1.6函数的连续性ppt课件

1、1.6 函数的连续性函数的连续性 1.6.1.1 函数的改变量函数的改变量 x y 0 xx 00 x )(xfy x y 1.6.1 连续函数的概念连续函数的概念 设函数 定义定义1.12 )(xfy 在点 0 x 的某个邻域内有定义， 0 x当自变量从 变到 x，相应的函数值从 )( 0 xf变到 )(xf，称 0 xx 为自变量的改变量或称增量),记作 0 xxx它可正可负； )()( 0 xfxf为函数的改变量 （或称增量），记作)()( 0 xfxfy，或 )()( 00 xfxxfy 当 例例1.22 求函数求函数 2 xy ， 01. 0, 2 0 xx 时的改变量. 解 )()

2、( 00 xfxxfy 22 201. 2 )2()01. 02(ff )2()01. 2(ff 0401. 0 自变量变化很小，函数值变化也很小。 1.6.1.2 函数在点函数在点 0 x的连续性的连续性 , 0 xxx 设设 ),()( 0 xfxfy ,0 0 xxx 就就是是 ).()(0 0 xfxfy 就就是是 : :下下连连续续的的定定义义又又可可叙叙述述如如f f( (x x) )在在点点x x所所以以函函数数y y 0 0 在点在点 0 x 定义定义1.14 设函数设函数 )(xfy 0 x处有定义，处有定义， 假设假设 ) )f f( (x xf f( (x x) )l l

3、i im m 0 0 x xx x 0 0 ，则称函数 )(xfy 在点在点 处连续处连续. x x改改变变到到x xx x由由x x 0 00 0 x x) ) )改改变变到到f f( (x xy y由由f f( (x x 0 00 0 x y 0 xx 00 x )(xfy x y )(xfy x y 0 0 0 x x 处处连连续续的的几几何何意意义义f f( (x x) )在在x x 0 0 处处没没有有断断开开曲曲线线在在x x 0 0 例例1 .23 讨论函数讨论函数 2 xy ，在 2x处的连续性处的连续性. 解一解一 )()( 00 xfxxfy , 0)(4limlim 2

4、00 xxy xx )2()2(fxf 22 2)2(x 2 )(4xx 函数函数 2 xy 在在 2x处连续处连续 x x2 22 2: :x x 解二 2 22 lim)(limxxf xx 2 2 )lim(x x )2(4f 2 2 函数函数 2 xy 在在 2x处连续处连续 注：一切初等函数在其定义区间上都是连续函数。注：一切初等函数在其定义区间上都是连续函数。 s si in nx xy y x x 1 1 y y ）上上为为连连续续函函数数。，- -在在（ ）上上为为连连续续函函数数。（0 0, ,），- -在在（0 单侧连续单侧连续 处处左左连连续续; ;则则称称f f( (x

5、 x) )在在点点x x ) ), ,f f( (x xf f( (x x) )l li im m且且 内内有有定定义义, ,x x, ,若若函函数数f f( (x x) )在在( (a a 0 0 0 0 x xx x 0 0 0 0 显然，显然， . )()( 00 处处既既左左连连续续又又右右连连续续 在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf 处处右右连连续续. .则则称称f f( (x x) )在在点点x x ) ), ,f f( (x xf f( (x x) )l li im m且且b b) )内内有有定定义义, , ,若若函函数数f f( (x x) )在在 x x 0

6、 0 0 0 x xx x 0 0 0 0 例例 . 0 , 0, 0 , 0, 1 sin )( 处处连连续续 在在试试证证函函数数 x x x x x xf 证证 x x 1 1 x xs si in nl li im mf f( (x x) )l li im m 0 0 x x0 0 x x , 0)0(f 由定义知由定义知 .0)(处连续处连续在在函数函数 xxf ),0()(lim 0 fxf x = 0 可不可以直接求？可不可以直接求？ 0 0 x x 1 1 x xs si in nl li im mf f( (x x) )l li im m 0 0 x x0 0 x x - 0

