第四章 几何非线性问题

1、第四章第四章 几何非线性问题几何非线性问题 4.1 非线性问题的简述非线性问题的简述 非线性问题非线性问题 几何非线性：大位移问题（小应变） 几何非线性：大位移问题（小应变） 材料非线性：材料塑性变形（橡皮）材料非线性：材料塑性变形（橡皮） 接触非线性：接触问题接触非线性：接触问题 4.2 牛顿牛顿拉斐逊方法解非线性方程拉斐逊方法解非线性方程 非线性方程非线性方程 ： 任何具有一阶导数的连续函数任何具有一阶导数的连续函数 ，在，在 点作一阶泰点作一阶泰 勒级数展开，它在勒级数展开，它在 点的线性近似公式：点的线性近似公式： 0 x x n x n x n n n xx dx d xx 非线性方

2、程非线性方程 ，在，在 附近的近似方程是线性方程：附近的近似方程是线性方程： 设设 ，则解为：，则解为： 此为牛顿此为牛顿拉斐逊迭代公式。拉斐逊迭代公式。 0 xn x 0 n n n xx dx d x 0 n dx d 11 1 nnn n n n xxx dx d x x 1 . 4 x x xx 1n x 1n x n x n x oo n dx d 0 dx d a b 修正的牛顿修正的牛顿拉斐逊方法迭代公式：拉斐逊方法迭代公式： 11 0 1 nnn n n xxx dx d x x 2 . 4 在每次迭代时，在每次迭代时， 值是不变的。值是不变的。 由于几何非线性问题，平衡方程必

3、须由变形后的几何由于几何非线性问题，平衡方程必须由变形后的几何 位置所描述，因此，结构的刚度矩阵是几何变形的位置所描述，因此，结构的刚度矩阵是几何变形的 函数，结构的平衡方程为：函数，结构的平衡方程为： 式中：式中： x 0 1 FK 3 . 4 KK 单自由度系统：单自由度系统： 令令 用牛顿用牛顿拉斐逊方法求解：拉斐逊方法求解： ，则迭代公式：，则迭代公式： 0 1 FK4 . 4 KK KF 0 1 FF 5 . 4 0 nn n FF d d 11 6 . 4 11 nnn 如图：如图： 按线性理论求解位移按线性理论求解位移 作为第一次近似，若载荷作为第一次近似，若载荷 不不 因变形而

4、改变它的数值和方向，则：因变形而改变它的数值和方向，则： 是曲线是曲线 的斜率，代表切线刚度。的斜率，代表切线刚度。 x xo 1 F 1 B 11 A 22 A 1 1 F T K d dF d d T K KF 从从 点作曲线点作曲线 的切线交直线的切线交直线 于于 点，点， 取取 点的横坐标是点的横坐标是 。 则：则： 与（与（4.6）比较，）比较， 是位移的第二次近似值，依此类推，是位移的第二次近似值，依此类推， 不断重复，得如下迭代公式：不断重复，得如下迭代公式： 1 BKF 1 FF 2 A 2 A 2 2 12 1111 1 12 11 FFBA K BA T 1121 FFK

5、T 2 11 111 nnn nnT FFK 称为切线刚度法。称为切线刚度法。 v修正的牛顿修正的牛顿拉斐逊法，由于每次迭代不改变它拉斐逊法，由于每次迭代不改变它 的刚度值，称为等刚度法。的刚度值，称为等刚度法。 v在每次迭代时，牛顿在每次迭代时，牛顿拉斐逊法要求形成切线刚拉斐逊法要求形成切线刚 度矩阵，如果该问题有许多自由度，计算工作量大，度矩阵，如果该问题有许多自由度，计算工作量大， 收敛快。修正的牛顿收敛快。修正的牛顿拉斐逊法在迭代时刚度矩拉斐逊法在迭代时刚度矩 阵保持常量，收敛慢。阵保持常量，收敛慢。 v载荷增量法，把载荷分成许多小的载荷部分或增量，载荷增量法，把载荷分成许多小的载荷部

6、分或增量， 在每个载荷水平上，使用一次牛顿在每个载荷水平上，使用一次牛顿拉斐逊迭代，拉斐逊迭代， 迭代次数等于载荷水平的数目。迭代次数等于载荷水平的数目。 4.3 几何非线性的一般性讨论几何非线性的一般性讨论 虚功原理：外力因虚位移所作的功等于结构因虚应变虚功原理：外力因虚位移所作的功等于结构因虚应变 所产生的应变能。所产生的应变能。 内力外力矢量和；内力外力矢量和； 其中：其中： 为所有载荷列阵；为所有载荷列阵； 为虚位移；为虚位移； 为虚应变。为虚应变。 0 1 Fddvdd TTT 7 . 4 1 F d d 应变的增量形式，位移和应变的关系为：应变的增量形式，位移和应变的关系为： 代入

7、（代入（4.7）式，消去）式，消去 ，得非线性问题的一般平，得非线性问题的一般平 衡方程为：衡方程为： 在大位移的情况下，应变和位移的关系是非线性的，在大位移的情况下，应变和位移的关系是非线性的， 是是 的函数。的函数。 是由线性应变引起的；是由线性应变引起的； 是由非线性应变引起的。是由非线性应变引起的。 dBd 8 . 4 T d 0 1 FdvB T 9 . 4 B L BBB 0 10. 4 0 B L B 其应力其应力-应变关系为：应变关系为： 其中：其中： 为材料的弹性矩阵；为材料的弹性矩阵； 为初应变列阵；为初应变列阵； 为初应力列阵。为初应力列阵。 对（对（4.9）求微分：）求

8、微分： 利用（利用（4.11）和（）和（4.8），不考虑初应变和初应力的影），不考虑初应变和初应力的影 响，有：响，有： 00 D 11. 4 D 0 0 dvdBdvBdd TT 12. 4 dBDdDd 从（从（4.10），有：），有： 为小位移线性刚度矩阵。为小位移线性刚度矩阵。 L BdBd dKdvBdd T L 13. 4 L T KKdvBDBK 0 14. 4 0 K dvBDBBDBBDBK T LL T L T L00 16. 4 （4.13）式中第一式，可以写成：）式中第一式，可以写成： 为关于应力水平的对称矩阵，称初应力矩阵或几为关于应力水平的对称矩阵，称初应力矩阵或几 何刚度矩阵。何刚度矩阵。 （4.13）式可以写成：）式可以写成： dKdvBd T L 17. 4 K dKdKKKd TL 0 牛顿牛顿拉斐逊迭代总结：拉斐逊迭代总结： v、用线性弹性解作为、用线性弹性解作为 的第一次近似值的第一次近似值 ； v、通过定义、通过定义 和式（和式（4.11）给出的应力）给出的应力 ，利，利 用式（用式（4.9）计算）计算 ； v、确定切线刚度矩阵、确定