第8章 离散傅里叶变换

1、离散傅里叶级数离散傅里叶级数 电子信息工程学院电子信息工程学院 王王 俊俊 数字信号处理的实现数字信号处理的实现原理框图原理框图 引言引言 前章：连续域和离散域之间的前章：连续域和离散域之间的关系关系 前章：时域离散过程前章：时域离散过程 )(tstxtx cs 前章：时域离散，频域的变化前章：时域离散，频域的变化 k c j T jk T jX T eX) 2 ( 1 T 前章：结论前章：结论 时域信号时域信号 离散离散了，频域重复了，频域重复 其中最重要的是冲击串信号其中最重要的是冲击串信号 离散的方法离散的方法 时域信号时域信号 离散离散了了 本节：需要将本节：需要将 信号频域信号频域

2、离散离散 如何如何离散离散？ 提示：可以参照时域的离散过程提示：可以参照时域的离散过程 kXeX j )( nxtxc)( 时域离散：利时域离散：利 用时域冲击串用时域冲击串 对连续信号进对连续信号进 行相乘，从而行相乘，从而 将连续信号离将连续信号离 散化。散化。 因此，可以利因此，可以利 用用频域冲击串频域冲击串 将频域离散化将频域离散化 离散方法：采样离散方法：采样 采样过程采样过程 离散方法中：最重要的信号离散方法中：最重要的信号 冲击串冲击串 傅里叶概念傅里叶概念 寻找寻找 频域冲击串频域冲击串 学习过的傅里叶变换学习过的傅里叶变换 连续时间、连续频率连续时间、连续频率傅里叶变换；傅

3、里叶变换； 连续时间、连续时间、离散频率离散频率傅里叶级数；傅里叶级数； 离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列傅里叶变换；序列傅里叶变换； 离散序列的傅里叶离散序列的傅里叶级数级数 时域周期的信号存在傅里叶级数时域周期的信号存在傅里叶级数 周期序列的表示周期序列的表示:离散傅里叶级数离散傅里叶级数 什么是周期序列什么是周期序列 周期序列记作：周期序列记作： rNnxnx 周期序列的表示周期序列的表示:离散傅里叶级数离散傅里叶级数 周期序列可展开成傅里叶级数周期序列可展开成傅里叶级数 其中：周期性复指数其中：周期性复指数 k knNj ekX N nx )/2( 1 , 2 rNneene

4、k knNj k 周期序列的表示周期序列的表示:离散傅里叶级数离散傅里叶级数 1 0 ne 2 1 n j ene jn ene 2 2 3 3 n j ene 0X 1X 2X 3X k knNj ekX N nx )/2( 1 周期序列的表示周期序列的表示:离散傅里叶级数离散傅里叶级数 周期序列可展开成傅里叶级数周期序列可展开成傅里叶级数 傅里叶级数相当于对傅里叶级数相当于对xn的正交分解的正交分解 1 0 )/2( 1 N k knNj ekX N nx 傅里叶级数系数傅里叶级数系数 的正交性的正交性 等比数列求和公式等比数列求和公式 即即 ，其他 为整数 0 , 1 1 1 0 )(/

5、2( mmNrk e N N n nrkNj knNj k ene 2 a a a N N n n 1 1 1 0 mNrke N N n nrkNj 1 0 )(/2( 1 傅里叶级数系数傅里叶级数系数 傅里叶级数的表示傅里叶级数的表示 两边同乘以两边同乘以 累加累加 交换求和次序交换求和次序 利用公式利用公式 则则 1 0 )/2( 1 N k knNj ekX N nx mNrke N N n nrkNj 1 0 )(/2( 1 knNj e 2 1 0 1 0 1 0 )(/2()/2( 1 N n N n N k nrkNjrnNj ekX N enx 1 1 0 )(/2( 1 0

6、 N n nrkNj N k e N kX 1 0 )/2( N n rnNj rXenx 1 0 )/2( N n knNj enxkX 也为也为N N的周期序列的周期序列 傅里叶级数系数傅里叶级数系数 我们注意：我们注意： 2 1 0 )/2( 1 0 )/2( kXeenx enxNkX nj N n knNj N n nNkNj kX 周期序列离散傅里叶级数的表示周期序列离散傅里叶级数的表示 1 0 N n kn N WnxkX分析式： 1 0 1 N K kn N WkX N nx综合式： )/2(Nj N eW kXnx DTFS 例例8.1 周期脉冲串的傅里叶级数周期脉冲串的傅里

7、叶级数 r rNnnx 1 0 1 N N kn N WnkX r N k knNj N k kn N e N W N rNnnx 1 0 )/2( 1 0 11 例例8.3 周期矩形脉冲串的傅里叶级数周期矩形脉冲串的傅里叶级数 4 0 4 0 )10/2( 10 nn knjkn eWkX )10/sin( )2/sin( 1 1 )10/4( 10 5 10 k k e W W kX kj k k -10-505 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 n xn 24816 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 k a

8、bs(Xk) 0610121418 20 220246810 12 14 16 18 20 22 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 k angle(Xk)/pi 离散傅里叶级数与变换的关系离散傅里叶级数与变换的关系 上述过程和第四章采样重构的过程类似上述过程和第四章采样重构的过程类似 1 0 N n kn N WnxkX n njj enxeX )( 离散傅里叶级数与变换的关系离散傅里叶级数与变换的关系 采样重构采样重构 该过程将离散域和连续域联系起来该过程将离散域和连续域联系起来 同时赋予同时赋予 n 在时间轴上的物理意义在时间轴上的物理意

9、义 nx txs nTt n s nTtnxtx)( 离散傅里叶级数与变换的关系离散傅里叶级数与变换的关系 1 0 ne 2 1 n j ene jn ene 2 2 3 3 n j ene 0X 1X 2X 3X 0 4/2 Nk /2 4/22 4/32 离散傅里叶级数与变换的关系离散傅里叶级数与变换的关系 该过程同样将离散域和连续域联系起来该过程同样将离散域和连续域联系起来 同时赋予同时赋予 n 在频率轴上的物理意义在频率轴上的物理意义 n njj enxeX )( 1 0 N n kn N WnxkX Nk /2 N k kX N eX k j 2 2 )( 周期脉冲串的傅里叶变换周期脉冲串的傅里叶变换 r rNnnp 1 kP N k N eP k j 22 )( 小结小结 本节需要掌握内容本节需要掌握内容 离散序列傅里叶级数的定义离散序列傅里叶级数的定义 离散序列傅里叶级数综合式的证明过程离散序列傅里叶级数综合式的证明过程 离散序列傅里叶级数与离散序列傅里叶离散序列傅里叶级数