7、 0 x x 1 1 xsinxsinlimlimf(x)f(x)limlim 0 0 x x0 0 x x 例例.)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数2 21 2 2 x xx xx xf 解解 422 2 )(f )(limxf x2 2 2 x x lim4 )(limxf x 2 )(lim1 2 x x 3 不不存存在在)(limxf x2 所以函数在所以函数在x = 2 处不连续处不连续 )(limxf x2 )(limxf x2 注注2：分：分 段函数段函数 在分段在分段 点有可点有可 能不连能不连 续，而续，而 在其它在其它 定义区定义区 间上连间上连 续。续。 注注1

8、： 比比 较较2 例例 时时当当 时时当当 时时当当 设设 1 11 1 xbax x xax xf)( 例例 解解 )(limxf x1 aax x )(lim 1 )(limxf x1 babax x )(lim 1 在在x = 1处连续，求处连续，求a、b的值的值 a = -1 b = 2 1 1f(1)f(1) .6.1.3 函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性 若若f(x)在开区间在开区间a,b内每一点都连续内每一点都连续,则称则称f(x) 为该区间内的连续函数为该区间内的连续函数,或者说函数或者说函数f(x)在该区间在该区间 内连续内连续. .,)( , ,),( 上连续上连续

9、在闭区间在闭区间函数函数 则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续 并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间 baxf bxax ba 此时，曲线此时，曲线y=f(x)是一条连续而不间断的曲线是一条连续而不间断的曲线. .),()(内内是是连连续续的的在在区区间间多多项项式式有有理理整整函函数数 3 33x3x2x2xy y 3 3 1.6.2 初等函数的连续性初等函数的连续性 法则法则1连续函数的和、差、积、商的连续性）连续函数的和、差、积、商的连续性） 设函数 )(),(xgxf 均在点 0 x 处连续，那么 点 )()(xgxf)()(xgxf

10、 )0)( )( )( 0 xg xg xf 都在 0 x 处连续. 、 定理定理1.5 初等函数在其定义域区间内是连续的初等函数在其定义域区间内是连续的. 则则定定义义区区间间内内的的点点是是且且是是初初等等函函数数如如果果,)(,)( 0 xfxxf ).()(lim 0 0 xfxf xx 例例1.25 设 2)( 2 xxxf ，求 )(lim 3 xf x 解解 函数函数 )(xf的定义域是的定义域是), 2，而 ), 23)3()(lim 3 fxf x 102332 1.6.3函数的间断点函数的间断点 由连续的定义可知，由连续的定义可知， 函数函数 )(xf在点在点 0 x 必须

11、满足三个条件：必须满足三个条件： 函数 )(xf在点在点 0 x处有定义处有定义 )(lim 0 xf xx 存在存在 )()(lim 0 0 xfxf xx 延续延续 ).()( ),()( , 00 或或间间断断点点的的不不连连续续点点 为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数 则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只 xf xxxf 间断点的类型：间断点的类型： 1.6.3.1 第一类间断点第一类间断点 函数 )(xf在点 0 x处左右极限都存在的间断点 第一类间断点 左右极限存在且相等左右极限存在且相等 可去间断点可去间断点 左右

12、极限存在不相等左右极限存在不相等 跳跃间断点跳跃间断点 定义定义1.16 例例1.26 判断函数判断函数 1 22 )( 2 x x xf是否有间断点，如果有是 何类型 所以函数 在x=1处间断。 4) 1(2lim 1 22 lim)(lim 1 2 11 x x x xf xxx 所以x=1是函数的可去间断点 解 1 22 )( 2 x x xf 在x=1处没有定义, 1 x y 则则1 1, ,若若补补充充定定义义f f( (1 1) ) 1 1x x1 1, , 1 1x x, , 1 1x x 2 22 2x x f f( (x x) ) 2 2 在在x=1处连续。处连续。 例例1.

