信息光学(傅里叶光学)Chap3-3

1、基尔霍夫衍射公式 随近似程度的不同, 将衍射现象分为菲涅耳衍射和 夫琅和费衍射. 000000 ),(),(),(dydxyyxxhyxUyxU # 基尔霍夫衍射公式中的 脉冲响应： jkr e rj yyxxh 1 )( 0, 0 2 0 2 0 2 )()(yyxxzr 3-4 菲涅耳衍射 一、菲涅耳衍射公式 略去 (x-x0)/z 和 (y-y0)/z 的 二次以上的项, 则 代入基尔霍夫公式, 即得菲涅耳衍射公式(空域) 2 0 2 0 2 1 2 1 1 z yy z xx zr 在h的振幅部分取r的一级近似, 位相因子用二级近似, 则 2 0 2 00, 0 )()( 2 exp)

2、exp( 1 )(yyxx z k jjkz zj yyxxh # 菲涅耳衍射区的条件: 3/ 1 4 max 3 4 max 3 22 0 2 0 8 , 1 8 , 1 )()( 8 R k z z kR z yyxxk 或即 # 3-4 菲涅耳衍射 一、菲涅耳衍射公式 (i) 空域表示式 00 2 0 2 00,0, )()( 2 exp)()exp( 1 )(dydxyyxx z k jyxUjkz zj yxU 其中, 脉冲响应函数为: )( 2 exp)exp( 1 ),( 22 yx z k jjkz zj yxh ),(),(),( 0 yxhyxUyxU 或写成卷积式: #

3、3-4 菲涅耳衍射 一、菲涅耳衍射公式 (ii) 频域表示式 在频域中, 菲涅耳衍射表示为: A0(fx, fy)H(fx, fy) = A(fx, fy), cos , cos yx ff 其中传递函数H(fx, fy)为: )(exp)exp(),( 22 yxyx ffzjjkzffH # 3-4 菲涅耳衍射 (iii) 菲涅耳衍射的F.T.表达式 菲涅耳衍射积分可变为: 0000 2 0 2 000 22 )( 2 exp)( 2 exp),( )( 2 exp)exp( 1 ),( ydxyyxx z jyx z k jyxU yx z k jjkz zj yxU z y f z x

4、 f yx yx z k jyxU yx z k jjkz zj , 2 0 2 000 22 )( 2 exp),( )( 2 exp)exp( 1 这种表示特别适合球面波照明的情况. # Fresnel Diffraction: Summary 菲涅耳衍射的三种表示 孔径平面 脉冲响应观察平面 空域 U(x0, y0) * hF(x, y) = U(x, y) )( 2 exp)exp( 1 ),( 22 yx z k jjkz zj yxh F.T. F.T. F.T. 频域 A0(fx, fy) HF(fx, fy) = A (fx, fy) )(exp)exp( 22 yx ffzj

5、jkz cos , cos yx ff F.T.表达 )( 2 exp),( 2 0 2 000 yx z k jyxU U(x, y) F.T. z y f z x f yx , # 3-4 菲涅耳衍射 二、例 例1: 泰伯效应周期性物体自成像 周期性物体, 单色平面波垂直照明, 会在物体后 特定距离zT的整数倍距离上,周期性地自成像 一维周期性物体-光栅, 周期为d, 其振幅透过率可展开成傅氏级数: ,.2 , 1 , 0 ,2exp)( n x d n jcxg n n # 紧靠屏后的光场分布: 空间频率为(n/d, 0) 的离散值的无穷多个单色平面波分量的叠加. cn是各分量的振幅和位

6、相 3-4 菲涅耳衍射 例1: 泰伯效应周期性物体自成像 物体的振幅透过率: ,.2 , 1 , 0 ,2exp)( n x d n jcxg n n 采用菲涅耳衍射的频域表达式 利用复指函数的F.T., 得出屏后光场的频谱: )( -n d n fcfG xnx )exp()exp( 2 -n xxn zfjjkz d n fc 3-4 菲涅耳衍射 例1: 泰伯效应 代表离散分布的无穷多 个单色平面波 )( -n d n fcfG xnx 菲涅耳衍射的传递函数:)exp()exp()( 2 xx zfjjkzfH 此传递函数对平面波分量只引起相移 2 -n exp)exp( d n zjjk

7、z d n fc xn 函数的乘积性质 传播的结果, 只引入与空间频率和传播距离有关的相移. # 则观察场 的频谱: )()()( xxx fHfGfG 3-4 菲涅耳衍射 例1: 泰伯效应 则观察平面上的复振幅分布为: g(x) = g(x)exp(jkz) 光强度分布: I (x) = |g(x)|2 = |g (x)|2 与原物相同, 即为自成像 在特定的距离下,对不同空 间频率的平面波分量引入 的相移与频率(n)无关,并且 是2的整数倍: ,.2 , 1 , 2 2 1 2 2 m md zm d z 是原频谱乘上一个常数位相因子, 对所有平面波分量都相同. 此时 )exp()()ex

