通通解解， 齐次通解齐次通解Y+ 非齐次特解非齐次特解 y*非齐次通解非齐次通解 y = 例如例如, 方程方程0yy 有特解有特解且且 故方程的通解为故方程的通解为 12 cossinyCxCx 又知又知 方程方程yyx 有特解有特解*yx 因此因此 的通解为的通解为yyx 1 cos ,yx 2 sin ,yx 1 2 tan y x y ,常常数数 12 cossin.yCxCxx 12 ( )

21、( )( )( )yP x yQ x yfxfx ， 1 ( )( )( )yP x yQ x yfx 2 ( )( )( )yP x yQ x yfx 设非齐次方程设非齐次方程(2)的右端的右端 )(xf是几个函数之和，是几个函数之和， 假假 设设 而而 * 1 y * 2 y与与 分别是方程分别是方程 的特解，的特解，那么那么 * 2 * 1 yyy 就是原方程的特解就是原方程的特解. 定理定理4. 解的叠加原理解的叠加原理 定理定理 5. 12 ( ),( ),( ) n y xy xy x 设 是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性无关特解个线性无关特解, 1122 ( )( )

22、( )*( ) nn yC yxC yxC yxyx 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程 ( )(1) 1( ) ( )( ) nn n yax yax yf x *( )yx是非齐次方程的特解 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为则非齐次方程的通解为 齐次方程通解齐次方程通解 非齐次方程特解非齐次方程特解 通解是通解是 ( ). D 例例1. 提示提示: 都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解, 二者线性无关二者线性无关 . (反证法可证反证法可证) 123 ,yyy设设线线性性无无关关函函数数都都是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性方方程程 12 ( )( )( ),yP x yQ x yf xC C 的的解解是是任任意意常常数数则则该该方方程程的的 11223 ( );A C yC yy 1122123 ( )();B C yC yCC y 1122123 ( )(1);C C yC yCC y 1122123 ( )(1).D C yC yCC y 1