13、27 判断函数判断函数 . 0,1 ; 0, 2 sin )( x x x x xf 在x=0处是否间断， 何类型何类型如果是，是如果是，是 . 0,1 ; 0, 2 sin )( x x x x xf解解 在在x=0处有定义，且处有定义，且f(0)=1 2 1 2 sin lim)(lim 00 x x xf xx )0(1f 函数在函数在x=0处间断，且处间断，且x=0为可去间断点为可去间断点 0 0 x x, , 2 2 1 1 0 0 x x, , 2x2x sinxsinx f(x)f(x) 在在x=0处连续。处连续。 若修改定义若修改定义f(1)=1/2,那么那么 在函数的可去间断

14、点在函数的可去间断点 x0处，可以补充或改变函数在处，可以补充或改变函数在 x0处的定义，使点处的定义，使点x0成为连续点成为连续点. 如在例如在例1中可补充定义中可补充定义f(1)=4,则函数在则函数在x=1处连续处连续 在例在例2中可改变函数在中可改变函数在x=0处的定义，令处的定义，令f(0)=1/2 则函数在则函数在x=0处连续处连续 例例1.28 函数函数 .0, 1 ;0,0 ;0, 1 )( xx x xx xf 在x=0处是否间断， 何类型如果是，是 在x=0处有定义，且f(0)=0 , 1) 1(lim)(lim 00 xxf xx )(lim)(lim 00 xfxf xx

15、 1) 1(lim)(lim 00 xxf xx 所以函数在x=0处间断。x=0是跳跃间断点 y xo 1 xy 1 1 例例所所以以函函数数在在点点没没定定义义在在点点函函数数,1 1 1 2 x x x y 但但这这里里为为不不连连续续.1 x . 2) 1(lim 1 1 lim 1 2 1 x x x xx 如果补充定义：令如果补充定义：令x=1x=1时时y=2y=2， 则所给函数在则所给函数在x=1x=1成为连续成为连续. . 所以所以x=1x=1称为该函数的可去间断称为该函数的可去间断 点点. . y xo 2 1 1 例例函数函数 , 1lim)(lim 11 xxf xx 这里

16、 ).1 ()(lim 1 fxf x 因此，点x=1是函数 f(x)的间断点.但如果改变 函数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则f(x)在 x=1成为连续.所以x=1也称为该函数的可去间断 点. 所以但, 2 1 ) 1 (f 1 2 1 1 x y o 1, 1, )( 2 1 x xx xfy 1.6.3.2 第二类间断点第二类间断点 函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存 在的间断点，则称x0为第二类间断点。 例例1.29 1 2 )( x xf 函数在x=1处没有定义，所以函数在x=1处间断 )(lim 1 xf x ，所以x=1为函数的第二类间断点 )(lim 1

17、 xf x ，所以x=1又称为函数的无穷间断点 例例 是是函函数数所所以以点点 处处没没有有定定义义在在正正切切函函数数 2 , 2 tan x xxy 的的间间断断点点. .因因xtan ,tanlim 2 x x . tan 2 的无穷间断点的无穷间断点 为函数为函数称称xx y x o 2 2 2 3 例例1.301.30.0 1 sin处处没没有有定定义义在在函函数数 x x y 之之间间与与函函数数值值在在时时当当11,0 x 称称所以点所以点变动无限多次变动无限多次0, x . 1 sin的的振振荡荡间间断断点点为为函函数数 x -0.4-0.20.20.4 x -1 -0.5 0

18、.5 1 Sin 1 x 例例 求下列函数的间断点，并指出其类型求下列函数的间断点，并指出其类型 23 2 . 1 2 xx x y 21 2 )(. 2 2 xx xx xf 解解 422 2 )(f )(limxf x2 2 2 x x lim4 )(limxf x 2 )(lim1 2 x x 3 不不存存在在)(limxf x2 所以所以x = 2为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 )(limxf x2 )(limxf x2 1.6.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 定理定理1.7 （最值定理）（最值定理） 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连上连 续，则续，则f(x)在在a,b上有最大值和最小值上有最大值和最小值 定理定理1.6 如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，那么上连续，那么 f(x) 在闭区间在闭区间a,b上有界。上有界。 定理定理1.8 （介值定理