8、p( )( -n jkzfGjkz d n fcfG xxnx 自成像发生在泰伯距离的整数倍上.泰伯距离: 2 2d zT # 3-4 菲涅耳衍射 例1: 泰伯效应 思考: 在两个自成像位置的中间位置, 光强度分布如何变化? 自成像发生在泰伯距离的整数倍上. 泰伯距离: 2 2d zT # 菲涅耳衍射：例题菲涅耳衍射：例题泰伯效应泰伯效应 P117: 3.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为 d x baxtcos 式中，d 为光栅周期，ab0。观察平面与光栅相距z。当 z 分别取 下列各数值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生 的强度分布。 （式中zT称作泰伯距离）d ba z z

9、 d zz T dz z T dz z T T z （1）（2）（3） 解：采用菲涅耳衍射的频域表达式 1 ,)()( 2 )()( 000 d fffff b fafT xxxx 输入频谱： 菲涅耳衍射的传递函数:)exp()exp()( 2 xx zfjjkzfH 此传递函数对平面波分量只引起相移 菲涅耳衍射：例题菲涅耳衍射：例题泰伯效应泰伯效应 P117: 3.3 解：采用菲涅耳衍射的频域表达式 1 ,)()( 2 )()( 000 d fffff b fafT xxxx 输入频谱： 菲涅耳衍射的传递函数:)exp()exp()( 2 xx zfjjkzfH 此传递函数对平面波分量只引起

10、相移 输出频谱： )exp()exp()()( 2 )()( 2 00 xxxxx zfjjkzffff b fafT )()()exp( 2 )()exp( 00 2 0 ffffzfj b fajkz xxx 故： d x d z jbajkzxt 2cos) 2 2exp()exp( 2 菲涅耳衍射：例题菲涅耳衍射：例题泰伯效应泰伯效应 P117: 3.3 d x d z jbajkzxt 2cos) 2 2exp()exp( 2 观察平面的观察平面的 复振幅分布：复振幅分布： 在泰伯距离： d zz T 1) 2 2exp( 2 d z j d x bajkzxt T 2cos)exp

11、( 与原物的复振幅分布只差一个 常数位相因子自成像 2 2cos d x baxI 像强度分布：与原物的强度分 布完全相同 菲涅耳衍射：例题菲涅耳衍射：例题泰伯效应泰伯效应 P117: 3.3 思考: 在两个自成像位置的中间位置, 光强度分布如何变化? 自成像发生在泰伯距离的整数倍上. 泰伯距离: 2 2d zT # 原物： 像： 3-4 菲涅耳衍射 例2: 圆孔菲涅耳衍射的轴上分布 圆孔的复振幅 透过率 , 0 , 1 circ),( 2 2 0 2 0 2 0 2 0 00 其它 ayx a yx yxt 轴上强度分布: 22 2 sin4)0 , 0(a z I z 菲涅耳圆孔衍射轴上强

12、度: a/=1580 0 1 2 3 4 10100100010000 传播距离z/a 强度 取a=1mm, =0.633mm z/a 1不满足时, 菲涅耳近似失效 当 时, I (0,0)z = 0 为极小值m az a 2 / / 当 时, I (0,0)z = 4 为极大值 12 / / m az a 菲涅耳圆孔衍射轴上强度: a/=1580 0 1 2 3 4 10100100010000 传播距离z/a 强度 m的最小值为0, 当 时, 过渡到夫琅和费近似. a a z az a , 1 / / 即 # 22 2 sin4)0 , 0(a z I z 3-5 夫琅和费衍射 Fraun

13、hofer Diffraction 一、夫琅和费衍射公式及其成立的条件 此条件容易满足. 例如, = 0.633mm, Rmax = 3mm z50mm z y f z x fyx z k jyxU yx z k jjkz zj yxU yx ,)( 2 exp),( )( 2 exp)exp( 1 ),( 2 0 2 000 22 菲涅耳衍射的F.T.表达式: 上式成立 的条件: 4 max 4 max 3 3 4 max 3 2 0 2 0 8 , 1 8 , 1 )()( 8 R R k z z kR z yyxxk 或即 如果进一步对系统施加限制, 使得 1)( 2 2 0 2 0 y

14、x z k 则衍射过渡到夫琅和费衍射区 d为孔径的 最大线度 2 2 8 d d k z即 # 3-5 夫琅和费衍射 夫琅和费衍射公式 除了一个与传播距离z及观察面坐标有关的位相因子以外,在给 定距离z的平面上衍射场的分布正比于衍射屏透射光场的傅里 叶变换, 其振幅及变换的尺度与距离z有关. 衍射图样及光强的分布正比于孔径透射函数的功率谱: z y f z x fyxU yx z k jjkz zj yxU yx ,),( )( 2 exp)exp( 1 ),( 00 22 z y f z x fyxU z yxI yx ,),( 1 ),( 2 00 2 # 3-5 夫琅和费衍射 夫琅和费衍

