简化版 达朗贝尔原理

1、问题：问题：车底盘距路面的高度为什么不同？车底盘距路面的高度为什么不同？ 底盘可升降的轿车底盘可升降的轿车 问题：问题：汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易“抱死抱死”？ 1 l 2 l h gm 1 F 1N F 2 F 2N F 车轮防抱死装置车轮防抱死装置ABS: Anti-Brake System 无无ABS系统时，刹车会产生侧滑现象系统时，刹车会产生侧滑现象 g g 铁球铁球乒乓球乒乓球水槽水槽 静止静止 旋转旋转 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 第十三章第十三章 R F a aFm R I F 0 R aFm aFm I 0 IR FF 如在质点上加上惯性力，则作

2、用于质点上的“外力+惯性力 ”构成平衡力系 意义：意义： 加上后，将动力学问题转化为静力学问题加上后，将动力学问题转化为静力学问题 注意：注意： 惯性力只是一个工具惯性力只是一个工具 1 达朗贝尔原理 惯性力 手推车，人感到阻力，分析车受力（手推车，人感到阻力，分析车受力（受力物体受力物体） 惯性力作用在惯性力作用在施力物体施力物体上，我们上，我们假想假想地加在车上地加在车上 质点系的达朗贝尔原理 iii maF I 对任意一个质点i 在每一个质点上加上惯性力后，此质点平衡。 iii m R Fa 0 IR ii FF则 显然，系统的任意部分（包括整体）也是平衡的。 对于一个质点系，其上每一个

3、质点加上惯性力后，这 些力应与系统所受外力构成平衡力系。 解法同静力学一样。 O A z y 例1：质量m、长度l的均质杆，以匀角速度绕z轴转动， 试求角。 sin d d 2 I m l F 0dcossin 2 0 l Oxi F l mgM I d dF FI I mg 解：解： 1. 1. 受力分析（画上杆所受外力）；受力分析（画上杆所受外力）； 2. 2. 运动分析（画上惯性力）；运动分析（画上惯性力）； 为简便起见，取杆在为简便起见，取杆在yz平面内平面内 l g 2 2 3 arccos 3. 3. 建立平衡方程：建立平衡方程： 2 刚体动力学中的达朗贝尔原理 刚体为一个质点系，

4、其上每一个质点加上惯性 力后，成为一个分布力系，此力系应与刚体所受外 力构成平衡力系。 对于刚体，不必每点列平衡方程，而是事先将惯 性力系简化（主矢、主矩），用简化后的惯性力系与 外力构成平衡力系。 x y z ri FIi mi o a 一、刚体平动 aF ii m I 对任意质点i 合力 Ci mmaaFI 合力作用位置 arFrFr iiii m II r FI 结论：平动刚体的惯性力系合成为一个作用在质心 的惯性力 C maF I I Frarar CCii mm 二、刚体定轴转动 (一） 刚体有与转轴 垂直的对称面 结论：可将空间 惯性力系简化为 在对称平面内的 力系（相当于将 刚体

5、压扁到对称 平面内） x y z O FIin FIit FIjn FIjt i j l l x y z O (二）平面刚体 O i ri FIin FIit 向O点简化 主矢 Cii mmaaF I 主矩 Oiii iOO Jrrm MM )( II F O FI MIO 若转轴过质心，则惯性力系若转轴过质心，则惯性力系 简化的结果仅为一力偶，其矩简化的结果仅为一力偶，其矩与与 角加速度方向相反角加速度方向相反，MIC=JC aC 三、刚体平面运动 只考虑有对称平面，且对称平只考虑有对称平面，且对称平 面与运动平面平行的情况面与运动平面平行的情况 aC 主矢主矢 Cii mmaaFI 主矩主

6、矩 CC JM I MIC FI MIC FI 另外，定轴转动是平面运动的一个特例，因此另外，定轴转动是平面运动的一个特例，因此 也可以把惯性力系向质心简化，结论同上。也可以把惯性力系向质心简化，结论同上。 C 例例2: 电动机定子及其外壳总质量为电动机定子及其外壳总质量为m1, 质心位于质心位于O处。转子的处。转子的 质量为质量为m2, 质心位于质心位于C处处, 偏心距偏心距OCe, 图示平面为转子的质图示平面为转子的质 量对称平面。电动机用地脚螺钉固定于水平基础上量对称平面。电动机用地脚螺钉固定于水平基础上, 转轴转轴O与与 水平基础的距离为水平基础的距离为h。运动开始时。运动开始时, 转