15、射公式:讨论 夫琅和费衍射区的条件苛刻 如上例, = 0.633mm, Rmax = 3mm 菲涅耳衍射区 z 50mm 夫琅和费衍射区要求 z 9.6m 与菲涅耳衍射的关系 菲涅耳衍射区包括了夫琅和费衍射区 夫琅和费衍射是菲涅耳衍射的进一步近似 # 3-5 夫琅和费衍射 二、一些简单孔径的夫琅和费衍射 照明条件：振幅为A的单色平面波垂直照明 孔径：复振幅透过率 孔径函数的频谱 t (x0,y0) T (fx,fy) F.T. 屏后光场复振幅 U (x0,y0) = A t (x0,y0) 衍射公式 (观察面的光场分布): z y z x Tyx z k jjkz zj A z y f z x

16、 fyxtyx z k jjkz zj A yxU yx ,)( 2 exp)exp( ,),( )( 2 exp)exp(),( 22 00 22 我们更关心衍射图样的 强度分布： 2 2 2 ,),(),( z y z x T z A yxUyxI # 3-5 夫琅和费衍射 简单孔径的夫琅和费衍射：圆孔 2 1 2 2 1 2 0 0 0 / )/(2 )0()( 2 )0( 2 )2(2 circ circ)( zkar zkarJ IrI z ka I a aJ a a r a r rt z r 方向严格沿z方向传播的无穷 大平面波,在受到孔径限制后, 角度展宽为q = 0.61z/a

17、.孔径 越小,角度展宽越大.# Airy Pattern 第一暗环半径： Drka/z = 3.83, Dr = 3.83z/a/2 Dr/z =0.61z/a 3-5 夫琅和费衍射 简单孔径的夫琅和费衍射：矩孔 ax/z I/I(0) 0 1-1 1 z by z ax z ab yxI z y f z x fbfafabyxt b y a x yxt yxyx 22 2 00 00 00 sincsinc),( ,),(sinc)(sinc),( rectrect),( 中央亮斑宽度: Dx =2z/a, Dy =2z/b x, y方向的角展宽: 2/ , 2/baz x yx q qD

18、D D 与圆孔数量级相同. 孔尺寸越小,角展宽越大 若ba, 成为单缝, 可仅作一维处理 # 3-5 夫琅和费衍射 简单孔径的夫琅和费衍射：双缝 rect(x0/a) 0 /2/2 1 fx asinc(afx) 0 1/a a (x0-d/2)+ (x0-d/2) 0 d/2d/2 1 * t (x0) x0 0 1 f 2cos (fxd) 0 2 F.T. F.T. F.T. x0 x0 d/2d/2 双缝的频谱是两个 单缝的频谱以一定 的位相关系互相干 涉的结果 # 3-6 衍射光栅 Diffraction Gratings 一、分析方法列阵定理 取向相同的同形孔径构成 的列阵，其频谱

19、等于单个 基元孔径频谱与排列成同 样组态的点源列阵的频谱 的乘积 大量平行等间隔的周期性缝型结构的夫琅和费衍射图样或频谱 例: 无穷多平行狭缝形成 的光栅: # 3-6 衍射光栅 Diffraction Gratings 二、主要类型 1. 线光栅 有限缝数的线光栅 光栅复振幅透过率函数: x L x d x d xtxt 00 000 rectcomb 1 )()( 观察面上的复振幅分布(忽略了常数幅相因子): xxxxxx fLLdffTfTsinccomb)()( 0 单个孔径阵列函数有限尺寸 分立的无限细谱线, 间隔为1/d, 即光栅基频 受基元孔径衍射的调制 光栅有限尺寸引起的 谱线

20、展宽 宽度为1/Lx 谱线的概念:comb(dfx)的周期性结构形成谱线, Lx d , 1/ Lx1/d, 各谱线的sinc函数互不重叠. # 3-6 衍射光栅 线光栅 强度分布是|T(x)|2, 并附加传播引起的振幅衰减因子 若要进行数值计算或画截面图等, 将comb(dfx) 和卷积展开更方便 )(sinc 1 )( 0 d n fL d n T d LfT xx n xx fx =x/z, fy =y/z )(sinc)( 2 0 2 d n fL d n T dz L fI xx n x x # 3-6 衍射光栅 线光栅 谱线间隔为1/d, 即光栅基频 谱线宽度为1/Lx 决定于光栅有限 尺寸 # 3-6 衍射光栅 2.余弦型振幅光栅全息光栅 x L x xf m xt 0 000 rect)2cos( 22 1 )( 复振幅透过率: m1, 称为光栅的调制度 频谱可