7、子质心位于最低位置，转子质心位于最低位置， 转子以匀角速度转子以匀角速度转动。求基础与地脚螺钉给电动机总的约束转动。求基础与地脚螺钉给电动机总的约束 力。力。 h O C h O C x y解：解：取电动机整体为研究对象。取电动机整体为研究对象。 M 加惯性力加惯性力 2 2I emF 列平衡方程列平衡方程 0 x F 0 y F 0 A M 而而 ，解得，解得 t temFxsin 2 2 themtgemMsinsin 2 22 temgmmFycos)( 2 221 0sin I FFx 0cos)( I21 FgmmFy 0sinsin I2 hFgemM A FI Fx Fy m2g

8、 m1g 例3: 约束均质杆（m,l）A端的绳索突然被剪断，试求此时 杆的角加速度及O处约束力。 C O A C O A aC 1.运动分析 2.受力分析 3.平衡方程 C maF I CC JM I ）（ 10 2 l mgmaJM CCOi ）（ 20 mgmaFF COyiy 主要是加惯性力及惯性力偶主要是加惯性力及惯性力偶 FI mg MIC FOy FOx ）（ 30 Oxix FF 2/ laC4.补充方程 解：解： l g mgFF OyOx 2 3 ; 4 1 ; 0 O A C 例3: 约束均质杆A端的绳索突然被剪断，试求杆转到任一位 置时的角加速度 、角速度及O处约束力。

9、1.运动分析 2.受力分析 3.平衡方程 0cos 22 t l mg l maJM CCOi 0cos mgmaFF CtOyiy 0sin mgmaFF CnOxix O A C aCt aCn FIt mg MCI FOy FOx FIn CC JM It t I C maF nnIC maF 2 l 2 l 2 2 l 4.4. sin 2 0 2 1 2 l mgJO 解：解： h l2l1 a v C W 例例4 4：重重W的轿车，以速度的轿车，以速度v 行驶，因刹车制动，车滑行 行驶，因刹车制动，车滑行 一段一段S才停车。求才停车。求:前、后轮的法向反力。前、后轮的法向反力。 解

10、解: S v S vv a S 22 2 0 2 2 a g W FI 0 B M0)( 221 hFWlllF INA )( 2 21 h g a l ll W FNA 0 y F 0WFF NBNA )( 1 21 h g a l ll W F BN 当当 a=0 2 21 l ll W FNA W ll l FNB 21 1 作减速运动作减速运动: 故刹车时故刹车时, 车头下沉车头下沉 NA F A F NB F B F I F 例5: OB质量不计，AB长l、质量m。试求绳OA剪断瞬时 OB杆的内力。 C O A 450 B 1.运动分析 FIy mg MI FOB FIx Cxx m

11、aF I C JM ICyy maF I 2.受力分析主要是加惯性力及惯性力偶主要是加惯性力及惯性力偶 3.平衡方程 0 2 II l mgFMM yBi 045sin I 0 mgFFF yOBiy 045cos I 0 xOBix FFF acy C O A 450 B aCx aB aCB aB 2 2 22 2 2 2 l aa CyCx 4.补充方程 解：解： 联立可解。联立可解。 A B O C 练习练习1：均质杆均质杆AB(m, l), A端被一个小环约束在半径为端被一个小环约束在半径为r的固的固 定半圆形轨道上定半圆形轨道上,OA与水平线夹角与水平线夹角45,试求突然去掉试求突然去掉B处支座处支座 瞬时瞬时,AB杆的角加速度及杆的角加速度及A端受到的约束反力（不计摩擦）。端受到的约束反力（不计摩擦）。 A O C aCx aCy aA aA t CA a 45cos45cos45cos t CACxCy aaa mg FN FIy FIx MIC 045sin 045cos 0 2 NI NI II